单元教学设计中“单元”的建构与规划——以幂函数、指数函数和对数函数单元为例*

张海强 (江苏省宜兴中学 214200)

2021年10月，应教育部基础教育课程教材发展中心之邀，笔者参与了普通高中新课程新教材国家级示范区示范校建设工作，进行了数学必修一“幂函数、指数函数和对数函数”单元教学规划，并执教了第4课时“对数函数的图象与性质”公开研究课．该活动得到了首都师范大学王尚志教授、胡凤娟老师的悉心指导．本次活动在单元整体分析(数学的理解、课标的理解和教材的理解)和学情分析的基础上，采各教材之长，构建具有个性化的单元，提炼单元主题，凝练单元目标，并对单元作了课时划分，提出各课时的阶段目标和任务．现将设计过程整理成文，与大家分享．

从课程开发的立场看，单元是依据课程标准，围绕主题(专题、话题、问题、大概念)或活动等选择学习材料并进行结构化组织的学习单位．从教学的立场看，单元是教学过程中相对完整的学习“段落”[1]．本文涉及的“单元”更倾向于前者．

1 单元整体分析

1.1 数学的理解

函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥重要作用．函数的概念从初中的“变量说”发展到高中的“对应说”，再到大学的“关系说”，是一个逐步抽象的过程．“变量说”和“对应说”可以认为是认识函数概念的两个角度，但更重要的是两个层次的抽象．“变量说”比较形象、直观，与“变化过程”联系紧密；“对应说”进一步舍弃了运动变化背景，抽象为两个实数集元素之间的对应关系，不仅可以研究一类函数的性质、函数之间的关系，还可以研究不同函数类的关系，对不同函数类进行运算等，从而极大地拓展了函数的研究视野和函数的应用范围．

函数性质的研究方法强调代数运算和图象直观的综合运用，即进一步加强数形结合的方法．初中主要通过图象直观给出函数性质的定性描述，高中则加强了代数运算，使得函数的性质得到了定量刻画，导数的引入实现了函数性质的精确刻画．

1.2 课标的理解

函数是贯穿高中数学课程的主线．函数的概念和性质的学习路径为函数的概念—函数的性质—函数的应用．通过学习，学生学会了一套“数学的话语方式”，接下来就是运用这套话语方式，从客观世界的变量关系和规律中去抽象基本初等函数，用函数的语言表达，用图象直观和代数运算的方法研究性质，并用于解决数学内外的问题．这个过程既是函数一般概念的应用，同时也在应用过程中加深对函数概念的理解[2]．

在教学中，要帮助学生学会用图象直观和代数运算的方法研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数(周期性的模型)等连续性函数，以及数列等离散型函数．这些具体函数具有基础性地位，不仅应用广泛，而且是进一步学习数学的基础．

函数学习重点提升数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养，幂函数、指数函数和对数函数的图象与性质的学习则主要侧重于提升逻辑推理、数学运算和直观想象等核心素养[3]．

1.3 教材的理解

(1)人教A版

教材将函数单元分为《函数的概念和性质》《指数函数和对数函数》《三角函数》三章，其中幂函数归入《函数的概念和性质》一章，作为函数的概念和性质的直接应用．

幂函数定位于函数性质的简单应用，幂函数概念的形成采用特殊到一般的方式获得，是数学抽象的过程，同时又是一种归纳推理．整个过程体现一种重要的数学思想方法——类思想，以彰显数学的文化价值．通过探究栏目的设置，提供研究函数的内容、方法和路径，同时加强了函数之间的联系．

指数函数和对数函数单元的定位：帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究指、对函数的性质，理解它们所蕴含的运算规律，运用它们建立模型，解决实际问题．

指数函数：包括指数运算和指数函数两大部分．指数运算旨在对指数范围的扩充，属于数学运算的范畴．指数函数从真实情境中抽象而来，有利于培育数学抽象素养．

指数函数的图象与性质的研究过程充分展示了函数图象和代数运算的结合，体现了数形结合的思想．教材从描点法开始，画出y=2x和y=2-x的图象，并通过代数运算揭示内在联系．并由“类思想”得出y=ax的图象，并由图象得出指数函数的性质．信息技术的应用让学生动态地、直观地理解底数a对指数函数图形的影响，同时介绍了GeoGebra的使用方法．

对数函数：对数的概念和运算主要培育数学运算素养．

对数函数抽象的过程建立在对数与指数的内在关联上，这是对数函数抽象过程“与众不同”的地方．“探究”与“探究与发现”栏目的设置，要求教师在对数函数教学中加强从反函数角度发现和提出问题的引导．这是逆向思维的典范，而“反过来会怎样？”就是学会数学地发现和提出问题的表现之一．

对数函数的图象可以从描点和反函数关系两个角度入手，进一步体会数形结合的思想和“类 思想”．

“以形助数、以数论形”成为对数函数的研究方法，通过代数运算得出指数函数、对数函数的性质，从代数关系获得函数图象之间的某些特征．

“不同函数增长的差异”让学生体会“直线上升”“对数增长”和“指数爆炸”的含义．在它们之间进行比较的方式和路径的设计必须引起重视．教材主要通过列表和图象两个方面，从直观的角度让学生去体会．

(2)沪教版

沪教版教材将幂函数、指数函数和对数函数作为一个研究单元，以此为载体，让学生学会研究函数的一般方法．

对于幂函数，教材以例题的方式展示了研究幂函数的一般方法(一般程序)，侧重于由数到形的研究路径，即先研究幂函数的性质，再绘制幂函数的图象．教材还特别关注函数之间的关系(和函数、平移、对称变换)．

指数函数的研究则倾向于由形到数的研究路径，即先绘制特殊的指数函数图象，由图象归纳出指数函数的性质，再以指数函数为模型应用于实际生活，体现数学建模等核心素养．

值得一提的是，绘制指数函数图象的时候，传统的描点法不可或缺，信息技术更应充分利用，可以展示底数a对指数函数的影响，体现“类思想”．

“借助计算器观察函数递增的快慢”一方面体现了信息技术的应用，另一方面让学生体验指数增长的飞速．

对数函数设置于高一下册，对数的概念和对数的运算比其他教材更为详尽，体现了对数学运算素养的重视．反函数专辟一节，位于对数函数之前，起到了铺垫的作用，符合学生的认知规律，绘制对数函数的图象即通过互为反函数的关系来实现．

(3)苏教版

函数概念和性质组成一章，包括函数的概念、单调性和奇偶性．幂函数、指数函数、对数函数组成一章．指数与对数单独成章置于《函数概念和性质》一章之前．

(4)湘教版

幂函数、指数函数和对数函数从代数运算统一性的高度来认识，提高了站位，有利于单元整体教学的展开．

幂函数的图象与性质侧重于代数运算，图象直观只关注5类具体函数，不推广至一般情形，贴合课程标准的要求，“类思想”体现明显．

指数函数的概念源于丰富的真实情境，“指数爆炸”和“指数衰减”是两个重要形式，利于将数学抽象素养的培养落到实处．

关于指数函数的图象与性质，指数函数的性质源于幂运算的性质，从代数运算推导指数函数的性质是湘教版的一大特色——“有了这样基本的理性认识，就能够在作图之前预见到图象的大致模样，等到图象出来，对照栩栩如生的曲线来检验自己的想法，就更为亲切，更有成功感．”

对于对数函数的图象与性质，从指数函数与对数函数的关系入手，利用反函数来获得对数函数的图象，从而得出对数函数的性质，过程清晰明了，但对反函数的理解尚需一个过程．对数和对数函数的应用非常广泛，是数学文化重要的载体．

值得一提的是，习题设置的三个栏目(学而时习之、温故而知新、上下而求索)符合学生的认知规律，与中国文化有机结合，读来备感亲切．

(5)北师大版

奇偶性和简单的幂函数合为一节，对函数奇偶性着墨相对偏少，对简单的幂函数严格控制在5个常见函数，更加关注奇偶性的应用价值——简化函数的研究范围，以幂函数和分段函数为例．

指数幂的扩展和指数幂的运算，对数学运算提出了新的要求．

指数函数的概念教材一笔带过，直截了当，并从代数运算的角度给出两个性质，也即知晓了图象的大致范围．

指数函数的研究将a分为两类，小步推进，分类研究，形成同构，有利于模仿探究，值得提倡．指数函数的作图采用描点法，让学生体验作图过程，体会“指数爆炸”．

对数具有丰富的文化背景，教材做了大量的阐述.对数作为新的运算对象，教材从概念、运算法则和换底公式三个部分展开，对培养学生的数学运算素养起到了良好的导向作用．

对于对数函数，利用指数函数直接给出对数函数的定义，并指出两者之间的关系——互为反函数．

对数函数的图象研究仍然采用小步推进的方式，先研究y=log2x的图象，从描点法和互为反函数的图象关系两个角度作图，尤其是从互为反函数的图象的角度，给出了一个完整的演变过程，值得借鉴．

2 学情分析

2.1 学生已有的认知基础

(1)学生已掌握指数幂的运算性质，理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；(2)学生已理解函数的概念和基本性质；(3)能用描点法作出函数的大致图象．

2.2 达成教学目标所需的认知基础

(1)提炼函数作图的基本要素；(2)能从函数图象和代数运算两个角度研究具体函数．

2.3 “已有基础”与“需要的基础”之间的差异

(1)描点法作图是学生常用的作图方法，但对函数作图的基本要素缺乏应有的认识，需要师生合作、交流和分享，提炼出函数作图的基本要素(基本形状+具体位置)；(2)函数图象和代数运算是研究函数的两个角度，在探究函数的图象与性质的过程中实现两者之间的自由切换．

2.4 教学的难点与对策

难点：提炼函数作图的基本要素；会从函数图象和代数运算两个角度研究一般函数．

突破难点的策略：从快速作图的要求出发，帮助学生提炼函数作图的要素；引导学生从数和形两个角度研究函数，分别从解析式、列表和函数间的关系等维度切入，形成研究函数的一般方法．

2.5 几个具体问题的调查分析

(1)坐标轴互换导致图形变化，学生是如何思考的？

①旋转(逆时针或顺时针)90°；②描点：(1,2)→(2,1)，(a,b)→(b,a)；③沿直线y=x对折，此时x轴变为水平向右，y轴变为竖直向上；④看作图纸的背面．

(2)幂函数、指数函数学完后，学生是否形成了研究函数的一般方法调查．

结论：①对“研究函数的一般方法”有了感性认识，但缺乏提炼；②能用“数学的话语方式”表达幂函数、指数函数；③对函数的研究侧重于局部，真实情境和具体函数、数与形之间的转换不够灵活．

(3)函数作图的现状调查

结论：①从总体而言，学生掌握的函数作图方法不成系统；②对描点法根深蒂固；③多数学生能从解析式出发求定义域，即初步有了从数到形思考问题的意识；④利用函数间关系作图的能力普遍较弱．

3 明确单元及其包含的知识内容

单元名称：幂函数、指数函数、对数函数．其包含的知识内容：幂函数、指数函数和对数函数的概念、图象与性质．

选择理由：(1)湘教版教材的章头图将幂函数、指数函数和对数函数从代数运算的统一性的高度来认识，提高了站位，有利于单元整体教学的展开．

(2)将单元内容圈定为幂函数、指数函数和对数函数的概念、图象与性质，有利于帮助学生形成研究函数的一般方法：由背景抽象出具体函数，再由数学推理推演出函数的图象与性质，最后将其作为模型应用于实际问题．这一处理更加凸显数学核心素养：数学抽象、逻辑推理和数学建模，即数学抽象和数学建模是沟通真实世界和数学的桥梁，逻辑推理则是数学内部系统化的思维过程．

(3)采用苏教版的体例，将指数运算和对数运算单独成章，关注数学运算素养的培养，在此基础上着重研究三类函数的概念、图象和性质，主题和指向性更加明确．

4 单元主题和单元目标

4.1 单元主题

积累学习幂函数、指数函数、对数函数的经验，形成研究函数的一般方法．

4.2 单元目标

(1)经历幂函数、指数函数和对数函数概念的形成过程，理解幂函数、指数函数和对数函数的概念，能从真实情境中抽象出数学概念．

(2)通过探究幂函数、指数函数和对数函数图象和性质，提炼函数作图的基本要素，体会数形结合的思想．

(3)通过对幂函数、指数函数和对数函数等知识结果的理解，提高归纳提炼的能力，从研究“个别”函数走向研究“一类”函数，掌握“类思想”．

(4)运用幂函数、指数函数、对数函数建立模型，解决简单的实际问题，体会它们在解决实际问题中的作用．

(5)通过数学文化的挖掘，理解数学思想方法，崇尚科学精神，体悟数学之美．

本单元旨在积累学习幂函数、指数函数、对数函数的经验，形成研究函数的一般方法．主要提升学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理和直观想象素养[3]．

5 教学阶段划分及每个阶段在实现单元目标时所发挥的作用

本单元分四个阶段．第一阶段：幂函数(1课时)；第二阶段：指数函数(2课时)；第三阶段：对数函数(2课时)；第四阶段：小结(2课时)．

5.1 第一阶段：幂函数(1课时)

(1)阶段目标

以幂函数为载体，理解研究一类函数的内容、基本思路(定义—图象与性质—应用)和方法，学会从不同的角度看问题．

(2)任务提要

5.2 第二阶段：指数函数(2课时)

(1)阶段目标：在研究幂函数的基础上研究指数函数，体会函数研究的一般方法．

(2)任务提要：①从真实情境中抽象出指数函数的概念；②利用描点法作出具体的指数函数的图象；③由具体函数的图象抽象出指数函数的性质；④指数函数(模型)的简单应用．

5.3 第三阶段：对数函数(2课时)

(1)阶段目标：在幂函数、指数函数研究的基础上，采用类比方法，探究对数函数的概念、图象和性质，进一步体会函数研究的一般方法．

(2)任务提要：①在指数函数的基础上抽象出对数函数的概念；②通过描点法和函数间的关系，作出对数函数的图象；③由具体函数的图象抽象出对数函数的性质；④对数函数(模型)的简单应用．

5.4 第四阶段：小结(2课时)

(1)阶段目标：①通过幂函数、指数函数和对数函数增长差异的比较，从整体上把握三类函数；②经历函数库的建立过程，通过分享交流，学会分类．

(2)任务提要：①设计三类函数增长差异比较的方案；②构建有个性化色彩的函数库．

(限于篇幅，活动设计、作业设计、评价设计和资源设计从略．)