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对一道平面向量模考题的探究与思考

2022-11-18华志远江苏省无锡市第一中学214031

中学数学月刊 2022年6期
关键词:本题运算试题

华志远 (江苏省无锡市第一中学 214031)

在无锡市2021年秋学期高三期中考试中,第20题是一道以三角形为背景的平面向量试题.统计表明,该题难度系数仅为0.15,得满分者更是寥若晨星.从题面上看,试题内容看似平实,实则内涵极为丰富;试题呈现方式简洁,提出问题逐级深入;涉及知识综合有度,方法灵活多样;具有较强的探索性,深度检测了数学素养,充分体现了新高考评价体系的精神,即把关键能力作为高考评价的核心指标和因素.从题干上看,本题从三角形的基本量和点线的位置关系出发,通过引入向量语言,使数与形有机结合.第(1)问是求两条线段的比值,属于几何问题;第(2)问是求两个向量数量积的最小值,属于代数问题,从而使试题具有较强的探索性和开放性,学生可以从平面向量的多个维度寻找解题突破口,并利用向量共线定理进行转化,而数量积的最值可利用基本不等式或求导获得答案.由于学生解答情况较差,因此我们对本题作重新研究、评估和反思.本文试图通过探索该题的命题背景,尝试一般的解题策略,依托数学思想方法,引领学生走出思维误区,以发展学生的能力和素养.

1 试题及背景分析

图1

从建系维度去分析,根据三角函数定义,应以A为原点,AB为x轴,这样有利于写出各个点的坐标,从而将向量问题转化为坐标的代数运算.

2 解法探究

图2

3 解法评价

数学解题中,不同的思维视角对解题的长度、逻辑推理及数学运算产生较大影响,其中确立思维的起点最为重要.以《平面向量》一章为例,通常可以从几何法、基向量法、坐标法、数量积等作为思维的开启,在解题目标的驱使下作合理的选择、调整和实施.如本题若从图形上加以整体分析,则利用平面几何知识,可使解题显得一气呵成、简洁明了,这对学生的直观想象素养提出了要求;若从向量角度思考,则要选好基向量,并通过其线性运算,结合向量的共线找到其中的内在联系,但由于本题图形中涉及的点线较多,许多学生解题时产生了“原地打转”的现象,思维缺乏进阶;若从坐标法去分析思考,则关键要建立适当的坐标系,写出相关点及向量的坐标,同时对数学运算的目的性、条理性及准确性提出了较高的要求.由此可见,只有让学生形成大单元的视野,掌握主干知识结构和体系,依据数学思想方法,才能自然地找到思维的起点,并在思维导图的引领下,实现解题的目标.从考试卷面上看,首先众多学生面对问题无所适从,因而零分率超过60%,说明在复习教学中,学生的认知体系构建存在不足;其次是解题的目标意识不强,在探寻结论与条件的关系时,找不到中间转化的量(线段长、向量或坐标),从而使思维受挫;再次是逻辑推理、数学运算、直观想象等数学素养有待进一步提高,尤其是利用坐标法求解的学生,无论从坐标系的建立,还是运算的正确率都有待加强.

4 走出解题困境

著名数学及教育家G·波利亚在《怎样解题》一书中,将数学解题分为四个步骤,即审题联想、拟定计划、实施解答和回顾反思.审题联想是从宏观上要求解题者理解题意,弄清条件与结论,并产生有效联想,从而找到解题目标,其中包括信息的获取与检索、题目与知识的关联性以及思维起点的确立等;拟定计划是从中观上要求解题者在明晰方向后,形成具有可操作性的解题步骤,即从条件与结论的联系出发,运用数学思想方法作引领,尽量将复杂的、陌生的问题化归为简单的、熟悉的问题;实施解答是从微观层面上动手操作,要求解题者利用数学知识和通性通法,进行有条理的推理和演算,并在解题过程中加以监控、调整和优化;回顾反思则是指既要总结解题成功的经验,又要反思解题失败的教训,并从认识论、方法论、价值论的维度加以提炼,促进解题者理性思维的发展,从而不断积累数学活动经验,提高“元认知”能力.以这道模拟考题为例,如果我们从这一解题理论去指导学生分析和解决问题,那么对学生构建《平面向量》一章的认知结构、优化思维品质、提升关键能力,都会起到积极的引领作用.

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