萃取数学史 建构概念课——以苏科版八上“平方根”为例*

魏宇亭 (江苏省邳州市戴庄中学 221347)

1972年第二届国际数学教育大会(ICME-2)在英国举行，会上组建了“数学史与数学教学之关系国际研究小组”(简称为HPM)．该组织成立后，致力于数学史在数学教学中的应用研究，如美国数学史专家福韦尔指出数学史具有可增加学生的学习动机，有助于学生理解概念等教育价值；美国学者琼斯认为用数学史进行新课引入可以帮助学生“发现”新概念或新思想方法．史宁中、孔凡哲教授也指出，数学是人类文化的重要组成部分，数学教育是数学文化的教育，而数学史是数学文化的一种载体，数学史融入数学课程有助于学生理解数学．[1]基于上述理论，笔者在徐州市级同课异构活动中，通过萃取数学史建构概念课，执教了苏科版八上“4.1平方根”一课，得到与会师生的好评．

1 教材分析

1.1 基于知识链的教材分析

本课是苏科版数学八上(以下简称为教材)第四章第1节．七年级时，学生已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方等运算，能识别简单的无理数．本学期，学生已学习勾股定理，经历了运用平方求直角三角形边长的过程，奠定了学习平方根的基础．本章将学习实数的概念，八下将学习二次根式，九上将学习解一元二次方程．因此，平方根是重要的概念枢纽，发挥承前启后的作用，体现课标对重要数学概念螺旋式上升的要求．据此，可绘如图1所示的结构图．

图1

1.2 基于数学史的教材分析

·蕴藏勾股定理的历史背景

本课教材中设计了如图2的引图，要求学生在边长为1的网格中求AB,A′B′的长，虽然AB,A′B′是矩形的对角线，但实质是运用勾股定理求解，图形上略显复杂，会给部分学生带来识图困难．因此，抓住勾股定理这一线索，依据HPM的理念，萃取毕达哥拉斯发现勾股定理后提出万物皆数的数学史，直接创设求直角三角形边长的情境，剑指学习平方根的必要性，既可达成引图的目标，又能解决识图困难，让学生在传承有序、自然而然的数学史情境中建立新概念．

图2

·蕴藏发现无理数的历史背景

2 教学设计

2.1 跨越时空，引出概念

(1)出示图3，回顾邮票的图案是根据勾股定理设计的．

图3 图4

(2)出示图4，数学史：在西方，勾股定理被称为“毕达哥拉斯定理”，它是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的.毕达哥拉斯发现勾股定理后，试着从数学扩大到哲学，用数的观点解释世界，经过刻苦实践，提出了“万物皆数”的观点，这里的数是指一个精确的数字，随后逐渐形成毕达哥拉斯学派．

(3)出示图5，求直角三角形第三边长，经历运算过程，体验“万物皆数”的观点．

(4)出示图6，数学史：希帕索斯是毕达哥拉斯学派中一个聪明、好学、有独立思考能力的青年数学家，他在研究勾股定理时，发现了一个大问题．

图5 图6 图7

(5)出示图7，求腰长为1的等腰直角三角形的斜边长，用逼近法，感受斜边的数值特征．

(6)数学史：希帕索斯的发现，打破了毕达哥拉斯万物皆数的权威，史称“第一次数学危机”．他坚持真理，并付出了生命的代价．后世数学家在此基础上定义了新数字，开创了新运算．

设计意图萃取与毕达哥拉斯和希帕索斯相关的数学史创设情境，在求等腰直角三角形斜边的问题中，让学生感受无理数的客观存在性、数字扩充的现实性、开创运算的必要性，为建构概念奠定思维基础，用希帕索斯宁死求真的故事对学生进行情感、态度、价值观的教育，发挥学科育人功效．

2.2 抽象本质，生成概念

·建立互逆，感悟特征

(1)出示图8左侧3题，快速求解．

(2)追问：请举出相同的例子，有何发现？

(3)出示图8右侧3题，学生思考后，指名回答．

图8

(4)追问：你有什么发现？

设计意图建立互逆关系，使学生感悟运算的互逆性及已知幂和指数求底数的运算特征．

·追问促思，生成概念

(1)指名回答，组织讨论，统一意见．

若x2=0，则x=；若x2=-4，则x=．

(2)抽象本质，逐步建构，生成概念．若用字母a表示等号右边的数字，则可表述为：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根．

(3)追问：若x2=2，则x=．

2.3 列表归类，探究概念

(1)整理下表，设问：观察表格，你发现了什么规律？

a9140.1620-4a的平方根±3±12±0.4±20无

(2)学生思考，小组合作，发表意见．

(3)小结：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

(4)开平方的定义：求一个数的平方根的运算叫开平方．

2.4 例题教学，运用概念

(2)先出示①至③，指名回答；再依次出示④至⑥，讨论完成．

2.5 辨析巩固，深化概念

(1)判断下列说法是否正确：① -5是25的平方根；② 25的平方根是-5；③ 0的平方根是0；④ 1的平方根是1；⑤ (-3)2的平方根是-3．

(2)学生在独立思考、小组讨论后完成辨析．

设计意图辨析讨论，学生进一步感悟平方根的概念和性质．

2.6 课堂小结，升华概念(略)

2.7 沙场点兵，巩固概念

组织学生以抢答的形式，解答习题．

(1) 4的平方根是( )．

A.16 B.±4 C.±2 D.8

(2)如果1.2是a的平方根，那么另一个平方根是．

(3)一个实数的平方根是a+3和2a，则a=．

2.8 板书设计

本节课的板书设计如图9所示．

图9

3 教学反思

3.1 萃取数学史，创设产生概念的模拟情境

3.2 萃取数学史，建构概念体系的知识链条

3.3 萃取数学史，在概念教学中渗透“三会”