钢结构螺旋楼梯的有限元分析与优化设计

钱籽祺，沙丽荣，王秀丽

吉林建筑大学 土木工程学院,长春 130118

0 引言

钢结构相比于混凝土结构,具有质量轻、强度高、延性好以及绿色环保等优点,而且加工制作的过程比较简单,已经广泛地应用于现代建筑结构和工程中,具有广阔的发展前景.而钢结构螺旋楼梯在工程上作为一种特殊的结构类型,因其能够契合建筑室内功能要求和节省空间的特点而被广泛应用到大型公共场馆中[1-4].如今，随着社会经济的不断发展和社会文明水平的提高,人们对居家环境和舒适度也提出了更高要求.一些高级住宅的室内也越来越多的采用钢结构螺旋楼梯,而对于住宅内的螺旋楼梯研究较少.在高级公共建筑及工业建筑中钢结构螺旋楼梯中板式已得到了广泛的应用,但螺旋楼梯作为楼梯中特殊的结构,与其他类型的楼梯(例如单跑、双跑和多跑楼梯)相比,所进行的研究分析和设计计算的相关研究尚且不多.因此,对螺旋楼梯进行有限元分析研究在理论和实际工程上具有关键的意义和价值.

1 ABAQUS概述

ABAQUS是当前先进且具备多种分析功能的有限元分析软件,在工程和科研领域中被广泛应用,它在实际工程中的模拟分析计算具有重要的作用.在结构分析中,可以进行结构的线性和非线性仿真分析和求解.用ABAQUS有限元分析方法能有效地解决复杂构件的应力、应变、位移等问题,并能精确地给出计算结果,其结果是可靠的.此外,在软件的草图视图中,它不光可以采用类似CAD的方式来建模,也可以在其他三维模型软件中先建立模型,再输出SAT格式文件后导入至软件中.该软件还具有各种各样的模块管理功能,如模型组件管理、结构交互管理、负载管理等.对于实际工程中的不同工况,在建模和仿真的过程中提供了便利条件,可为实际施工提供理论参考.在交互功能下,针对实际工程中经常遇到的接触问题,分别设立了连接和约束模块.在实际工程中,可以准确地模拟不同结构间或不同部件之间所存在的多接触问题.最后,软件还集成了功能完善且领先的Tosca的优化软件,Tosca在优化过程中对复杂模型具有快速高效的优化能力水平.基于以上优势,ABAQUS有限元分析软件被广泛应用于工程领域以及高校等科研领域[5-7].钢结构螺旋楼梯作为特殊的结构,其结构受力状态较复杂,在荷载作用下,承受空间弯矩、扭矩、剪力和轴力的共同作用.因此,采用有限元方法对钢结构螺旋楼梯进行结构计算分析,用有限元计算软件ABAQUS分析结构在最不利工况下的应力和位移的设计计算结果来研究其受力特点，并且在不影响整体结构安全的情况下对楼梯踏步体积进行结构优化计算后，分析螺旋楼梯整体结构的应力和位移大小,其优化结果可为实际钢结构旋转楼梯的结构设计和施工提供参考依据.

2 工程概况

某住宅小区室内采用钢结构螺旋楼梯,其平面简图如图1所示.结构层高为4.2 m,楼梯共26阶,踏步总宽为1.6 m,楼梯内径为0.5 m,楼梯外径为2.1 m.该钢结构螺旋楼梯的材料选用Q235钢,钢结构螺旋楼梯的上下两端均与支承梁固接,踏步板的截面尺寸为:300 mm×50 mm×10 mm,楼梯的主梁截面尺寸为:300 mm×100 mm×10 mm.

图1 螺旋楼梯平面简图Fig.1 Spiral stair sketch

3 ABAQUS分析计算

3.1 选取模型单元

ABAQUS软件具有实体单元、壳单元、线单元、点单元等多种多样的单元类型,每种单元都有不同的应用条件和特点,因而对于不同的单元则需要根据所模拟的模型结构特点进行针对性地选用.针对螺旋形钢结构楼梯的空间形态特点,考虑到其复杂性,采用以下单元形式:

螺旋楼梯的螺旋梯段部分由于扭曲问题而包含结构大变形的分析计算.因此对楼梯踏步和楼梯内外环梁部分采用精细网格进行划分,网格尺寸定义为50 mm,对于楼梯结构的不同部分,将实体单元分别定义为十节点二次四面体单元和八节点六面体单元以及缩减积分的方法进行有限元模拟.对该楼梯进行有限元分析时不采用非线性计算,采用几何线性求解.

3.2 螺旋楼梯上下两端的支承

钢结构螺旋楼梯上下两端的不同支承常常会影响整体结构的内力,因此依照楼梯上下两端的具体的支承方式的不同,分为固支、铰支和半铰支.当楼梯两端的支承梁完全限制结构在x，y，z3个方向的位移和转角时,称此支承方式为固支;当支承梁不能完全限制住螺旋楼梯绕x，y，z轴3个方向的转角时,称此支承方式为铰支;旋转楼梯若绕其中两个轴方向的转动较大,此时这两个方向不传递弯矩,而绕另一轴方向的转动受到较大限制时,考虑该方向上的力矩,称此支承方式为半铰支[8].按照上述3种不同的支承方式,一般可划分为下列7类[9]:

(1) 楼梯上端和楼梯下端为固定支承;

(2) 楼梯上端和楼梯下端为半铰支承;

(3) 楼梯上端为半铰支承,楼梯下端为固定支承;

(4) 楼梯上端为固定支承,楼梯下端为半铰支承;

(5) 楼梯上端为铰支承,楼梯下端为固定支承;

(6) 楼梯上端为固定支承,楼梯下端为铰支承;

(7) 楼梯上端为半铰支承,楼梯下端为铰支支承.

通过力学分析计算可以看出，对楼梯整体结构最为有利安全的情况是楼梯上下两端都是固定支承的情形;而最不利的情况是楼梯上端为半铰支承,下端为铰接支承,而楼梯的上下两端不宜为半铰支承.因此,本文以楼梯整体结构最为有利安全的情况考虑,主要研究钢结构螺旋楼梯上下两端为固定支承的情况.

3.3 计算的基本假定

用解析法来求解钢结构螺旋楼梯内力,并作出下述假定:

(1) 将钢结构螺旋楼梯的上下两部分直线梯段简化为单跨梁,螺旋楼梯的中部螺旋段简化为单跨空间弯曲梁.最后均以3个部分螺旋楼梯梯段的中轴线作为计算轴线.按此方法进行结构简化,既简便直观,又满足结构的安全性要求.

(2) 假定螺旋楼梯上下梯段部分和螺旋楼梯的中部螺旋段截面都是等截面,楼梯上下两端与支承梁为固定连接,并且楼梯上下两部分直线梯段的坡度相同.

(3) 由于结构所受到的切向和径向剪切对结构整体的变形的影响非常小,因此在计算结构变形时忽略结构所受到的切向和径向剪切.

3.4 楼梯正截面及其性质

通常楼梯的正截面部分为可变截面,因此为了计算简便,将正截面假设为是相等的,即等截面.如图2所示.图2中,踏板厚度以及内外环梁厚度t=10 mm，w=100 mm为内外环梁宽度，楼梯正截面宽度b=1 800 mm，踏步板截面高度h=50 mm，楼梯内外环梁高度h=300 mm.

图2 楼梯正截面Fig.2 The cross-section of the stair

4 有限元分析

4.1 建立结构模型

运用ABAQUS建立钢结构螺旋楼梯模型,将楼梯内外梯梁分别拆分成3部分,将每个踏步分别定义为单独的实体单元,由于楼梯内梯梁的旋转部分涉及大扭曲问题,在网格划分时采用八节点六面体单元划分时软件会报错,无法划分成功,因此单独将此部分定义为十节点二次四面体单元,即C3D10进行模拟.将除楼梯内梯梁外的所有三维实体单元定义为八节点六面体单元,即C3D8R,以及用缩减积分的方法进行模拟.其中螺旋楼梯的上下两端约束为固定约束,约束施加在旋转楼梯两端主梁截面处.建立的结构模型如图3所示.

图3 结构模型Fig.3 Structural model

4.1.1 材料的本构关系及参数设定

该钢结构螺旋楼梯所用材料是Q235钢,采用各向同性线弹性材料本构关系.具体应力-应变关系如式(1)所示:

{ε11

ε22

ε33

γ12

γ13

γ23}=[1/E-v/E-v/E000

-v/E1/E-v/E000

-v/E-v/E1/E000

0001/G00

00001/G0

000001/G]{σ11

σ22

σ33

σ12

σ13

σ23}

(1)

其中,G=E/2(1+v),在ABAQUS软件的材料属性中输入Q235杨氏模量E和泊松比ν.弹性模量取210 GPa,考虑到楼梯踏板与梯梁连接节点的连接强度的影响,故在设置材料属性时将Q235钢材密度放大1.1倍,取1.1×7 850=8 635 kg/m3,泊松比取0.3[10].

4.1.2 屈服准则

由于Q235钢为金属材料,因此其屈服准则可由Tresca屈服准测或Mises屈服准则判定.

Tresca屈服准则判定如式(2):

τmax=σmax-σmin2=k

(2)

{|σ1-σ3|=σs=2k

|σ1-σ2|=σs=2k

|σ2-σ3|=σs=2k

(3)

其中,若满足式(3)中的其中一个条件,则该材料进入了塑性状态.

Mises屈服准则判定如式(4):

(σx-σy)2+(σy-σx)2+(σz-σx)2+6(τxy2+σyz2+σzx2)=2σs2=6k2

(4)

式中，σs为材料的屈服点；k为材料的剪切屈服强度.若上式满足,则该材料进入了塑性状态.

4.1.3 标准荷载工况及荷载取值

楼梯自重+楼梯附加恒荷载+楼梯活荷载,基本荷载组合为1.3(自重荷载+附加恒荷载)+1.5活荷载,重力加速度放大后取1.3×9.8=12.74 m/s2,附加恒载投影值取0.8 kPa,楼梯活载考虑3.5 kPa;附加恒荷载和活荷载的荷载组合为1.3×0.8 kPa+1.5×3.5 kPa=6.29 kPa.

4.1.4 踏步与梯梁节点

钢结构楼梯的踏步板与梯梁的连接方式为对接焊接,选取其中三段踏步的焊接剖面简图,如图4所示.由于连接方式为焊接,因此对焊缝进行抗剪验算,为了计算方便,取楼梯一节踏步和梯梁计算.软件计算该钢楼梯整体体积为0.422 m2,考虑实际材料用量情况,为保守计算,验算时取0.45 m2.因此,整体楼梯所受总荷载(自重+荷载组合)为45.70 kN+78.50 kN=124.2 kN,平均分配至每一节踏步上的荷载为4.78 kN.

图4 焊接剖面简图Fig.4 Welding section sketch

由《钢结构设计标准》GB50017-2017中对接焊缝的剪应力公式可计算出该对接焊缝所受到的剪应力大小为5.96 MPa,小于规范中对接焊缝抗剪强度设计值120 MPa.但这种计算方法对于直梯段的踏步计算近似满足,而对于螺旋梯段,用这种取平均的方式计算不准确.

由软件模拟后的楼梯应力图8可知,螺旋梯段部分的踏板连接节点最大应力位置在螺旋梯段踏步板内侧,大小为80.19 MPa,亦小于120 MPa,故踏步与梯梁节点接缝强度满足要求.

4.1.5 荷载施加方式及加载制度

荷载施加方式以压强(面荷载)的形式施加在楼梯踏面上,其中恒荷载取螺旋楼梯的自重荷载,荷载加载见图5.图中黄色箭头为重力荷载,紫色箭头为附加恒荷载和活荷载的荷载组合.

为防止全部加载荷载后ABAQUS在分析计算过程中出现不收敛的情况,因此将加载过程分为8个加载等级逐级加载,因此在ABAQUS软件中设置8个分析步,每级加载0.898 6 kPa,见表1.

表1 加载制度Table 1 Loading system

4.1.6 网格尺寸选取

有限元软件对结构的有限元分析,就是对连续的模型结构进行分割、打断、离散化处理,以简化结构并得到最后的分析结果.由此可知,对模型结构离散化程度越高,最后得到的处理结果就越符合真实情况,但是也需要更多的时间来进行模拟,而且效率也会因为离散的数量而受到影响.网格划分的质量和划分后的单元体形状与有限元分析能否顺利进行有密切联系,而网格数目又与计算的准确性有关,所以在划分网格时应注意划分的准确性.根据本文模型的尺寸和形状,为了防止网格划分过粗而出现计算精度不够、不收敛的现象和网格过密而容易出现应力集中的现象,将网格布种尺寸设为50 mm,网格划分结果如图6所示.

4.2 有限元分析结果

在ABAQUS软件中建立钢结构螺旋楼梯的有限元模型并运行计算之后,查看有限元分析后处理结果,由此可获得钢结构螺旋楼梯的位移云图和应力云图,从图中可知楼梯的位移、应力分布情况和大小.后处理分析结果如图7和图8所示.

图7 结构总位移云图(mm)Fig.7 Total displacement of the structure

图8 结构应力云图(MPa)Fig.8 Structural stress

通过图7看出,由于楼梯两端固定,在楼梯中部外侧梯梁位置位移最大,楼梯两端位移最小,楼梯上的每节踏步中也是踏步外侧位置位移最大,整体最大位移为14.41 mm,发生在旋转楼梯中部的踏步外侧梯梁处.由《钢结构设计标准》GB50017-2017规范可知,本文分析计算的钢结构螺旋楼梯变形容许值为18 mm,满足变形要求.由图8可看出,结构应力最大处在楼梯两端的梯梁固定处,最大为98.44 MPa,满足规范要求.综上,由最大位移数值和最大应力数值可知该结构安全.

4.3 结构优化分析

由ABAQUS分析后查看后处理结果可知,结构最大位移和最大应力值均安全,还有一定的优化空间,但由于钢结构螺旋楼梯本身的踏板和楼梯内外两边梯梁部分均为受力构件,且为保证钢结构螺旋楼梯的楼梯踏板和楼梯内外两边的梯梁连接的安全可靠及考虑整体结构安全,对该结构只优化螺旋楼梯直梯段的踏板部分,而不优化楼梯内外两边梯梁和楼梯中部的螺旋段部分.

本文对钢结构螺旋楼梯采用ABAQUS Tosca拓扑优化的方式优化,优化设计目标为使得结构应变能最小(刚度最大);优化设计变量为单元密度在0～1之间;优化区间为螺旋楼梯的踏步段;限制条件为缩减10 %的螺旋楼梯直梯段踏步体积.模型体积优化结果见图9.其中,为考虑楼梯实际使用过程中的整体结构安全,楼梯两端的第八和第九级踏步的实际施工过程中应采用未优化前的踏步模型(如图3所示).

图9 优化结果模型(90 %)Fig.9 Optimizing the resulting model(90 %)

模型优化后单元密度分布如图10所示.由图10可以看出,旋转楼梯直梯段的踏步长度1/4及3/4处缩减体积的圆孔周围密度均小于1,说明该结构优化的踏步体积部分相较于其他踏步部分的权重占比不高.因此,由ABAQUS Tosca拓扑优化后的模型结果可为该旋转楼梯结构的实际设计施工提供参考依据,缩减的体积部分在不影响该钢结构旋转楼梯的结构安全基础上以达到节约钢材的目的.

图10 优化后单元密度分布Fig.10 Cell density distribution after optimization

若对整体楼梯踏板部分体积缩减至90 %,ABAQUS Tosca拓扑优化的模型结果见图11,整体优化后位移云图见图12.由图11及图12可以看出，楼梯踏步优化后的踏步截面宽度较小,优化位置集中在楼梯位移较大处附近,最大位移为19.86 mm,不满足规范要求,且在截面形状突变处易产生应力集中,显然在楼梯的实际使用过程中不满足结构的构造及变形要求.在楼梯的实际使用过程中,踏步长时间受到反复荷载的作用下易产生疲劳破坏.因此,为了考虑钢结构螺旋楼梯的结构安全,只在原来楼梯结构的基础上优化螺旋楼梯直梯段踏步体积的10 %.直梯段的踏步体积缩减10 %前后的结构截面变化如图13所示.

图11 整体踏步优化模型(90 %)Fig.11 Overall step optimization model(90 %)

图13 直梯段截面优化前后对比Fig.13 Comparison diagram before and after section optimization of straight ladder section

4.4 结构优化结果

钢结构螺旋楼梯踏步体积经由Tosca拓扑优化后查看优化结果,可获得螺旋楼梯踏步体积拓扑优化后的位移云图和应力云图如图14和图15所示.从图中可知，楼梯踏步体积优化后的结构位移、应力分布情况和大小.

图14 优化后总位移云图(mm,90 %)Fig.14 Total displacement after optimization(mm,90 %)

图15 优化后应力云图(MPa)Fig.15 Stress after optimization

通过优化后的位移云图14看出,优化后的结构整体最大位移为17.63 mm,满足规范要求.最大位移亦发生在楼梯中部外侧梯梁处,由优化后的应力云图15可看出,结构的最大应力为92.45 MPa,满足规范要求,亦发生在楼梯两端的梯梁固定处.综上,由最大位移数值和最大应力数值可知该结构安全.

从表2可以看出,优化后的结构整体最大位移为17.63 mm,结构的最大应力为92.45 MPa,与未优化前相比,最大位移增加3 mm左右,最大应力减小6 MPa左右.由此可知,对踏步体积缩减10 %后的优化结果均满足规范要求,相对合理.

表2 优化前后有限元分析结果Table 2 Finite element analysis results before and after optimization

5 结论

(1) 在软件中建立钢结构螺旋楼梯的有限元模型之后,由软件的处理结果可分析结构位移与应力的分布情况:在螺旋楼梯结构对踏步优化之前的最不利工况下,整体结构最大位移值为14.41 mm,发生在旋转楼梯中部外侧梯梁处.结构在优化前的最不利工况下的最大结构应力发生在楼梯两端的梯梁固定处,最大为98.44 MPa.优化后的结构整体最大位移为17.63 mm,最大位移亦发生在楼梯中部,每级踏步的踏步中部外侧梯梁处,对螺旋楼梯结构踏步体积优化之后的结构最大应力值为92.45 MPa,亦发生在楼梯两端的梯梁固定处.综上,由优化前后的最大位移数值和最大应力数值可知均满足规范要求,该结构安全.

(2) 优化后的结构最大位移和最大应力与未优化前相比均有所变化,但均满足规范.由此可知,对踏步体积优化后的结果满足结构整体强度和变形,相对合理.由此对旋转楼梯有限元模型进行优化设计,优化结果可为实际钢结构旋转楼梯的结构设计和施工提供参考依据.

(3) 本文利用有限元软件ABAQUS对钢结构螺旋楼梯模型分别定义了螺旋楼梯的材料属性、截面的特性、添加分析步、施加约束条件和荷载、网格划分；然后通过软件得到结构位移和应力数据；最后分别以钢结构螺旋楼梯的踏步体积作为优化条件,分析结构优化前后不同踏步体积对钢结构螺旋楼梯的整体最大位移和应力的影响.踏步体积缩减太高会对结构不利,应选择合理的踏步体积.在设计钢结构螺旋楼梯的时候在保证楼梯结构强度、变形及稳定性要求的前提下，应尽量减小楼梯的体积.