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抛物线的一个结论及应用

2022-11-17万建光

数理天地(初中版) 2022年21期
关键词:二次函数

万建光

【摘要】通过探究得到抛物线的多切线问题中的一个优美结论,并用其解决相关问题.

【关键词】抛物线切线;二次函数;中考压轴

当直线l(l与y轴不平行)与抛物线y=ax2+bx+c只有一个公共点,这时我们说直线l和抛物线相切,直线l叫做抛物线的切线,这个公共点叫做切点.

结论过抛物线y=ax2+bx+c外任一点P作抛物线的切线l1,l2,切点分别为M,N,若点M,N的横坐标分别为m,n,则点P的坐标为(m+n2,amn+m+n2b+c).

图1

证明不妨设a>0,如图1,设点

M(m,am2+bm+c),

N(n,an2+bn+c),

直线l1的解析式为

y=px+q,

联立y=ax2+bx+c,y=px+q,消去y得

ax2+(b-p)x+c-q=0,

因为直线l1是抛物线的切线,

所以Δ=0,

即此方程有两个相等的实数根,

由根与系数的关系得

2m=p-ba,m2=c-qa,

则p=2am+b,q=c-am2,

则直线l1的解析式为

y=(2am+b)x+c-am2.

同理,直线l2的解析式为

y=(2an+b)x+c-an2.

联立y=(2am+b)x+c-am2,y=(2an+b)x+c-an2,

解得x=m+n2,y=amn+b(m+n)2+c,

点P的坐标为(m+n2,amn+m+n2b+c).

此结论简洁、对称、和谐,它很好的说明了抛物线的切点和切线交点的坐标之间的关系,特别的,无论切点如何变化,两切线的交点的横坐标恒为两切点横坐标的平均数.在解抛物线的多切线问题时,利用此结论可以很快地得出解题思路并解决问题,下面举例说明.

图2

例1如图2,直线y=-2上有一动点P,过点P作两条直线,分别与抛物线y=x2有唯一的公共点E、F(直线PE、PF不与y轴平行),求证:直线EF恒过某一定点.

解设E(t,t2),F(n,n2),

直線EF的解析式为

y=(t+n)x-tn,

由结论可知点P(t+n2,tn),

所以tn=-2,

即EF的解析式为y=(t+n)x+2,

所以直线EF过定点(0,2).

图3

例2如图3,△MNE的顶点M,N在抛物线y=x2上,点M在点N右边,两条直线ME,NE与抛物线均有唯一公共点,ME,NE均与y轴不平行.若△MNE的面积为2,设M,N两点的横坐标分别为m,n,求m与n的数量关系.

解过点E作EF∥y轴交MN于点F,

由结论知E(m+n2,mn),

直线MN的解析式为

y=(m+n)x-mn.

令x=m+n2,y=m2+n22,

所以F(m+n2,m2+n22),

EF=yF-yE=m2+n22-mn=(m-n)22,

S△MNE=12EF·(m-n)=(m-n)34,

所以(m-n)34=2,

所以(m-n)3=8,m-n=2.

图4

例3如图4,抛物线y=x2-32x-1与过点(1,-1)的直线交于M,N两点,分别过M,N且与抛物线仅有一个公共点的两条直线交于点G,求OG长的最小值.

解设M(m,m2-32m-1),

N(n,n2-32n-1),

易得直线MN的解析式为

y=m+n-32x-1-mn,

且过点(1,-1),

则mn=m+n-32,

由结论得

G(m+n2,mn-3(m+n)4-1),

则G(m+n2,m+n4-52),

即点G在直线y=12x-52上,

直线y=12x-52与x轴交于点E(5,0),与y轴交于点F(0,-52),

则OE=5,OF=52,EF=552,

过点O作直线y=12x-52的垂线,垂足为点H,

因为12OF·OE=12EF·OH,

所以OH=5,

当点G与点H重合时,OG最小,最小值为5.

图5

例4抛物线y=x2-1交x轴于A,B两点(A在B的左边),如图5,F是原点O关于抛物线顶点的对称点,不平行y轴的直线l分别交线段AF,BF(不含端点)于G,H两点.若直线l与抛物线只有一个公共点,求证:FG+FH的值是定值.

解由A(-1,0),B(1,0),F(0,-2),

可得直线AF的解析式为

y=-2x-2,

直线BF的解析式为y=2x-2,

联立y=2x+2,y=x2-1,消去y并整理得

x2-2x+1=0,

因为Δ=0,

得直线AF与抛物线有唯一公共点,

同理,得直线BF与抛物线有唯一公共点.

设直线l与抛物线的唯一公共点为M,

设M(m,m2-1),A(-1,0),B(1,0),

由结论知

xG=m-12,xH=m+12,

GF=-5xG,HF=5xH,

所以FG+FH=5(xH-xG)

=5m+12-m-12=5为常数.

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