抛物线的一个结论及应用

万建光

【摘要】通过探究得到抛物线的多切线问题中的一个优美结论，并用其解决相关问题.

【关键词】抛物线切线；二次函数；中考压轴

当直线l（l与y轴不平行）与抛物线y=ax2+bx+c只有一个公共点，这时我们说直线l和抛物线相切，直线l叫做抛物线的切线，这个公共点叫做切点.

结论过抛物线y=ax2+bx+c外任一点P作抛物线的切线l1，l2，切点分别为M，N，若点M，N的横坐标分别为m，n，则点P的坐标为（m+n2，amn+m+n2b+c）.

图1

证明不妨设a＞0，如图1，设点

M（m，am2+bm+c），

N（n，an2+bn+c），

直线l1的解析式为

y=px+q，

联立y=ax2+bx+c，y=px+q，消去y得

ax2+（b-p）x+c-q=0，

因为直线l1是抛物线的切线，

所以Δ=0，

即此方程有两个相等的实数根，

由根与系数的关系得

2m=p-ba，m2=c-qa，

则p=2am+b，q=c-am2，

则直线l1的解析式为

y=（2am+b）x+c-am2.

同理，直线l2的解析式为

y=（2an+b）x+c-an2.

联立y=（2am+b）x+c-am2，y=（2an+b）x+c-an2，

解得x=m+n2，y=amn+b（m+n）2+c，

点P的坐标为（m+n2，amn+m+n2b+c）.

此结论简洁、对称、和谐，它很好的说明了抛物线的切点和切线交点的坐标之间的关系，特别的，无论切点如何变化，两切线的交点的横坐标恒为两切点横坐标的平均数.在解抛物线的多切线问题时，利用此结论可以很快地得出解题思路并解决问题，下面举例说明.

图2

例1如图2，直线y=-2上有一动点P，过点P作两条直线，分别与抛物线y=x2有唯一的公共点E、F（直线PE、PF不与y轴平行），求证：直线EF恒过某一定点．

解设E（t，t2），F（n，n2），

直線EF的解析式为

y=（t+n）x-tn，

由结论可知点P（t+n2，tn），

所以tn=-2，

即EF的解析式为y=（t+n）x+2，

所以直线EF过定点（0，2）．

图3

例2如图3，△MNE的顶点M，N在抛物线y=x2上，点M在点N右边，两条直线ME，NE与抛物线均有唯一公共点，ME，NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M，N两点的横坐标分别为m，n，求m与n的数量关系．

解过点E作EF∥y轴交MN于点F，

由结论知E（m+n2，mn），

直线MN的解析式为

y=（m+n）x-mn.

令x=m+n2，y=m2+n22，

所以F（m+n2，m2+n22），

EF=yF-yE=m2+n22-mn=（m-n）22，

S△MNE=12EF·（m-n）=（m-n）34，

所以（m-n）34=2，

所以（m-n）3=8，m-n=2.

图4

例3如图4，抛物线y=x2-32x-1与过点（1，-1）的直线交于M，N两点，分别过M，N且与抛物线仅有一个公共点的两条直线交于点G，求OG长的最小值．

解设M（m，m2-32m-1），

N（n，n2-32n-1），

易得直线MN的解析式为

y=m+n-32x-1-mn，

且过点（1，-1），

则mn=m+n-32，

由结论得

G（m+n2，mn-3（m+n）4-1），

则G（m+n2，m+n4-52），

即点G在直线y=12x-52上，

直线y=12x-52与x轴交于点E（5，0），与y轴交于点F（0，-52），

则OE=5，OF=52，EF=552，

过点O作直线y=12x-52的垂线，垂足为点H，

因为12OF·OE=12EF·OH，

所以OH=5，

当点G与点H重合时，OG最小，最小值为5.

图5

例4抛物线y=x2-1交x轴于A，B两点（A在B的左边），如图5，F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点.若直线l与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH的值是定值．

解由A（-1，0），B（1，0），F（0，-2），

可得直线AF的解析式为

y=-2x-2，

直线BF的解析式为y=2x-2，

联立y=2x+2，y=x2-1，消去y并整理得

x2-2x+1=0，

因为Δ=0，

得直线AF与抛物线有唯一公共点，

同理，得直线BF与抛物线有唯一公共点.

设直线l与抛物线的唯一公共点为M，

设M（m，m2-1），A（-1，0），B（1，0），

由结论知

xG=m-12，xH=m+12，

GF=-5xG，HF=5xH，

所以FG+FH=5（xH-xG）

=5m+12-m-12=5为常数.