寓数于形 以形解数——谈“切线不等式”的应用

许荣好 (江苏省苏州工业园区星海实验中学 215124)

1 试题呈现

(1)若函数g(x)=f(x)-f′(x)存在极值，求m的取值范围；

(2)若函数h(x)=f′(ex)-f′(lnx)，对任意的m∈R，若关于x的不等式h(x)≥m2+k2在(0,+∞)上恒成立，求正整数k的取值集合．

解析 (1)略．

(2)因为h(x)=(2e2x-2mex+m2)+(2ln2x-2mlnx+m2)，所以对任意m∈R，(2e2x-2mex+m2)+(2ln2x-2mlnx+m2)≥m2+k2在(0,+∞)上恒成立，即对任意m∈R，m2-2(ex+lnx)m+(2e2x+2ln2x-k2)≥0在(0, +∞)上恒成立，故Δ=4(ex+lnx)2-4(2e2x+ 2ln2x-k2)≤0在(0,+∞)上恒成立，即k2≤(ex-lnx)2在(0,+∞)上恒成立．

上述解答关键是处理k2≤(ex-lnx)2在(0, +∞)上的恒成立问题，难点在于φ(x)=ex-lnx的最小值难以直接通过一次求导直接给出，只能借助于二次求导以及函数零点的相关知识加以解决．一般学生在处理此类问题时，无法像答案这样完美无缺，考虑周全．学生们迫切地需要一种简单快速且有效的方法．因此我们可以借助于“切线不等式”来加以解决．

2 “切线不等式”的概念

切线不等式来源于函数f(x)的几何图象，通过观察f(x)的图象总是在切线y=ax+b的上方(或下方)，从而得到切线不等式f(x)≥ax+b(或f(x)≤ax+b)．在平时的高中数学教学中，常见的切线不等式如图1所示．

图1

无论是浑然天成的代数结构，还是优美对称的几何直观，都让人赏心悦目、拍案叫绝．

3 “切线不等式”的应用

当我们熟悉切线不等式之间的关系及其变形形式后，自然要看看它们在解题实践中的应用．

3.1 与函数相关的不等式问题

例1(2020山东二模)已知函数f(x)=ex-x2．

(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程；

解析 (1)略．

(2)这个不等式的常规证明较为麻烦，观察不等式的右边，发现很像切线不等式的变形，因此采用切线不等式解决此题．

反思回想我们的解题过程，若是不借助切线不等式的变形，此题需要学生进行大量的构造，通过尝试导数去求解最值进而证明不等式，过程较为繁琐，操作起来较为困难；相反，若是借助切线不等式，只需要进行简单的放缩，通过移项和常规求导即可解决，优势明显．

(1)求a,b的值；(2)证明：f(x)>1．

解析 (1)略．

3.2 形如的不等式问题

图2

反思由于观察到函数图象是上凸的，利用原函数图象和切线的位置关系，采用数形结合的方法对原不等式进行放缩，最后由不等式的性质，三个式子相加，证得原命题．此方法既培养了学生对数形结合思想的理解，也减少了复杂的含字母运算．

反思运用“切线不等式”法证明不等式时，需注意已知条件是单变元的和式，特征不等式左边也是和式，当发现已知条件或特征不等式不符合上述条件时，需要通过适当的转化后再使用“切线不等式”．

4 反思与展望

虽然高中的试题一直在继承中创新，但也不回避已经考过的类似试题．此类数学题集中了命题人的智慧，是经过反复打磨的精品，因此在备战高考时，通过研究各省市的历年真题，把握高考试题的方向和命题规律，精做题、做精题，这样才能走出题海，提高效率．不等问题在高考中一直扮演着重要地位，综合性强，区分度高，是数学学科核心素养高低的分水岭．在研究函数的过程中，若能利用好“切线不等式”这一有力工具，往往就能出奇制胜，此法对比常规方法而言具有巨大的优越性和间接性．遗憾的是，“切线不等式”这样的称呼，教材中并没有明确给出，至今仍是一个“民间”说法，因此在应用时还需要给出适当的证明，这不免增加了解题的长度．教师在日常教学中，为了提升学生的数学核心素养、提高学生的数学思维品质，应在恰当的时候有针对性地讲授一下，以便拓宽学生的解题视野．