专注一题 通晓一类*

俞杏明 (江苏省兴化中学 225700)

石志群 (江苏省泰州教育局 225300)

经典试题反复研磨，不仅对试题认识越来越透彻，而且能归结出这一类问题的解决之道．同时还能实现试题解答者到试题编制者的角色转换．

1 经典试题永恒零点

例1(2013·江苏)设函数f(x)=lnx-ax，g(x)=ex-ax，其中a为实数．

(1)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数，且g(x)在(1,+∞)上有最小值，求a的取值范围；

(2)若g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．

图1

2 微处着手查找关系

3 整体入眼知识迁移

由于参数a的不确定性，因此只能运用极限拟合思想生成函数f(x)的图象．笔者惊奇地发现，函数(*)的图象极值点左偏(图1)．

下面要寻求函数f(x)右零点x2所在区间，可以先寻求x1+x2的一个上界，也就是寻求与函数f(x)共零点且极值点右偏的函数，因此需扭转函数f(x)的极值点偏移方向[2]．

下面接例1未完的解答继续作答．

4 内部透视局部放缩

图2

注意到图2中，y=ax与y=lnx的图象在y轴右侧较远处存在空隙，且随着x的值增大，空隙变大.因此笔者考虑构造中间函数y=mxn(m>0,0

图3

5 感悟提炼实战检验

细细琢磨，极值点偏移法长于整体思考，中间函数法适合局部放缩，变换主元法精于微观探查．三种手段能够使含参函数零点区间得到全方位查找．

例2(2017·课标I)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．

解(1)当a≤0时，f(x)在(-∞,+∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(-∞,-lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递增．

下面探寻f(x)在(-lna,+∞)上右零点x2所在的区间(图4)．

图4

方法1 将f(x)整理为f(x)=a(e2x+ex)-2ex-x．把x看成常数，则a在(0,1)上取越来越小的值时，f(x)越来越小．这表明a在(0,1)上变小时，y=f(x)图象上每一点均下移，因此x2变大，零点x2为关于a的单调递减函数．

接例2未完的解答继续作答．

接例2未完的解答继续作答．

方法3 把f(x)=ae2x+(a-2)ex-x(a∈(0,1))整理为f(x)=a(e2x+ex)-(2ex+x)，拆分出两个函数y=a(e2x+ex)(a∈(0,1))与y=2ex+x,但这两个函数均为下凸函数，中间过渡函数难以寻求．令ex=t，则f(x)整理为g(t)=a(t2+t)-(2t+lnt)=at2+(a-2)t- lnt．把g(t)拆分为y=at2+(a-2)t(a∈(0,1))与y=lnt，显然这两个函数分别为下凸函数与上凸函数．

下面通过中间函数y=t证明g(t)存在右零点．

6 逆向应用编制试题

上述方法手段逆向应用，能够多渠道生成这类试题．如构造上凸函数y=a(2x+lnx)(a∈(1,+∞))与下凸函数y=x2+x，组合出f(x)=a(2x+lnx)-x2-x，再把f(x)表达式中的字母重新排序，隐藏编制的痕迹，从而有下面这一试题：

例3已知f(x)=alnx-x2+(2a-1)x，当a∈(1,+∞)时,证明函数f(x)有且仅有两个零点．

还可以进一步隐藏编制的痕迹，在例3中把x换成ex，从而有下面的试题：已知f(x)=ax-e2x+(2a-1)ex，当a∈(1,+∞)时，证明函数f(x)有且仅有两个零点．