“做数学”视域下的教学实践探究——以苏科版八年级下“图形的旋转”教学为例*

卞焕清 吕小兵 (江苏省南菁高级中学实验学校 214400)

王俊蓉 (江苏省江阴市教师发展中心 214431)

“做数学”起源于上世纪国外科学学科实施的“Hands-on”学习计划，我国于上世纪90年代在幼儿园和小学的科学教育中引入，后被引入中小学数学教育[1].“做数学”强调从实际生活出发，引导学生注意观察周围环境中的事物，鼓励学生自己发现问题、提出问题；引导学生自己设计操作、亲身实验、实践等活动，让学生经历新的概念或者规律形成的过程，感悟思维和知识的发生过程.除了获得知识结果以外，还能体会数学的基本思想和探究问题的基本路径.当前，“做数学”教育理念逐步进入了研究者的视野，成为教育者关心的热点议题之一.

“图形的运动”贯穿于整个义务教育阶段[2]，三个学段的课程目标各不相同：第一学段让学生感受平移、旋转、轴对称现象；第二学段让学生体验简单图形的运动过程；第三学段需要学生能够探索并理解平面图形的平移、旋转、轴对称.从“感受”到“体验”再到“探索、理解”，三个学段的课程目标呈现螺旋上升，而初中阶段聚焦探索和理解，需主动、深入、系统地研究三种运动方式的共性和个性问题.图形的运动具有高度抽象性，难以直观想象，因此“做数学”理念就成了应然之选.

1 教材分析与设计理念

苏科版《义务教育教科书·数学》八年级下册中“图形的旋转”是继平移之后学习的另一种图形的基本变换，也是后续学习中心对称图形及其变化的基础.然而，对于旋转的基本概念和性质的探索，教师一般采用讲授式或者利用动画演示进行处理，学生很难体会旋转概念的生成，无法明确旋转的研究目标，更无法直观地感受到图形运动过程中存在着哪些“变与不变”，导致学生很难用运动的眼光去分析问题、解决问题.为了解决这个矛盾，笔者基于“做数学”教学理念[3]，以数学实验为抓手，让学生通过动手操作，亲身体会图形旋转概念和性质的生成，建立图形运动的研究体系.

本节课的设计理念：(1)从学生实际接触、观察到的现象出发，从具体到抽象，从感性到理性，从实际到理论，再用实践去检验理论，循序渐进地引导学生认识生活中的旋转，进而探索其性质；(2)旋转概念和性质的探究是本节课的核心环节，整个探索过程充分体现“学生为主体，教师为主导”，以探究式的教学方法为主，让学生自主参与知识的生成；(3)作为初中阶段研究的三种基本运动方式之一，同时也作为中心对称图形的章首课，课堂不应仅仅止于旋转知识的探索，也要帮助学生明确图形的运动的研究目标，更要帮助学生梳理研究数学问题的一般思路，真正提升学生解决问题的能力.

2 问题设计与教学实录

2.1 提出问题，明确目标，生成研究问题的知识体系

问题1相信同学们都听过著名哲学家伏尔泰的一句话——“生命在于运动.”我们的生活也因为各种各样的运动而过得绚丽多彩，你能说出下列生活场景体现出的运动方式吗？能否给下列运动方式进行分类呢？

图1 生活中的运动

设计意图社会、数学知识和学生对数学课程发展影响的制约不是孤立的[4]，“做数学”强调从学生的生活经验出发，引导学生观察日常生活中常见的事物，鼓励学生发现问题.本问题通过生活场景唤醒学生对图形运动的认识，能识别几种运动方式并进行归类，同时趣味性的开场白能够活跃课堂氛围，激发学生学习兴趣.

问题2同学们，图形的平移是我们学习过的内容，我们是如何研究图形的平移的？

设计意图若是只将目标聚焦于旋转的研究，那么学生对知识的认知是碎片化的，无法对知识结构从整体上认识.事实上，平移、旋转和翻折是初中阶段研究的三种基本运动方式，研究的基本路径也保持一致.因此，笔者从课堂整体建构理念出发，引导学生自主回忆图形平移的相关知识，梳理图形平移的研究路径，让学生在探索图形的旋转时“有路可循”.

2.2 自主探索，形成概念，体会知识生长的基本过程

问题3类比图形平移的概念，你能从三个生活情境中说出图形旋转的基本概念吗？

问题4让我们用动手操作来归纳图形旋转的概念，同时请思考，旋转需要研究哪些要素？

设计意图旋转的概念和三要素是本节课要研究的一个重点，也是图形旋转研究的起点，无论是课件里的图片还是精美的动画都无法让学生直观感受到旋转过程的动态变化.“做数学”理念下教师引导学生应用材料和工具，设计实验操作、实验、实践等活动，让学生能够通过具身体验来获得数学概念和性质.此环节通过细绳和砝码设计了实验操作，让学生上台演示旋转过程.在归纳出旋转基本概念的同时也能明确旋转需要研究的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度，三者缺一不可.

问题5同学们，我们已经知道了旋转的概念，下面我们要研究什么？

问题6对于复杂图形的旋转，我们很难发现其性质，那么我们可以如何研究呢？

设计意图旋转的性质是本节课要研究的核心内容，但是教师直观的展示并不能让学生认识到为什么要研究以及如何研究“对应点到旋转中心的距离相等”和“对应点到旋转中心连线所形成的角相等”.问题5、6的抛出引导学生梳理研究问题的一般路径，即从特殊到一般，引导学生从研究点的旋转开始，再研究线段和三角形的旋转(图2).此处利用两张叠合的半透明硫酸纸让学生体验图形的旋转(图3)，通过实践操作探究旋转的性质.

图2 图形旋转性质的研究路径

图3 叠合的半透明硫酸纸

问题7请同学们动手操作，一起探索点的旋转有什么性质？

设计意图旋转的动态变化让学生无法直观感受到旋转的性质，而讲授式的教学也让学生无法体会到旋转性质的自然生成.“做数学”理念强调课堂的架构应该由浅入深，有序地探索复杂问题.点的旋转是研究其他复杂图形旋转的基础，任何复杂图形的旋转都可以转化为点的旋转进行研究.其次旋转的性质研究的就是在旋转这个动态变化的过程中有哪些量是不变的，即“变中不变”.本环节中，点旋转的性质对于学生来说较易发现，即对应点到旋转中心的距离相等，如图4中OA=OA′，且∠AOA′即为旋转角.点的旋转能够帮助学生清晰地观察到旋转的性质，为后续的探究打下基础.

图4 点的旋转示意图

问题8对于线段的旋转，同学们会探究了吗？线段的旋转具有哪些性质呢？

追问：和点的旋转不同的是，线段的旋转要注意什么呢？

设计意图旋转中心位于旋转三要素之首，是研究旋转最先需确定的，但也是最容易忽视的，无序的探究往往也让学生难以体会知识的内在逻辑.在实际教学中，学生能够自然联想到的是旋转中心在线段端点处的情况(图5①)，这种情况下能够得到如下发现：AB=AB′，且∠BAB′即为旋转角.此时应及时追问：旋转中心是否只能在线段端点处？在图5②中不难有如下发现：AB=A′B′，OA=OA′，OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′(两角均为旋转角).在图5③中可以有如下发现：AB=A′B′，OA=OA′，OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′.在探索的过程当中，学生也能很自然地意识到旋转和平移性质之间的联系和区别.

图5 线段的旋转示意图

问题9相信同学们会研究三角形的旋转了，请大家动手操作.

追问：对于更复杂图形的旋转，同学们会探究了吗？

设计意图在系统地研究了线段旋转性质后，相对复杂的三角形旋转的性质也跃然纸上，旋转中心分别在三角形边上(图6①)、在三角形内部(图6②)和在三角形外部(图6③).学生也会聚焦旋转角的相等、对应点到旋转中心连线的长度相等.对于更复杂图形的旋转，学生也会明确其探究路径和需要探究的性质，从而不仅积累了知识经验，还发展了能力.

图6 三角形的旋转示意图

问题10请归纳图形旋转的性质.

设计意图学生在整个探究过程中历经了点、线段和三角形的旋转的探究，教师需引导学生归纳总结三者的旋转的共同性质.特别注意的是在探究过程中需要帮助学生明确旋转是具有整体性的，即图形上的每一个点均随图形的旋转而旋转.

2.3 课堂小结，梳理框架，实现知识探究的整体架构

问题11你能说出本节课我们经历了怎样的学习过程，是如何来研究图形的旋转的？

设计意图课堂小结环节帮助学生梳理课堂研究逻辑，但不能局限于课堂知识的呈现和整理，需进一步突出类比思想在研究三种运动方式中的应用，帮助学生梳理研究数学新知的一般线路.同时，研究路径的梳理也能进一步帮助学生认识到初中阶段图形运动相关知识的整体性，让学生认识到数学知识是整体关联的，并非碎片化的堆砌.

图7 图形的运动研究路径

3 “做数学”理念下的教学反思

3.1 聚焦情境性和具身性，让知识在动手操作中生长

“做数学”强调课堂教学应该从学生熟悉的生活实际出发，引导学生善于观察，引发学生的共鸣，让学生产生探索新知的内在需求，进而主动参与到课堂探索中去.本节课从常见的生活场景出发，引导学生观察生活中存在的运动方式，并依据运动方式的类型进行归纳，引发学生思考：生活中常见的旋转运动到底具有怎样的性质？由此激发学生探求问题的兴趣.

具身体验也是“做数学”的聚焦点，课堂教学中学生围绕某个问题开展系列的动手操作、实验、归纳等实践活动，化动态为静态、化抽象为具体，感悟数学的基本思想.本节课中利用砝码和细绳探索旋转的基本概念和旋转的三要素，利用半透明硫酸纸进行旋转性质的探索环节的设计和实践.实验材料的易获取性使得学生能够在课堂有限的时间后，利用课后时间进一步设计实验方案并探索，培养学生通过实验的设计和操作发展解决问题的能力.

3.2 紧扣主体性和交互性，让学生在主动学习中探索

“做数学”理念下课堂的主体是学生，知识、技能和能力的获得最终都需要学生自我内化.因此，整个课堂教学紧密围绕学生的实践活动展开，无论是旋转的概念还是旋转性质的归纳，都需要学生动手操作，在进一步的发现、归纳中获得知识.整个课堂中教师起到主导作用，并确保学生的主体性，引导学生探究旋转的研究路线和确定实验方法；修正或改进学生提出的方案.在旋转性质探究过程中，线段旋转的旋转中心的确定就需要教师不断引导学生思考，探究旋转中心位置的几种可能性，不断完善旋转性质探究的实验方案.

3.3 着眼开放性和育人性，让素养在数学研究中发展

“做数学”视域下的课堂预设是多元的，允许学生各抒己见，也容许学生“犯错”.学生不同想法的大胆表达往往能够激发大家思考，进而发展学生的创新思维，学生在交流过程中发现数学本质.在本节课中，探究旋转的性质的过程中应设置多种预设，满足学生开放性探索的需求，特别是在探究三角形旋转时，旋转的过程中到底有哪些变化的量、哪些不变的量，都需要学生不断发现和归纳.

课堂教学不仅仅是为了帮助学生获取数学原理和知识，更应关注学生关键能力的提升和认识世界的一般方法的掌握，这正是育人性的体现.本节课不仅关注旋转概念和性质的探究，还通过实验活动引导学生梳理研究图形运动的一般路径，把握知识的整体脉络，体会数学研究的一般方法.整个课堂需紧密围绕学生自主设计实验方案并动手实践，达成知识体系的建构和能力的提升，实现课堂角色的“翻转”，实现数学价值和学生思维的发展，发展学生的数学学科的关键能力和核心素养.