滚齿渐开线起始点计算方法研究

虞潮，曹荣青，王明镜，张雪娇

（南京高速齿轮制造有限公司，南京 210000）

0 引言

渐开线齿廓具有保证定比传动、中心距可分性、啮合角恒等于节圆压力角等优势被广泛使用。采用展长法加工渐开线齿廓是齿轮加工中最常用的方法，其原理是一对齿轮啮合或者齿轮与齿条啮合加工，被加工齿轮的齿形是通过刀具切削刃连续包络成形，具有加工精度高、生产效率高、加工通用性强等特点[1]。

在齿轮传动过程中需要保证传递运动的准确性、平稳性、低噪声等指标[2]，因此关注重点是啮合区域的有效渐开线，然而对齿轮弯曲疲劳强度有直接影响的齿根圆角大小关注较少，只有合理可控的齿根圆角大小才能保证有效的弯曲强度[3]。本文对圆角大小、齿根过渡曲线进行简述，并给出渐开线起始点的计算方法。

1 滚齿的加工过程

齿轮在传动过程中需要有一定的承载力和耐磨性，因此齿轮具有芯部韧而齿面硬的特点，在齿轮制造工艺过程中，一般采用滚齿粗加工预切、热处理、磨齿精加工。滚齿后的齿面与设计要求渐开线齿形的交点就是渐开线的起始点，也是滚刀能够实现齿轮展长最远点。

在滚齿加工过程中，滚刀的旋转为主切削运动，滚刀每转1转，零件转过1个齿，滚刀连续转动不断地包络形成展长运动，再加上圆周进给运动和沿整齿宽自上向下的轴向运动，实现整个渐开线齿面加工[4]229-230。渐开线起始圆的形成与滚刀参数和刀具结构有着直接关系（如图1）。

2 齿根圆角、齿根过渡曲线

滚刀在设计时一般有两种方式：齿面、齿根留余量或齿面留余量，齿根部挖根[5]374-375。当齿面及齿根都有余量时，一般采用标准滚刀（如图2），其优点是预滚齿无特殊要求，其缺点是磨齿时齿根磨削环境差，容易造成磨削烧伤和磨削裂纹，而且将齿根圆角部位渗碳淬火的硬化层磨掉，会降低齿根圆齿槽位置的硬度，大幅度降低齿轮的弯曲疲劳强度；当采用齿面留余量，齿根部挖根时，一般采用圆头齿轮滚刀（如图3），其优点是降低齿根磨削烧伤概率，其缺点是需要设计专用刀具和容易受到零件展长影响。

图2 标准齿轮滚刀示意图

图3 圆头齿轮滚刀示意图

在设计图样中会出现齿根圆角系数Pf或者齿根圆角曲率半径rf，其计算公式为Pf=rf/模数，一般情况下两者指的都是所需要保证的最小圆弧，根据实际工况不同对应圆角标准也不同，一般采用0.25m、0.38m、0.45m[5]28-29（参考GB/T 1356-2001）。

实际加工过程中齿根圆弧过渡曲线不同于设计图样上所指齿根圆角，加工过程中的齿根过渡曲线是指齿面有效渐开线起始点与齿根圆之间的延伸渐开线或延伸渐开线等距线[6]，一般有单圆弧（滚刀采用整圆弧）和双圆弧（滚刀采用双圆角加工）两种形式[7]，如图4、图5所示。

图4 齿根单圆弧

图5 齿根双圆弧

这里需要说明，在齿轮件传动设计过程中的齿根圆角不同于上文所述两种齿根圆角，其圆角大小主要影响YF和YS两个参数，可参考《渐开线圆柱齿轮承载能力计算方法》（GB/T 3480-1997和ISO 6336:1996），校核齿轮弯曲疲劳强度可参考公式[8]8-65：

式中：YF为齿形系数；YS为应力修正系数。

弯曲强度校核中的齿根圆角是指YF齿形系数中以30°切线作为危险截面的切点位于刀具齿顶圆角所展成的齿根过渡曲线上的曲率半径大小[8]8-65，其值大小不但受到刀具齿顶圆角影响，而且还与齿轮参数相关。当刀具齿顶圆角越大，对应齿形系数YF就越大，当刀具圆角为全圆角时，对应齿根抗弯曲能力最强。应力修正系数YS是考虑齿根过渡曲线处应力集中效应，与应力修正系数YF相同，刀具齿顶圆角越大，对应应力修正系数YF越大。

3 渐开线有效起始点计算

渐开线是一条直线在定圆上作纯滚动，该直线上任一点的运动轨迹即为圆的渐开线。以齿轮中心O为坐标原点，齿槽对称线为Y轴（如图6），表达式为[4]52-56：

图6 渐开线坐标示意图

式中：ηy=ηy+θ-θy；ry为任意渐开线半径；ηy为任意齿槽中心半角；θ为渐开线展成角；θy为任意圆渐开线展成角。

将ry从基圆取值到齿顶圆，可求出渐开线齿形[4]52-56（如图6）。选取零件模数为15.8 mm，压力角为22.5°，螺旋角为10°左旋，齿数为36，变位系数为0.2。将其表达式通过软件编程或者Excel软件进行绘制（如图7）。

图7 渐开线齿形示意图

当采用标准滚刀加工时，以零件圆心为坐标原点，齿槽对称线为Y轴，其齿根过渡曲线坐标表达式[4]29-30为：

上式是针对齿条刀具，即刀具齿顶没有倒圆，然而在实际加工过程中刀具都是带有圆角，为了保证加工出来齿轮具有顶隙同时避免齿条刀具在加工时不发生根切现象，此时将顶隙圆弧与切削刃相切相接，其交点即为渐开线起始点，计算时公式hc′高度是指滚刀圆弧与直线相切点高度，而非刀具齿顶高。

选取零件模数为5 mm，压力角为20°，螺旋角为7°，左旋，齿数为46，变位系数为0.45，刀具单齿面余量为0.5 mm，齿顶圆角为1.2 mm，代入上述公式计算得rF=228.569 mm。通过滚刀包络模拟进行验证，有效渐开线起始点基本一致。

当采用圆头齿轮刀具时，以零件中心O作为坐标原点，齿槽对称线为Y轴，其齿根过渡曲线坐标表达为[4]29-31：

图8 滚齿包络拟合验证

选取零件模数为15.8 mm，压力角为22.5°，螺旋角为10°左旋，齿数为36，变位系数为0.2，单齿面余量为0.4 mm，滚刀凸角量为0.2 mm，侧刃角度为12°，齿顶圆角为5.6 mm，计算相关数据如下：η=0.039，ηb=0.018。

表1 渐开线齿形与过渡曲线数据坐标

将数据进行编程或者Excel图表进行绘制，两条曲线的交点即为有效渐开线的起始点，该点以上的曲线均为渐开线，该点以下到齿根圆之间的曲线为齿根过渡曲线（如图9）[9]。将该数据通过滚刀包络模拟进行验证，其包络交点与齿根过渡曲线和交点位置基本相同（如图10）。

图9 绘制渐开线和齿根过渡曲线

图10 模拟滚齿包络示意图

4 结语

1）本文简述了齿根圆角、齿根过渡曲线之间的关系，并给出渐开线与过渡曲线的表达式，通过拟合得出渐开线起始点，为掌握齿根曲线成形过程及生产加工提供方法和思路。

2）一般情况渐开线起始点是由滚刀圆弧加工产生，但是实际生产过程中，当齿轮数较多或者变位系数过大等情况，圆头滚刀副刃同样会切削到渐开线，或者二次包络切削到零件，此时交点会在滚刀圆弧交点的上方，即渐开线交点会上移，影响零件展长，应根据实际情况进行调整[10]。