文化视角下的最短路径问题教学研究

2022-11-19胡发强

读与写 2022年11期

胡发强

(贵州省遵义市桐梓县小水乡小水中学贵州桐梓 563200)

前言

我校为了响应新课程标准中运用数学文化教学积极作用，我们开始研究数学文化融入到数学课堂的策略。当下数学研究中关于数学文化融入几何知识方面的理论还很少，需要经过不断的实践研究。基于此本文讨论文化视角下初中数学最短路径问题的教学设计与实践，旨在优化数学课堂。

1.初中数学最短路径问题研究的必要性

随着国家新课程改革和教育事业发展新要求的出台，初中数学越来越受到人们的关注。新课程改革要求的初中数学教授学生具备一定的数学应用技能，以及足够的数学知识，数学基础理论和数学知识是学生提高数学能力的重要组成部分，以确保他们能够在实际生活中应用所学知识。因此，在数学教学过程中，教师要牢记学生实践技能的培养，但现阶段我国数学教育中对初中数学的教学认识存在很多问题。大多数初中数学教师只注重教授数学理论知识，而忽视将数学知识融入现实生活中，这会对学习和理解数学产生负面影响。因此，教师必须更新和适应新的数学教育方法和理念，结合现实生活进行数学教学，提高学生在现实生活中的思考能力，增加学生所需的数学知识。因此，本文从实际出发，对于初中数学中“最短路径”的问题的教学，可以在讨论该问题的解题方法和学习方法的同时，将教科书和实际生活相结合，这样可以增加数学教育的实用性和现实性，并提高学生的学习效率和教师的教学效率。

2.基于文化视角的最短路径问题新授课设计

2.1 教学内容分析。“最短路径问题”为人教版八上第十三章中最后一节的内容，从涉及知识点来说，本节课包括对称轴的概念与性质、三角形三边关系等；涉及的数学思想有：转化、抽象、分类[1]。即将最短路径问题转化为三点间的问题或者是转化为三角形边的问题。例题与习题方面，本课时一同设置两个问题，一个是古代的实际问题，一个是一题多解问题，在此过程中，此过程中融入了数学文化，引导学生将实际问题抽象成数学问题，再通过转化思想，抓住路径问题，以对称轴或者平移转化的问题，将直线同侧转变为直线两侧的问题，并逐步归纳。

基于此的教学先决条件为七年级学习过的两点之间，线段最短知识，以此为继续教学的支撑点。然后教师根据知识遗忘曲线规律，课中做知识复习。并能列举生活中关于最短路径问题的实例，触发学生生活经验，并能集中注意力更积极主动掌握最短路径问题本质。

2.2 学生分析。基础知识上，学生要先掌握两点间线段最短的知识，并知道如何化对称点。本节课知识的学习则借助八年级学生已经具有的简单转化思想，虽然还未熟悉几何中的最值问题，学生在本次课程中使用转化问题还有一定难度；此阶段学生的数学思维与特点角度分析，其已经经历了数学语言符号的转化，具有一定抽象能力，可以自己将简单的实际问题变为抽象问题、构建简单模型、简单交流、猜想、分析等解决问题的能力。情感态度与价值观角度分析，本阶段的学生因为对数学历史有一定兴趣，所以可以更好分析问题，享受解决问题的乐趣，在此求知欲更强。

2.3 教学目标与重难点。

2.3.1 教学目标。

知识与技能目标：学生会运用对称轴解题，并借助两点间线段最短解决简单路径最短的问题。

过程与方法：学生可结合问题实际情况，抽象出数学问题，构建模型后，体验解决问题的过程，借助转化思想解决问题。

情感态度与价值观目：借助古代趣味性数学问题激发学生学习积极性，并在解题的过程中感知数学，通过解题获得基本经验，感受其运用价值。

2.3.2 教学重难点。学生可以使用对称轴解决两点之间线段最短的问题，并掌握最短路径的原理。

2.4 教学方法与手段。

2.4.1 教学方法。本此教学运用的是讨论法、问题法与讲授法三种形式。讨论法包括生生与师生讨论，以语言促使学生集思广益，如最短路径中尝试不同类型，确定位置，找到对称轴等相关方法，但是此讨论是以学生为主体进行的，通过实际交流与完成最短路径本质的探索；问题法则是通过层次性问题引导学生找到知识的本质，以此更好解决问题。本次最短路径问题就是通过提问法引导学生将同侧点、线段逐渐转换成异侧点、线段，以此引导学生知道只有将点、线段转换成异侧形式，重新构建线段，才能体会到两点间线段最短的运用方法，进而体会最短路径问题本质；讲授法则是在学生探究后教师的总结与解释，规范学生解题过程。

2.4.2 教学手段。在此往往运用传统与信息技术结合的手段进行教学。一方面，借助黑板与粉笔等传统教具随时做教学记录，帮助学生回忆知识，生成新的知识点，如最短路径问题的证明，促使学生在运用新知识的时候，可以及时回忆与对称轴有关性质的规范[2]。

2.5 教学过程的设计。基于文化视角下的设计思路。本次课程基于数学文化的有关理论，在课中融入数学文化。数学文化社会层次，数学文化经历千年发展，包含很多数学文化史，如将军饮马。本次课堂就是以数学史的融入，让学生在探究数学史问题的时候，感悟最短路径的文化底蕴，培养学生探索精神。另外，通过数学文化与生活的联系，如最短路径选择与选址造桥的问题，让学生感受身边的数学问题，提升应用价值，因此在教学中可再引入选址造桥历史案例，培养学生最短路径问题运用的重要性，进而加强对数学的认知[3]。数学文化技术方面，则从数学思想方法入手，如抽象法、建模法、转化法生。即从最短路径问题出发，引导学生先将其转变为数学问题，然后建立对应图形，以小组讨论的形式求解，最终运用模型。

教学环节的设计。结合数学文化设计的最短路径问题教学环节为：引入旧知-引出课题-创建模型-求解模型-运用模型。第一，以复习引入旧知。以制作图形对称轴为导入，引导学生再次回忆知识并讨论，得出两点之间线段最短的定义。第二，创建情境，引入课题。以让学生到讲台上为例，促使学生运用两点之间线段最短知识。并通过理论实践，让学生感受路径问题，增强探究兴趣。第三，以问题构建模型。通过抽象问题的提出，让学生在建立模型的时候感受数学文化。第四，求解模型。通过两点间线段最短的形式解决问题，让学生以小组合作的形式解决问题。在此过程中融入数学文化中的技术与情感层次。第四，变式扩展，应用模型。在求解模型之后，教师展示求解路径的几道变式问题，让学生尝试知识点迁移，自觉以归化解决问题，提升解决问题能力。

3.文化视角下最短路径问题教学分析

3.1 旧知引入。以问题“做对称轴的步骤？”为引入，先让学生总结方法，如：(1)在图形的顶点向直线做垂线；(2)以直线与垂线的交点为圆心，顶点到直线的距离为半径做弧线，与垂线相交的点为对称点；(3)将多组对称点连接，获得的图形就是此关于一直线垂直的对称轴图形[4]。接着教师在交互式白板中作图示范，接着提问“在此你找到最短路径了吗？为什么？”此环节以复习与最短路径有关知识为基础，通过画出对称轴的问题引出两点间线段最短的知识，激发学生思维，在此基础上发展新的知识。

3.2 引出课题。教师分别叫教室中前排和后排的同学走到讲台上，学生们上来后提问“为什么你们选择径直走上来而不是从课桌的另一面绕过来？”引导其想到“两点间线段最短”的定义。教师“不止现实生活中，历史中也也常常发生最短路径这种情况，下面我们来一起学习一下。”接着在PPT中展示“将军饮马”的问题：古代有位罗马将军要去拜访一名精通数学与物理的学者，并向他请教一个实际问题，每天将军从军营A点出发，先带马到河边饮水，然后再去河流同一侧的B地，怎么走路程才能最短？引导学生的注意力集中到故事情节中，并以“为什么选择此路线”为引导，令课堂气氛更加活跃。

3.3 互动探究。在初中数学教学过程中，教师还应注意在教学中使用互动探究的方法，互动探究在数学教学中发挥着重要作用。这种教学方法可以改善课堂环境，是一种很好的教学方法。在最短路径的教学中，也可以通过互动探究法进行教学，教师可以引入上述问题，让同学们探讨问题，根据要求进行互动探究，以提高学生的学习能力。例如，老师可以从著名的将军饮马的入手，这个故事讲的是古希腊的时候，亚历山大城的著名学者、罗马将军从罗马专门到亚历山大去会见学者海伦，问了一个令人困惑的问题，每天从A军营，到B军营区参加军事会议，中间在河边饮马，饮马后去B军营参加会议，这样的情况下，怎样走是最短的途径？这个问题被提出后，一方面，通过故事直观的解释了最短路径问题，另一方面，这个问题可以鼓励学生进一步讨论和反思。教师可以利用这个机会教学生独立思考和探索，在讨论过程中，教师可以提出其他的问题，让学生从不同的方向思考。例如，教师可以改变B军营的位置，与学生讨论最短路径法。提问后，让学生思考答案，总结数学问题，画出相关的图像。老师根据学生的表现不断提问，或者让学生自由表达他们的想法，促进理论知识与实际生活的结合来，让学生考虑如何解决这些问题，提高学生的思维水平和数学技能，通过师生互动，解决将军饮马这类常见问题，可以促进学生的应用能力。此外，学习过程中教师可以不限于问题类型，可以提出有关学生上学的问题以及其他现实生活中的问题，这使学习难度得到降低。

3.4 创建模型。教师提问，引导学生创建模型。先让学生用数学语言描述古代问题，即从A点出发先到直线L处。之后再到B点，求如何走才能令A到L与B到L的路线最短。有的学生还根据问题做出图示。此环节就是让学生感悟抽象的过程，即在教师的引导下将实际生活问题变成数学问题，抽象成模型，提升学生数学抽象能力。以数学文化中的建模思想与抽象思想提升学生数学技术层次。

3.5 求解模型。以合作交流的形式完成上述模型的解答，常见的方法为使用对称轴法求最短路径。教师先提问“我们曾经学习过的求最短距离的方法有哪些呢？”先确定两点之间，线段最短。此时有的学生说“我们现在求的不是两点之间，而是还要到一条直线上。”教师表扬其想的全面，并提问“本次的问题更加复杂，我们该怎么做呢？请你们开展小组讨论。”将学生分组后，教师观察其讨论情况，适当引导。一段时间后学生们的讨论声慢慢减小，教师就可让小组派代表讲述自己组讨论的结果。有的小组想到尝试将A、B两点连接后也经过直线L、有的小组想到将B、A两点放在直线的异侧，但是具体的方法没有想出来。教师此时引导“我们课前复习的对称轴的内容是否可以运用到此呢？”此时各组同学恍然大悟，开始画图作图，并总结“作B点到直线L的对称点B′，连接AB′，与直线L相交的点就是到A和B最短的点。”教师继续“同学们做的很好，下面请你们思考能不能用三角形的两边之和大于第三边的方法证明呢？”同样以小组合作形式展开讨论[5]。让学生从不同的角度思考问题。本环节使用的是小组合作法、发现问题法。通过小组交流再次发现问题，由学生自己找到问题关键，即两个点与直线。突出中心问题后，尝试将问题转化为三点共线，这样只需将同侧点变为异侧点即可，就是在直线L上确定一点令三点共线。最后再增加三角形判定方法，启发学生自主求出最短路径，理论联系实际，将课堂交给学生，让其自主探究，且就教学效果分析，学生们的学习激情的确比之前教师单方面讲解要高得多。

3.6 应用模型。在教师的引导下，学生们掌握了解求最短路径问题的方法，然后就可进行变式扩展，让学生在应用模型中巩固知识。出示问题，以巩固与发展为目的带领学生学习本节课重点知识，然后进行教学，引导学生在通过一个问题的解答可以举一反三。在本环节中激发学生的化归意识，并自觉在新的情境中运用，增强知识技能目标，发挥数学文化技术层次的作用；提升学生情感态度与价值观，优化数学文化情感层次。