转化思想在初中数学解题中的应用

文 /吴存宝

引 言

转化思想是一种常见的数学思维。初中生在数学解题中应用转化思想，不仅可以快速找到解题的思路，还可以促进数学逻辑思维的形成，对自身数学学习能力的发展及数学思维的形成产生积极的影响。

一、转化思想方法概述

（一）基本内涵

转化思想是初中数学的基本思想之一，转化是客观存在的，是主观对客观事物的反映。转化思想在数学中的应用频率较高，在具体解题时可通过思维的转化解决问题。数形结合思想能够具体体现数与形之间的转化。函数和方程思想体现了函数、不等式之间的转化，分类讨论思想能够体现局部和整体之间的转化。上述思想类型便是转化的具体形式。运用转化思想需注意在量变的同时保证质不变，这样能够保证转化仅为恒等或等价变形。如果因为转化导致制约条件发生变化，取值范围也会发生相应的变化，此时便需进行验证。教师在引导学生应用转化思想时，应通过转化思想来使学生变化思维角度，从问题的不同侧面寻找相应的解决方法。

（二）解决问题

除使用相关的定义和法则进行解题之外，一般还需将题目的条件和结论进行相应的转化，即将隐性转为显性，将分散转为集中，将高次转为低次，或者实现数与形、动与静、部分与整体等方面的转化，达到解决问题的目的。在研究具体的学科问题时，转化思想需依据下述原则。第一，将不熟悉或解答难度较高的问题转化为熟悉的、解答难度较低的问题。第二，将抽象的问题转化为具体的问题。第三，将复杂的问题转化为简单的问题。第四，将一般问题转为特殊问题。这样能够降低解决问题的难度。

转化的内涵比较丰富，等价和非等价、已知与未知、图形与非图形间均可进行转化，从而顺利解决问题。学生在运用转化思想时，需从多个角度和层面来看待问题，通过变化角度寻找更简单和直接的解题方法，发挥转化思维的应用价值。

（三）主要类型

1.类比的思想

类比，即把不同的两个（两类）对象进行比较，根据两个（两类）对象在一系列属性上的相似，由其中一个对象具有的其他的属性，推出另一个对象也具有相似的其他属性，它的本质是“转化”。用类比思想解决问题，是初中数学的常见教学方式[1]。

2.分解的思想

化繁为简、化整为零，这是分解思想的本质。利用分解的思想，能够将步骤繁多、思路复杂的问题简化为多个形式和结构单一的简单问题，对其逐一解答，达到解决困难题目的目的。这种教学方式有利于培养初中生数学解题思维，并且通常被应用于分解因式、拆项补项等做题步骤中。

3.语言的思想

数学语言与生活用语有所差异。将生活用语中蕴含的数学关系抽象出来，并用数学语言加以阐释，便是运用语言思想解决问题的过程。

4.等价的思想

等价思想源于类比思想。它是指将两个性质相同的事物进行转化，从另一个角度解决问题。初中数学中等价思想主要体现在整式与无理式、四项运算法则之间的转换。

5.间接的思想

向问题中引入中介，并借助中介化繁为简，这就是间接思想在解题过程中的具体应用。初中数学中间接思想主要体现在逆推法、换元法等解题方法中。

二、初中生数学转化思维能力现状

（一）主动思维的意识较弱

部分数学教师受应试教育的影响，对学生的思维能动性重视程度不足，教学手段较为单一和落后。这不但无法充分发挥自身的引导作用，同时也难以深度挖掘学科知识，不能为学生创建相对融洽的学习氛围。学生没有自主思考和分析的空间，因此便逐渐放弃锻炼自身分析和归纳等思维能力。

（二）缺少思维的实践机会

部分数学教师侧重发挥自身的主导作用，将师生双向活动变成教师自主讲解的单向活动。学生无法获得发挥自主能动性的机会，只能以被动的状态接受知识，导致在面对具体问题时无从下手。

（三）使用的解题方法缺乏灵活性

部分学生在对例题进行感知和分析时，无法形成思考和解答问题的基本策略，难以准确分析问题的条件和要求之间的关系，无法找到正确的解题思路。尤其针对较复杂的数学问题，学生不能进行知识迁移，难以使用灵活有效的解题方法来处理。以“全等三角形判定”的学习活动为例，判定三角形全等可运用多种方式，但学生在处理具体问题时，难以依据具体的要求灵活运用相应的判断方法。究其原因，在于学生运用多种判断方法时缺乏灵活性。

（四）综合归纳的能力较低

数学知识之间具有较为紧密的关系，可形成一个综合有机整体。在解答包含多个知识点的问题时，学生需运用不同的策略和方法。而学生在此方面的能力较低，无法进行综合归纳和推理，因此难以顺利解答问题。

针对以上情况，教师需提高对学生转化思维能力培养的重视程度，尽量为学生提供适合的锻炼机会，让学生灵活转化思维，运用所学知识提高解题的灵活性与准确性，实现学科能力的提高。

三、利用转化思想解答问题的策略

（一）化生为熟进行解答

知识的理解、记忆和升华源自积累和大量练习，学习的目的在于将陌生的知识转化为自身熟悉的语言并加以记忆。因此，面对烦琐、复杂的数学难题，初中生应具备自主思考与主动探究的意识，借助课堂所学知识将困难题目进行划分，即使用“转化思想”化繁为简，将复杂的解题步骤转变为结构单一、思路清晰的数个简单问题。初中教师在引导学生利用转化思想解决问题时，应及时了解学生的解题进展，并适时进行鼓励，培养其不畏艰难、勇于挑战的精神[2]。

例如，在讲授“二元一次方程组”一课时，初中数学教师应引导学生使用转化思想，将复杂的二元一次方程组转化为结构简单、易于解答的一元一次方程。同时，对于不畏困难、努力探索解题方法的学生，教师应适时鼓励；对于思维较为开阔、已经能够巧妙运用转化思想解决问题的学生，教师应对其进行进一步的引导。比如，在解答“已知二元一次方程组求x，y的值”这道题时，教师就可以使用转化思想。首先，第一个方程可以转化为x=y+5，即用关于y的一元一次等式表达x。因为两个方程式中的x代表相同的数值，所以可以将x=y+5代入4x-7y=16，即得出4(y+5)-7y=16，如此就将本题转变成了关于y的一元一次方程。

综上所述，初中数学教师应充分利用转化思想，帮助学生解决较为复杂、烦琐的数学难题。教师应引导学生运用转化思想化繁为简，将复杂的题目简单化。

（二）化零为整进行解答

复杂的题目中通常蕴含着一定的数学规律，并且这些规律常常隐藏在题目中的局部细节，对整体的解题方式产生影响。因此，初中数学教师应引导学生挖掘题目的细节，并探索细节与整体的关系，进而使用转化思想将复杂的问题简单化。“化整为零”思想是解决数学问题的重要方式之一，对初中生今后更加深入地学习数学有重要作用。化整为零是一种重要的解题思路，并非局限于数学难题，同样适用于范围更广、形式更复杂的生活问题。

例如，在解答问题“若2x-y=1，则-8x+4y+2014等于多少”时，教师就可以借助化整为零的转化思想指导学生。根据2x-y=1，可以得出4(-2x+y)=-4，即无须求得x和y的具体数值，将所求表达式用已知表达式进行表达。将前者代入后者可得出，4(-2x+y)=-8x+4y=-4，加上2014即得2010。在解决这道题目的过程中，就运用了化零为整的转化思想。

（三）化繁为简进行解答

化繁为简是转化思想最为普遍的体现方式，并且这种思维方法理解难度低，因而容易被初中生接受。初中数学教师在引导学生采取化繁为简思维解答问题的过程中，应指导学生从题目本身入手，挖掘其背后蕴藏的规律，并按照规律简化题目。这种解题思维对学生的全局意识要求较高，并且还需要学生对数学表达式具备一定的敏感性，认真观察和挖掘题目中蕴含的细节，寻找解决问题的切入点。

例如，在解答“(a-2)2-3(a-2)+2=0”这道一元二次方程题目时，教师应引导学生利用化繁为简的转化思想进行解答，而非将二项式完全展开。通过细致观察可以发现，(a-2)本身可以被视为一个整体，即将(a-2)用b代替，这个等式就变成了b2-3b+2=0，如此则将复杂的题目变成了简单的一元二次方程。然后，教师可以引导学生采取分解因式的方法解题，将关于b的等式变化为b-1和b-2两个单项式的乘积。得出b的数值后，再代入b=a-2，即可得出a的数值。同理，对于高次方程如a4-a2-6=0，也可以借助化繁为简的转化思想即用b代替a2，将原式化简为b2-b-6=0，使其变为b-3和b+2两个单项式的乘积，从而得出答案。

（四）化同为殊进行解答

化同为殊也是转化思想在解决初中数学问题时的具体思维方式之一。在初中生解答数学问题时，数学教师应有意识地引导学生引入化同为殊的思想，帮助他们“另辟蹊径”。

例如，在解答题目“在三角形ABC中，AB边长为5，角B为60度，AC边长为7，求BC的边长”时，初中数学教师可以引导学生采用化同为殊的解题思维。从上述数值可以看出，这个三角形并非特殊三角形，因此难以直接求出BC边长。此时，学生可以利用化同为殊的方式，将这一普通三角形转化为特殊三角形，即直角三角形。首先，在BC边上做一条连接A点并与BC边垂直的辅助线，与BC边相交于D点，将BC边分为两个部分，分别为BD和CD，这两部分分别作为两个直角三角形的直角边。由于这两个直角三角形共用一条直角边即AD，因此学生很容易根据勾股定理求出其各个边长，得出BD和CD的数值后，将其相加即得出BC的长度。

又如，面对涉及数值较多、较大的非零整数的棘手题目，使用常规四则运算很难迅速得出答案，且容易计算错误。如“计算59+599+5999+59999+599999”这道题目，学生如果使用传统的四则运算，不仅耗费时间较多，且容易出错。此时，学生可以利用化同为殊的思维方式，将题目中的五个数字分别改写成60-1、600-1、6000-1、60000-1、600000-1，并将其相加，再调换数字之间的位置，就可以将59+599+5999+59999+599999改写为“60+600+6000+60000+600000-5”，如此便能迅速得出答案，即666655。由此可见，基于转化思想的化同为殊思维方式能够使学生迅速找到解决困难问题的捷径，在提升解题速度的同时保证正确率。

（五）形数互变强化联系

形数互变是指在一些数学问题中，需要进行形和数互相转化，做到“以数化形”和“以形变数”的结合。“数”和“形”这两个概念，是数学知识体系中的重要内容，“数”表示的是数量关系，“形”表现的是直观的形象，将二者结合，可以把抽象思维和形象思维结合，找到题目的答案。数形结合思想的优势是取数之优、扬形之长，做到“数量关系”和“空间形式”的呼应。

例如，求下列数的绝对值：（1）-8；（2）a（a＜0）

分析：一些学生得出的答案是：（1）|-8|=8，（2）|a|=a。而学生给出这种答案，可见其对绝对值概念理解不深。学生如果可以正确画出数轴的草图，那么解题结果可能会有所改变。由于a是负数，所以其位置应在数轴的左边，这时候学生对“a是负数”的概念会有直观的理解，那么再求a（a＜0）的绝对值，就不会给出答案a了。

结 语

在初中数学解题中引入转化思想，可以帮助学生快速找到解题思路，也可以促进学生数学思维的形成，奠定初中生数学学习基础，使学生更好地学习数学。