中考二次函数模型试题的源与流

石树伟 (江苏省扬州市广陵区教师发展中心 225006)

无论是知识的综合性还是思维的层次性，二次函数都当之无愧地占据着初中数与代数领域的“制高点”，是肩负区分功能的中考压轴题的命题热点．当前，二次函数试题多为“抛物线外衣+几何内核”的命题方式，即以抛物线为背景，将二次函数与三角形、四边形、圆等知识结合起来考查学生的综合应用能力，这样的考查方式“人为拼凑”痕迹严重，掐头去尾烧中段，对二次函数的来源和应用关注不够，偏离二次函数内容的课标要求，对数学建模核心素养的考查缺失．因此，二次函数模型试题应运而生，越来越成为考查热点．

1 认识二次函数模型试题

1.1 从一道试题说起

例1(2013江苏扬州)如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B,C不重合，连结PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．

图1

(1)在图1中找出一对相似三角形，并说明理由；(2)若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．

1.2 二次函数模型试题及其考查思路

例1在题目中根本没有出现任何“函数”或“二次函数”之类的字眼，但最终却是用二次函数来解决问题．因为需要学生自己构造二次函数，我们把这类试题称为二次函数模型试题．二次函数模型试题与一般的二次函数试题不同，它关注了二次函数的来源与应用，有利于考查学生的数学建模素养和应用意识．

二次函数模型试题考查的基本思路如图2所示，一般要设计一个现实情境(生活现实或数学现实)，因为只有在现实情境中才能考查一个学生“用数学眼光观察现实世界，用数学思维思考现实世界，用数学语言表达现实世界”[1]的能力；一般避免通过小题铺垫来指令学生先构造函数，再利用函数解决问题，而是需要学生自主发现现实情境中存在函数依赖关系，从而自主构造函数，自觉应用函数解决问题．这里强调自主自觉，是因为当学生未来遇到真正的实际问题时，不会再有人告诉他“这个问题里面有函数关系”，或有人替他分解成几个小问题，指令他构造函数．强调自主自觉才能真正考查学生的函数建模意识和能力[2]．

图2

2 二次函数模型的源

二次函数模型试题需要学生自主发现函数关系、自主建构二次函数，因此，要想顺利解答二次函数模型试题，首先需了解二次函数模型的一般来路．

2.1 如何想到构造二次函数？

二次函数要靠我们自己发现、自主构造，那怎么想到要去构造函数呢？二次函数模型试题，虽然题目中不会直接指令或提示构造函数，但也不是完全无迹可寻，一般从以下两个层面启示我们要构造函数．

2.1.1显性层面

显性层面，如果试题已知情境问题的最值或研究其最值，可以启示我们想到函数，从而主动构造函数去解决问题．如下面的例2求最大面积，启示学生构造二次函数解决问题．

图3

例2如图3，要用总长为16 m的篱笆，一面靠墙(墙的可利用长度为6 m),围成一个长方形的生物园饲养小兔，求小兔活动范围的最大面积．

分析 本题求最大面积，容易联想到构造二次函数解决问题．设生物园面积为S，宽AB=x，则长BC=16-2x，利用长方形面积公式可得S=x(16-2x)=-2(x-4)2+32．又因为0

显性层面，如果试题已知情境问题的增减性或研究其增减性，也可以启示我们想到函数，从而主动构造函数去解决问题．如下面的例3，“30天内利润随天数t的增大而增大”，这是已知“利润-天数”函数的增减性情况，启示学生构造函数解决问题．

例3(2016江苏扬州)某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大，a的取值范围应为．

2.1.2隐性层面

有的试题虽然没有出现任何提及“函数”的字眼，也没有最值、增减性等方面的显性提示，但通过对问题情境的分析，发现其中蕴含着函数的三个要素：一是在一个运动变化过程中，二是有两个变量，三是一个变量随着另一个变量的变化而变化.由此可以启示我们想到函数，从而主动构造函数去解决问题．如例1是一个点P从点B运动至点C的变化过程，其中BP,CE是变量，且CE随着BP的变化而变化，这就说明CE与BP之间存在着函数关系．这样的函数考查有利于学生充分感悟函数概念的本质，可以让学生体会到函数来源于运动变化过程中变量之间的依赖关系，感悟到函数是研究运动变化过程的有效模型．再如下面的例4．

图4

(1)当n=1时，①求线段AB所在直线的函数表达式；②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．

(2)若小明的说法完全正确，求n的取值范围．

2.2 如何构造二次函数？

想到函数了，如何构造函数呢？二次函数的构造，关键在于“二次”如何得到，一般有以下三个途径．

2.2.1乘法模型——一次乘一次得二次

乘法模型“一次乘一次得二次”常见的问题情境有：①面积问题，矩形面积=长×宽，三角形面积=底×高÷2，如果长、宽或底、高都能用含有自变量的一次式表示，则容易得到关于自变量的二次式，如 例2；②销售问题，总价=单价×销量，总利润= 单件利润×销量，若单价、销量或单件利润、销量都能用含有自变量的一次式表示，则容易得到关于自变量的二次式，如例3；③相似问题，相似三角形对应边成比例，若比例外项或比例内项都能用含自变量的一次式表示，则容易得到关于自变量的二次式，如例1；④其他蕴含乘法数量关系的问题，如例4中反比例函数的系数k=动点横坐标×纵坐标．

2.2.2几何模型——运用勾股定理得二次

几何模型“运用勾股定理得二次”常见的问题情境有以下两种：

①一个直角三角形，先用含有自变量的一次式表示各边，然后运用勾股定理得到一个等式，最后展开变形得二次函数，如下面的例5．

图5

(1)若四边形PMCN的面积为3.5，求四边形PMCN的周长；

(2)求四边形PMCN面积的最小值，并说明此时点P的位置．

②两个共边直角三角形，先用含有自变量的一次式表示其余各边，然后在两个直角三角形内分别运用勾股定理表示出共边的平方(算两次)，得到一个等式，最后展开变形得二次函数，如下面的例6．

图6

例6(2020江苏扬州)如图6，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OA=OB=OC=OD=2，OC平分∠BOD，与BD交于点G，AC分别与BD,OD交于点E,F．

分析 第(1)题易由基本图形“等腰三角形(△OAD)+顶角外角平分线(OC平分∠BOD)”得到OC∥AD，也易由三角形中位线定理(OG是△BAD的中位线)得到OC∥AD．

图7

2.2.3组合模型——多个已知函数组合得二次函数

(1)当科研所到宿舍楼的距离x=9 km时，防辐射费y=万元；a=，b=； (2)若每公里修路的费用为90万元，求当科研所到宿舍楼的距离为多少千米时，配套工程费最少？(3)略．

3 二次函数模型的流

构造出二次函数关系式不是最终目的，最终目的是为了应用二次函数去解决问题．因此，要想完整解答二次函数模型试题，还需要把握二次函数模型的一般去路．

3.1 构造的二次函数一般用来干什么？

二次函数模型试题构造出二次函数后，一般应用所构造的二次函数研究以下三类问题．需要注意的是，研究每一类问题都需结合大致图象，即数形结合．

3.1.1研究最值问题

最值问题有三种情况：

①顶点最值，即图象顶点在自变量取值范围内，顶点纵坐标即为函数最值，如例4第(1)题、例5、例6、例7；

②区间最值，即图象顶点不在自变量取值范围内，需结合图象确定最值，如例2；

③离散最值，即函数图象不是连续抛物线，而是一系列的散点，需结合图象根据散点到对称轴的距离远近确定最值．

3.1.2研究增减性问题

增减性问题有两种情况：

①连续抛物线，所有点要保持统一的变化趋势，一般无需考虑跨对称轴的情况，如例4第(2)题；

②离散抛物线，所有点要保持统一的变化趋势，最后一点或第一点可以跨对称轴，与其余各点分置于对称轴的两侧，但跨对称轴的那一点必须最接近对称轴，如例3．

3.1.3研究参数范围问题

这一类问题与前面两类问题有交叉．含参数的二次函数解析式，既含自变量又含参数，因此不能利用它去列不等式求参数范围．一般需表示出它的最值或对称轴，这样就剥离了自变量，仅保留参数，然后再根据已知条件，利用最值或对称轴的范围列不等式求出参数范围，如例1、例4第(2)题．

3.2 构造的二次函数一般有哪些变形？

3.2.1整体的眼光

3.2.2转化的思想