基于免疫算法结构分解的分布式预测控制算法

刘臻博，金 鑫，李 平

（辽宁石油化工大学 信息与控制工程学院，辽宁 抚顺 113001）

模型预测控制（MPC）[1]作为一类基于计算机控制的算法，因其控制性能良好、鲁棒性强的特点，越来越多地被应用在流程工业中[2]。随着工业过程的日益复杂，传统的集中式预测控制难以满足其控制性能的要求[3]。因此，提出了分散式预测控制算法，将大系统转化为若干个相互独立的子系统再进行求解[4‐5]。这种算法的优势在于结构简单、控制器之间无需通信，但当各子系统之间的耦合影响比较强烈时，分散式控制系统就无法达到满意的控制性能[6‐7]。近年来，随着计算机网络技术的创新与发展，分布式模型预测控制（DMPC）应运而生，并且得到了广泛的关注与研究。

A.Conley等[8]基于雅可比方法引进了合作式DMPC算法[9]，该算法能够有效地解决输出反馈下耦合输入约束的问题，但不能保证算法收敛速度。针对系统间通信问题，刘袁龙[10]提出了一种基于层次分解的DMPC算法，将子系统划分在不同的连通集内，在求解时，子系统只与连通集内的子系统通信，再将控制信息传入下一连通集，从而有效地减少各个子系统间的通信次数。

以上研究在解决DMPC算法中存在的收敛速度不够、通信复杂、稳定性条件复杂等问题时，很少考虑到系统分解对这类问题的影响，系统分解方式可以有效缓解系统间通信负担，还能提升DMPC在线实施效率[11]。针对DMPC的系统分解存在动态预测耦合的问题，文献[12—13]提出了一种基于遗传算法（GA）的分布式预测控制系统结构分解方法，该方法分为输入分组（ICD）和输入输出配对（IOPD）两个阶段，并采用GA算法来求解这一组合优化问题，从而有效地减小子系统之间的耦合，提高DMPC算法的效率。但是，GA算法作为一种一般的寻优算法，存在局部搜索能力差和“早熟”等缺陷，不能保证算法收敛速度，同时该方法不能有效解决子系统之间一些无法消除的耦合问题。

本文提出一种基于免疫算法（IA）求解系统结构分解的分布式模型预测算法。该方法分为两个部分。第一部分沿用文献[13]的方法，将系统结构分解问题分成ICD和IOPD两个阶段来求解，并采用IA算法来优化这两个阶段的目标函数。IA算法是一种带有全局搜索能力的优化算法，具有自适应性、随机性、种群多样性的特点，能够克服一般寻优过程中不可避免的“早熟”问题。第二部分采用DMPC算法，在约束条件下对分解后的系统进行分布式控制。最后，对重油分馏化工过程进行实验研究，验证该方法的有效性。

1 基于IA的DMPC系统分解

分解大系统时需要考虑ICD和IOPD两个问题。ICD是找到每个子系统对应的输入问题；IOPD是解决ICD问题后，根据得到的每个系统对应的输入再考虑对应的输出问题。

1.1 ICD问 题 与IOPD问 题

1.1.1 ICD问题 根据文献[13]，定义一个输入分组矩阵H和一个表示子系统间耦合程度的目标函数Jcoupling，矩阵H定义为：

式中，m为子系统的个体数量；M为子系统的个数，满足M≤m。矩阵H满足：

子系统间系统耦合程度的目标函数定义为：

通过求解最小化Jcoupling，对给出的大系统的输入进行分组。

1.1.2 IOPD问题 ICD问题已经将系统的输入分成M个子系统，IOPD问题的目标是找到各子系统中输入对应的输出，与式（1）输入分组矩阵类似，定义一个输出分组矩阵H′为：

矩阵H′应该满足：

子系统间输入输出耦合程度的目标函数定义为：

通过求解最小化J′coupling，对系统输入输出进行配对。

1.2 基于IA的分布式模型预测控制系统分解

求解ICD问题和IOPD问题，实质上就是求解式（3）和式（6）的过程。矩阵H和矩阵H′中的元素都为0或1，采用免疫遗传算法（IGA）[14]来求解。因为免疫遗传算法源于遗传算法，很容易对0和1进行编码。

为了把IGA应用到目标函数的求解过程中，需要对编码、免疫选择、克隆、变异等IGA的操作进行重新定义。

1.2.1 应用IGA求解ICD问题

（1）编码。用一个二进制的具有M个子系统的行向量来表示每个抗体，即表示系统输入的分组情况。例如，将一个八输入的系统分为两个组（子系统），分组情况可以表示为：

其中，输入1—4分到子系统1中，输入5—8分到子系统2中。每个抗体的染色体可以分为M个组中，相应位置上的变量1表示该输入被选入当前小组。

（2）初始种群。初始种群就是抗原识别后产生的初始抗体种群。每个种群都要满足相应的约束条件，即每个输入只能存在于一个小组中。

（3）亲和度函数。亲和度表示免疫细胞（如B细胞）与抗体的匹配强度。在产生种群之后，每个抗体作为亲和度函数的输入，输出即为亲和度评价结果。针对最小化问题（3），抗体的亲和度函数可以写成目标函数的倒数：

式中，fICD为ICD问题的目标函数；δ为一个不为0的小数，保证公式的分母不为0。可见，目标函数越小，亲和度函数越大。

（4）抗体浓度函数。抗体浓度表示产生抗体形成的种群多样性优劣程度。抗体浓度过高，说明种群中类似的抗体大量存在，使寻优搜索局限化。因此，在IGA算法中需要对浓度过高的抗体进行处理和抑制，从而确保抗体在种群中的多样性。抗体浓度通常定义为：

式中，N为抗体种群规模；S(ai,aj)为抗体间的相似度，可以表示为：

式中，ai、aj分别为种群的第i及第j个抗体；ξs为相似阈值；α(ai,aj)为抗体i与抗体j的亲和度，即对0−1编码的算法，抗体与抗体间亲和度基于海明距离的计算方法进行求解。基于海明距离的抗体‐抗体亲和度计算方法的表达式为：

（5）激励度函数。抗体激励度函数是对抗体质量的最终评价结果，其目的是为了保留亲和度大、浓度低的抗体。抗体激励度函数可以表示为：

式中，sim(ai)为抗体ai的激励度；n为计算参数。

（6）克隆。由抗体激励度来决定哪些有效抗体能进行克隆选择操作，在抗体种群中激励度高的有效抗体具有更好的品质，大概率会被选入克隆选择工作。克隆函数可以表示为：

式中，clone(ai)为wi个与ai相同的克隆抗体的集合，wi为抗体克隆数目。

（7）变异。变异操作是为了扩展搜索寻优的空间，从而产生一个新的抗体。对于0−1编码IGA算法，其变异策略是从变异源抗体中随机选取一个或多个位置取反。这里定义的变异就是将抗体中某个表示相应输入位置的变量1置换为0，剩余的其他相应位置0置换为1。例如：

其中，子系统1中括号内变量1置换为0，表示输入4不包含在子系统1中，那么在子系统2中相应的第4个位置的变量0置换为1，表示输出4包含在子系统2中。

在求解最小化问题（3）的寻优过程中，免疫选择、克隆、变异都能产生新的抗体，需要不断迭代这些操作来最终满足一个收敛条件，从而得到一个最优解H∗，进而构造ICD问题的最优分组矩阵。

1.2.2 应用IGA求解IOPD问题 在IOPD问题中，IGA的操作基本与ICD问题相同，只在编码和亲和度函数的定义上略有不同。

（1）编码。用一个具有M个数的二进制的向量表示抗体，即表示系统输入输出配对的状态。一个六输出的系统被分为3个组，那么分组情况可以表示为：

其中，输出1和输出2被分到子系统1中，输出3和输出4被分到子系统2中，输出5和输出6被分到子系统3中。总的来说，每个抗体的染色体可以被分为M个子系统，相应位置上的变量1表示该输出被选入当前小组。

（2）亲和度函数。针对最小化问题（6），抗体的亲和度函数可以写成目标函数的倒数。

式中，fIOPD为IOPD问题的目标函数。

根据式（16）可知，分母即目标函数越小，亲和度函数越大。

当求解IOPD问题后，得到的最优解可以表示为IOPD的最优分解矩阵(H′)∗。

因此，ICD问题和IOPD问题都得到相应的解决，从而得到两个分组矩阵，即和(H′)∗=[(h1′)∗,…,(hM′)∗]。

2 分布式模型预测控制

针对多个子系统间存在无法消除的耦合问题，需要采用DMPC算法来解决。在系统结构已经分解完成的前提下，介绍DMPC中各子系统的状态空间预测模型以及基于IGA系统结构分解的DMPC算法实现流程。

2.1 DMPC控制器设计

一个包含M个子系统的分布式系统S，其子系统Si(i=1,…,M)的状态空间模型为：

式中，Ci为输出矩阵；Ai为系统矩阵；Bij(i≠j)为子系统Sj对子系统Si的耦合输入矩阵；uj为子系统Sj在k时刻的输入序列。

对k时刻子系统的状态向量及输出向量进行预测，由式（17）表示的模型可以推导出以下矩阵‐矢量形式：

式中，Xi(k)为状态变量的集合；ηi为系统矩阵的集合。

式中，Ui(k)、Uj(k)为控制变量的集合。令：

结合式（22），目标函数（23）的最优解问题可以写成：

子系统i在k时刻的最优控制序列Ui由二次规划算法求解得到。

2.2 基于IGA系统结构分解的DMPC算法实现流程

提出了基于IGA系统结构分解的DMPC算法，其具体实现流程为：

步骤1给定具有m个输入和p个输出的大系统，在已知系统需要被分为M个子系统的前提下，利用IGA算法求解目标函数式（8）的最大值，从而解决ICD问题，得到最优输入分组矩阵H∗；根据最优输入分组矩阵H∗，利用IGA算法求解目标函数式（16）的最大值，从而解决IOPD问题，得到最优输入输出配对分组矩阵(H′)∗。根据求解的结果，确定每一个子系统中输入输出的数量。

步骤2在k时刻，获取每一个子系统i的状态空间模型和输出方程式（17），并给定抗体种群规模N、状态变量权值Qi、控制变量权值Ri、权重γi、系统控制变量的初值ui,0(k)。

步骤3子系统i将控制变量通过网络传递给其他子系统，同时获取其他子系统的控制变量。

步骤4并行求解采用迭代求解方式。在迭代时刻q(q≥1)，根据式（19）—（22）和式（24）—（28），在满足约束条件的情况下并行求解各子系统最优控制序列(k)，给定收敛精度ξ及迭代最大次数qmax。若各子系统控制输入均满足不等式或迭代次数满足q>qmax，则进入步骤5；否则，令q=q+1，转步骤3。

步骤5取子系统的最优控制序列(k)的第一项为控制输入：

式中，I为单位矩阵。将式（29）应用于各子系统。

步骤6令k=k+1，并将上述控制变量求解过程滚动优化到下一时刻，返回步骤2。

3 仿真研究

以重油分馏塔模型为对象，验证所提IGA‐DMPC算法的有效性[15]。重油分馏塔模型如图1所示。

图1 重油分馏塔模型

图中，T为回油口；A为出油口；LC为液位控制器；PC压力控制器；FC流量控制器。控制过程中的输入变量：顶部采出u1、侧线采出u2、中部回流量u3、顶部回流量u4。输出变量：顶部产品干点y1、侧线产品干点y2、中部回流温度y3、顶部回流温度y4。系统的模型为：

3.1 DMPC系统分解问题

3.1.1 ICD问题 已知系统有4个输入，给定系统被分为2个子系统，预测时域为K=20，采样时间Ts=1 s。输入输出的权重矩阵分别为Q=I和R=I。每一代抗体种群NIND=30，最大代数GENMax=100，免疫选择抗体数量为15，变异发生的概率为0.5，克隆个数为10。

ICD分解每代最优目标函数曲线如图2所示。由图2可以看出，分解目标函数的初代的起始亲和度为1.060，在经历4代以后最优亲和度为0.850。

图2 ICD分解每代最优目标函数曲线

ICD分解每代的最优亲和度的分组情况图3所示。图中，两种颜色表示两个小组。

图3 ICD分解每代的最优亲和度的分组情况

最终得到的分组情况可以用0−1向量表示为：

输入1−2被分为一组，输入3−4被分为一组。

3.1.2 IOPD问题 完成输入分组后，对IOPD问题进行求解。根据式（30）输入分组的结果，输入分组矩阵H可表示为：

由此矩阵求解IOPD问题得到输入输出配对的分组矩阵H′。IOPD分解每代最优目标函数曲线如图4所示。由图4可以看出，分解目标函数的初代起始亲和度为0.455，经历4代以后最优亲和度为0.436。

图4 IOPD分解每代最优目标函数曲线

IOPD分解每代的最优亲和度的分组情况如图5所示。

图5 IOPD分解每代的最优亲和度的分组情况

最终得到的分组情况可以用0−1向量表示：

根据式（32）输出分组的结果，输出分组矩阵H′表示为：

根据矩阵H和H′，系统的输入输出最终配对可以表示为：

3.2 基于DMPC算法的分解后系统的分布式控制

已知重油分馏过程的系统结构被分解为分别含有输入1−2、输出1−3的子系统1和含有输入3−4、输出4的子系统2。采用DMPC算法对分解后的系统进行分布式控制，主要控制参数为：

（1）采样时间Ts=1 s。

（2）N=200，M=5，预测时域P=20。

（3）各子系统中的权重矩阵Ri为单位矩阵，矩阵Qi的取值为：

式中，qi=I；q∗i为终端加权矩阵，目的是确保该控制子系统的稳定性。

（4）在DMPC仿真中，两个子系统的权重分别为γ1=0.8、γ2=0.2。

（5）各子系统Si的优化命题为：

IGA‐DPMC算法子系统的输出及输入曲线如图6−7所示。集中式MPC算法子系统的输出及输 入 曲 线 如 图8−9所 示。图6−9中，下 标i为1、2、3、4。

图6 IGA‐DPMC算法子系统的输出曲线

图7 IGA‐DPMC算法子系统的输入曲线

图8 集中式MPC算法子系统的输出曲线

图9 集中式MPC算法子系统的输入曲线

为了更好地对比两种算法的控制性能，以顶部产品干点为分析数据，引入最大超调量、上升时间、平均迭代时间为指标进行分析。CMPC和IGA‐DMPC控制性能如表1所示。

表1 CMPC和IGA‐DMPC控制性能

由图6−9及表1可以看出，IGA‐DMPC算法在重油分馏过程中有很好的控制效果。例如，子系统1的顶部采出量和侧线采出量对反应器中顶部产品干点、侧线产品干点和顶部回流量有至关重要的作用；子系统2的中部回流量和顶部回流量对中部回流温度有很大作用。在IGA‐DMPC算法中，相关联的信息都在各子系统内部进行交换，大大减小了系统的通信负担，而CMPC算法没有考虑到系统中控制量彼此之间的相互作用。在控制效果大致相同的情况下，IGA‐DMPC算法的迭代时间明显少于CMPC算法，大大提高了工作效率。综上，采用本文提出的算法可以更有效地控制实际的化工过程。

4 结 论

近些年来，DMPC算法得到了广泛关注和研究。但是，以往研究在DMPC算法中子系统间存在强烈耦合影响时，很少考虑到将系统结构分解结合到DMPC算法中。所提方法首先采用IA算法对DMPC系统进行结构分解，再利用DMPC算法对分解后的系统进行分布式控制。为了解决系统结构分解的问题，对IA中的编码、免疫选择、变异、克隆等操作进行了重新定义。通过仿真研究，验证了算法的有效性。在未来的研究中，考虑将本算法应用到非线性的DMPC系统中。