有限群的正规子群

2022-11-17王雪影乔守红

大学数学 2022年5期

王雪影，乔守红

(广东工业大学数学与统计学院，广州 510520)

1 引言

本文所考虑的群都是有限群，下面所提到的群G总是有限群.

在有限群理论中，极大子群对有限群结构的影响是显著的. 我们知道，群G是幂零群的充要条件是G的每个极大子群在G中都是正规的；G是超可解群当且仅当G的每个极大子群在G中的指数是素数. 对于可解性，参考文献[1]介绍了子群的c-正规性，并且证明了G是可解群的充要条件是G的任意的极大子群在G中c-正规.

定义1[1]设H是群G的子群. 称H在G中c-正规，如果存在G的正规子群T，使得G=HT且H∩T≤HG，其中HG表示包含在H中的G的极大正规子群.

用u来表示超可解群系，Zu(G)表示G的超可解超中心，G的所有正规子群H的乘积使得在H下的所有G-主因子皆为素数阶循环群；Zu Φ(G)表示G的非Frattini超可解超中心，G的所有正规子群H的乘积使得在H下的所有非Frattini-G-主因子都为素数阶循环群. 用|G|表示群G的阶数；G/K表示群G关于正规子群K的商群；N∶M表示子群N被子群M扩张.

2007年， Ahmad， Jaraden和Skiba给出了c-正规子群定义的一种推广[2].

定义2[2]设H是群G的子群.称H是G的uc-正规子群，若存在G的次正规子群T使得G=HT且(H∩T)HG/HG≤Zu(G/HG).

在参考文献[2]中，作者证明了如下的结果.

定理1设F是包含u的饱和群系，E是群G的正规子群满足G/E∈F.如果E的每个非循环的Sylow子群的极大子群在G中有一个超可解的补(supplement)或是uc-正规的，则G∈F.

一般来说，对于群G，子群Zu Φ(G)比子群Zu(G)要大一些. 在本文中，用Zu Φ(G)替换Zu(G)，给出以下子群的嵌入性质.

注在定义1-2中，可以规定T包含HG替换T被THG表示.故在定义3中，直接假设“T包含HG”.

2 预备知识

本节列出一些后面证明中用到的引理.

引理1[3]设H◁G，H1和H2是H的G-主因子系，则H1和H2的主因子是一一对应的，并且使得对应的主因子是G-同构，从而G中的H1的Frattini主因子和H2的Frattini主因子相对应.

引理2[3]设Z=ZF Φ(G)，N和T皆为G的正规子群，F是某群类，则

(i)Z的每个非-Frattini-G-主因子在G中是F-中心；

(ii)ZN/N≤ZF Φ(G/N)；

(iii) 如果TN/N≤ZF Φ(G/N)且(|T|，|N|)=1，则T≤Z.

引理3[4]设U，V和W是G的子群，则下列表述等价

(i)U∩VW=(U∩V)(U∩W)；

(ii)UV∩UW=U(V∩W).

下面这个引理是由Wielandt给出来的.

引理4[4]设G是有限群，U◁◁G，则Soc(G)≤NG(U).

引理5设G是一个群，则有

(H/K∩T/K)/(H/K)G/K≤Zu Φ((G/K)/(H/K)G/K).

因为(H/K∩T/K)/(H/K)G/K=((H∩T)/K)/(HG/K)且

Zu Φ((G/K)/(H/K)G/K)=Zu Φ((G/K)/(HG/K))，

T∩HK=K(T∩H)≤HZ，

这里Z/HG∶=Zu Φ(G/HG).通过G-同构，下列式子成立

KZ/KHG=KHGZ/KHG≅Z/KHG∩Z=Z/HG(Z∩K).

再由引理1得出KZ/KHG≤Zu Φ(G/KHG).记X/KHG∶=Zu Φ(G/KHG).则

(T∩KH)/KHG≤HZ/KHG≤Zu Φ(G/KHG).

由于HGK≤(HK)G，所以(T(HK)G∩KH)/(KH)G≤Zu Φ(G/(KH)G).显然，

G=(KH)(T(KH)G) 且T(KH)G◁◁G.

证假设N不是Φ(G)的子群. 下面证明N是p阶的. 设L/N◁P/N且L/N的阶为p，那么存在一个元素a∈L/N，使得L=N〈a〉，ap∈N.如果N=Φ(L)，那么L是循环群，从而N也是循环群，从而|N|=p.接下来讨论Φ(L)

(T∩S〈a〉)/(S〈a〉)G≤Zu Φ(G/(S〈a〉)G).

如果N∩Op(G)=1，那么N的阶数为p.假设N≤Op(G)，那么S≤N≤Op(G)≤T，从而

S(S〈a〉)G/(S〈a〉)G≤Zu Φ(G/(S〈a〉)G).

若S(S〈a〉)G/(S〈a〉)G=1，则S≤(S〈a〉)G，因此S≤(S〈a〉)G∩N.这意味着S=1且|N|=p.如果S(S〈a〉)G/(S〈a〉)G≠1，则有

S(S〈a〉)G/(S〈a〉)G≤(N(S〈a〉)G/(S〈a〉)G)∩ZΦ(G/(S〈a〉)G).

因此

N≅N(S〈a〉)G/(S〈a〉)G≤Zu Φ(G/(S〈a〉)G).

因为N是非-Frattini子群，所以|N|=p.

引理7[5]令G为有限群，N是G的极小正规子群，M是G的极大子群. 如果G=N∶M且M可解，那么G可解.

3 主要结果

证只需要证明定理的必要性. 假设结论不真且G是一个极小阶反例.

步骤1设N是G的极小的正规子群，则G/N超可解. 因此N是G的唯一的极小正规子群.

下面证明G/N满足定理的假设. 设M/N是PN/N的一个极大子群，显然对于P的某个极大子群P1有M=P1N，其中P是G的非循环的Sylow子群. 由此可知P∩N=P1∩N是N的一个Sylow子群. 根据假设，G有次正规子群T，并且T包含(P1)G，使得G=P1T且

(P1∩T)/(P1)G≤Zu Φ(G/(P1)G).

从而有

G/N=(M/N)(TN/N)=(P1N/N)(TN/N)，

显然TN/N◁◁G/N.因为

(|N∶P1∩N|，|N∶T∩N|)=1，

所以

(P1∩N)(T∩N)=N=N∩G=N∩(P1T).

根据引理3得出

(P1N)∩(TN)=(P1∩T)N.

由于N◁G，因此N(P1)G≤(NP1)G且(P1N/N)G/N=(P1N)G/N.又因为

黄羊、黄鹿、桂花和巧云听到动静，慌忙跑过来，见伯父哭成这样，彼此交换了眼神，都没有上前去劝住他；直到黄石趴在地上，轻轻地咽呜，才过去扶他进屋去。桃花绞了块热毛巾，细细地给父亲擦脸和洗手。黄方永拉起黄石的手，轻轻地摇道：“爷爷，爷爷，不哭噢；我以后不骑马了。”他那奶声奶气的童音，惹得大家洇红了眼睛，黄石更是泪如雨下，一把抱起孙子，哽咽道：“宝宝呀，宝宝呀……”伯父总算清醒了，黄羊和黄鹿安排伯父躺下去后，就领着桂花和巧云回家了。

(P1∩T)/(P1)G≤Zu Φ(G/(P1)G)，

于是

(P1∩T)N/(P1N)G≤Zu Φ(G/(P1N)G).

从而

(P1N/N∩TN/N)/(P1N/N)G/N=(P1∩T)N/N/(P1N)G/N≤Zu Φ(G/N/(P1N)G/N).

步骤2NΦ(G)且N非循环.

假设NΦ(G)或N是循环群. 由步骤1，G超可解.

步骤3若对于任意的整除|G|的素数p有Op(G)=1，因此Zu Φ(G)=1.

若否，存在素数p使得Op(G)≠1，那么由步骤1可得N≤Op(G).根据步骤2，P是非循环的群，且NΦ(P).我们选择P的极大子群P1，使得P=NP1.由假设可知P1在G中正规，则因此存在T◁◁G且(P1)G≤T，使得

G=P1T， (P1∩T)/(P1)G≤Zu Φ(G/(P1)G).

因为N是唯一的，所以(P1)G=1，从而P1∩T≤Zu Φ(G).

步骤4存在G的Sylow-子群P使得1≠N∩P