基于空间四杆机构的两足步行机器人研究

杨慧慧

（国家知识产权局专利局专利审查协作北京中心，北京 100160）

0 引言

四杆机构常用于设计移动机器人的关节或者腿，如Banala等[1]利用四杆机构设计机器人的膝关节以提高步行稳定性。Yamamot等[2]使用平行四边形机构设计了脚踝关节以实现人的足式运动。此外还有一些研究者利用平面四杆机构设计单自由度机器人的腿[3-4]和两足步行玩具[5-6]。

与上述的研究不同，近年来也有一些研究利用单个四杆机构设计移动机器人。如文献[7]利用一个平行四边形机构设计了一种两足滑行四杆机构。文献[8]基于空间4U四杆机构，提出了两足步行移动机构。文献[9]基于两个转动副和圆柱副的空间四杆机构设计了一种双足步行机构。本文通过改变运动副配置，提出了一种新型的空间RCRC步行机构，转动副和圆柱副的轴线都相互平行，其中两个杆件被设计为两足，通过两个曲柄带动足的步行运动。

1 机构设计与自由度分析

1.1 机构设计

如图1所示，该步行机器人是由空间四杆机构组成，包括2个L形状的杆ABD和EGH及2个相同的曲柄AF和HC。其中2个杆之间的连接关系如下：杆ABD与曲柄AF在A点通过转动副R1连接，曲柄AF与杆FGH在F点通过圆柱副C1连接，杆FGH和曲柄HC在H点通过转动副R2连接，曲柄HC和杆ABD在C点通过圆柱副C2连接。转动副R1与圆柱副C1的轴线平行，转动副R2与圆柱副C2的轴线平行，转动副R1与圆柱副C2的轴线垂直，转动副R2与圆柱副C1的轴线垂直。方便期间，将该四杆机构简称为空间RCRC机器人。杆ABD和杆EHF作为机器人的两足，每个足的L形的一端内部设有一个直流电动机，L形的另一端设有滑道，滑道的末端设置一个配重块，使得足的质心在L的拐角处，同时配重块还能够起到增大足的支撑作面的作用。当曲柄AF和HC分别旋转，则将带动两个足交替落地，实现步行运动。机构的参数定义如下：l1为AB的长度；l2为BD的长度；l3为曲柄长度。机构的附图标记定义如下：1为足1；3为足3；2为曲柄AF；4为曲柄HC。

图1 空间RCRC四杆步行机构

1.2 自由度分析

根据RCRC的机构简，机构可认为是两支链的并联机构。其中下平台为杆ABD，上平台为杆EGH，曲柄AF和HC为支链。这样可通过螺旋理论分析该并联机构的自由度。机构自由度的计算修正公式[10]为

式中：d为机构的阶数；n为连杆数目；g为运动副数目；fi为第i个运动副的自由度；ν为虚约束；ξ为冗余约束。

首先根据如图1（c）所示的机构简图，建立运动副的螺旋系。运动服螺旋定义如下：转动副R1的螺旋为$1；圆柱副C1的螺旋用一个移动螺旋$1和一个转动螺旋$3表示；转动副R2的螺旋为$4；圆柱副C2的螺旋同样用一个移动螺旋$5和一个转动螺旋$6表示。θ1和θ2分别为曲柄AF和HC从水平位置转过的角度。如图1（b）建立直角坐标系o-xyz，坐标系原点与B重合，ox轴沿着BD方向，oy轴沿着BA方向，oz垂直于ABD所在的平面。根据几何关系，运动副螺旋$i（i=1，2，… 6）矩阵可表示为：

根据机构位置的不同，自由度分为以下两种情况：

1）当θ1=θ2∈（-90°，90°）∪（90°，270°）时，螺旋矩阵具有一个反螺旋为

由反螺旋可得到，机构绕z轴的转动自由度被限制。进一步因为只存在一个反螺旋，故运动副螺旋矩阵的秩为5，则RCRC两足步行机构有1个公共约束，即λ=1。机构的阶数d=6-λ=5。根据自由度计算公式（1），可得到

通过上述的自由度分析，当机构的杆3处于杆ABD正上方时或者杆ABD处于杆3的正上方的时候，机构处于奇异位置具有两个自由度，此时需要两个电动机控制机构；在其它位置时，机构只需要一个电动机去驱动。

二是具有自动控制功能。在电气自动控制系统中，自动控制技术是必不可少的。当整个运转平台有故障发生时，系统不仅要检测出并警报故障，还要对故障进行紧急应对，以保证全套自动系统及设备的安全。因此，自动控制功能不但能够有效保障设备和人员的安全，还能够提高生产效率。

2 运动学分析

如图1（b）所示，当杆ABD与地面接触，曲柄AF和EH转过θ1和θ2，通过正运动分析，求解上平台各个点在o-xyz坐标系中的位置ri，i为A、B、C、D、E、F，G和H。根据下平台杆ABD中的几何关系得到，点A、B和D的位置如下：

注意到曲柄旋转过程中，上平台相对下平台始终发生平动运动，则θ1和θ2必须满足

根据等式（14），可分为2种情况进一步分别讨论。

第一种情况：θ1=θ2，即2个电动机同速同向转动。点G、E、F和H的位置可重写为：

每个足的短的一端上安装有电动机，长的一端设有配重块，使得两端的质量相同。设足的整体质量为2m，则每段质量为m。则足1和足3的质心可表示为：

第二种情况：π-θ1=θ2，即2个电动机同速异向转动。点G、E、F和H的位置可重写为：

为了验证运动学分析结果，使用表1中的机构参数，根据式（17）和式（19）编写Matlab程序，得到机构在半个周期的质心在地面的投影曲线。图2（a）所示为当2个电动机同向同速转动时质心轨迹曲线，且θ1=θ2∈［0，180°］。图2（b）为当2个电动机异向同速转动时的质心轨迹曲线，且θ1∈［0，180°］，θ2=π-θ1。图中三角形区域为足1的支撑区域。

表1 机构参数

图2 电动机转动对应的机构质心

3 步行运动及稳定性分析

3.1 步态规划

本节对机构的运动步态进行规划，如图1中的附图标记，1）初始时刻（θ1=θ2=0°），两足同时着地；2）电动机转动90°，足1支撑，足3抬至最高位置，此时机器人到达奇异位置；3）电动机转动180°，足3返回地面，两足支撑；4）电动机转动270°，足3支撑，足1抬至最高位置，机器人到达另第二个奇异位置；5）电动机转动360°，足1返回地面，机器人回到与初始位置相同的状态，完成一个步行周期。电动机持续以相同的转速和方向周转，则两个足交替落地与抬起，机器人沿着虚线箭头方向运动。2个电动机也可以反向转动，则机器人实现上述运动的反向运动。

3.2 稳定性分析

1）静态稳定性分析。

参照图3，以足1在地面上为例，其支撑区域为由点A、B和D构成的三角形。根据步态分析的描述，当θ1在［0，180°］区间时，足1支撑，要满足步行运动的静稳性，则质心的投影必须在三角形ABD之内。令Q为质心的投影点，则步行静态稳定条件可表示为：

图3 支撑区域

根据式（23），我们得到步行机器人满足静稳性的结构参数设计条件。例如当机器人足的大小确定后（即l1和l2确定），则曲柄长度l3可根据不等式（23）选择。参照表1的机构参数，将l1=105 mm和l2=190 mm代入式（23），得到l3≤52.5 mm。表1中的机构参数满足静态稳定性的要求。

2）动态稳定性分析。

步行机器人的动态稳定性通过机器人的零力矩点（ZMP）是否落在支撑范围之内来判定[11]。当机器人ZMP在其支撑区域之内，满足动态稳定性；反之，ZMP在支撑区域之外，则机器人失去稳定性，将发生倾翻。ZMP可根据伍氏提出的计算通用公式[12]计算：

式中：n为步行机器人构件数目；mi为构件i的质心；x¨i、y¨i、z¨i为杆i在x、y、z方向的加速度；xi、yi、zi为杆i的质心；g为重力加速度。

下面以机构的前半周期为例分析其步行稳定性，当θ1∈［0° 180°］，足1支撑在地面。令δ为ZMP点与D的连线和线段BD的夹角，若要使得ZMP点在足1的支撑区域之内，需满足：

将式（15）和式（17）分别代入式（24）得到ZMP为：

我们主要考虑2个电动机在匀速转动的情况下，电动机角速度ω对ZMP的影响。使用表1的结构参数，图5给出了3组不同角速度下的ZMP变化曲线。如图4（a）所示，当ω=π，ZMP始终在三角形ABD支撑区域。如图4（b）所示，当ω≈5.8π时，xzmp=0，ZMP到达支撑区域的左边界AB。如图4（c）所示，当ω≈8.9π时，δ=28.9°，ZMP到达支撑区域的上边界AD。综上，电动机转速ω＜5.8π，则ZMP始终在三角形ABD之内；ω∈（5.8π，8.9π），机器人的在边界AB失去动态稳定性，将向AB的左侧倾翻；ω＞8.9π，机器人将在边界AD和AB均失去动态稳定性。为了进一步得到机构在失去动态稳定性的位置，设定ω∈{π，5.8π，8.9π}，图4（d）给出了δ随θ1的变化曲线，当ω=5.9π，θ1≈62.5°，ZMP点到达上边界AD。图4（e）给出了xzmp随θ1的变化曲线，当ω=8.9π，θ1≈161.5°，ZMP点到达左边界AB。

图4 ZMP随电动机速度的变化曲线

4 结论

基于空间RCRC四杆机构，提出了一种两足步行机器人的设计。根据螺旋理论，对机器人自由度进行分析。并对机器人正运动学进行分析，讨论了机器人保持静稳性的参数设计条件。在运动学分析基础之上，对机器人进行了步态分析。然后，根据ZMP原理，最后对机器人动态稳定性进行分析，得到了电动机角速度对机器人稳定性的影响。在后续研究中，我们将对机器人参数和电动机转矩进行优化设计。