立足学生认知发展 提升学生数学素养——以“探索确定位置的方法”教学设计为例

林琪瑜 (浙江省温州市南浦实验中学 325000)

2021年9月，在浙江温州市南浦实验中学校级公开课上，笔者执教了“探索确定位置的方法”(浙教版数学八年级上册第四章第1节)，以知识内容为载体，设计贴近实际的生活情境，为学生在探索中自主发现并构建数学知识提供渠道，同时将数学抽象这一核心素养的发展寓于情境活动与学生的体验归纳中．学生在经历中展开数学感知与思维，在潜移默化中提升数学核心素养，取得了良好的数学教学效果．

1 解读教材，分析学情，确定教学目标

本节课的教学内容是在小学介绍了确定物体位置的两种常用方法的基础上进行的，但学生对于方法的认识并不深入，未达到对生活实际进行抽象的水平．在八年级的数学教材编排中，探索确定位置的方法重在“探索”“确定位置”，且探究体验与升华建构的过程还有助于学生体会坐标思想、数形结合思想等，从知识内容层面、或从数学思想层面而言，它又是后续平面直角坐标系、函数等内容的重要准备与学习经验．从整个学习进程而言，学生的新知识在旧知识上生长，内容螺旋式上升，达到不断强化认知结构的目的，这是符合学习的认知规律的．从学情方面分析，在小学四、六年级，学生已学习了确定位置的方法，但是对数的认识较为局限，而八年级的学生已将数域拓宽到实数范围，所以如何在“似曾相识”的内容上激发学习兴趣、让学生认识到数学学习的必要性是该节课要解决的问题．在七年级，学生经历了数轴的学习后能准确地在一维上确定位置，但是如何在二维中透彻了解确定位置方法的本质，提升对有序数对的认识是本节课需要突破的．

因此确定这节课的教学目标：探索确定平面上物体位置的方法，能用有序实数对和方向、距离表示平面上点的位置；体验有序实数对和方向、距离表示法中的数形结合思想、感受数对表示形式的坐标思想；体会数学来源并应用于生活，提升数学抽象素养，发展应用意识．教学重点：探索确定位置的两种常用方法．教学难点：有序数对从实际到抽象平面的转化．

2 主要教学过程

2.1 游戏导入，激发兴趣

师：我们一起来玩一个“你说我猜”游戏吧！我需要两个小助手．

规则要求：(1)乙面向同学；(2)甲向乙描述某点的位置，大家安静倾听、观察；(3)乙转身确定该点的位置．

教师用幻灯片展示：点O，点A，请描述点A的位置．

生1：点A在点O右边20 cm处．

生2：确定并指出A点位置．

教师用幻灯片展示：点O，点B，请描述点B的位置．

生1：点B在点O东北方向15 cm处．

生2：确定并指出B点位置．

师(过渡)：我们发现刚才对点A,B的两种描述都涉及2个量(方向、距离)，那么我们今天就一起来探索确定位置的方法．

设计意图设计游戏导入，能够较快地调动学生的注意力．对于“传话”表达位置这一问题，学生会尽可能地去表达，教师则有意识地把学生的生成留在黑板上，也为后续内容的学习提供了一条线索与思路．同时，为方位描述意识稍有模糊的学生回忆旧知，为精确、到位的叙述作铺垫．

2.2 方向距离，玩中获知

(1)游戏归纳

师：我们如何规范地描述B相对于O的位置呢？

生3：点B在点O东北方向15 cm处．

师：刚才他的回答是以什么为参照点的？确定参照点后要做什么？

生4：此时是以点O为参照点，需要建立东西南北的方向，然后，测得方向与距离．

师：所以我们就可以这样描述一个点的位置——如“B在O的北偏东…° … cm处”(板书)．假如确定了参照点，平面上任一点的位置都可以描述吗？这种描述下对应的位置是唯一的吗？

师生共同得出：一一对应．用方向、距离可以确定平面上一点的位置．

图1

设计意图在游戏的导入作用仍延续的教学环节中，让游戏的作用性放大，而非单纯引入课题．方向距离法是学生已经接触过的内容，而游戏的回瞻、教师的问题引导能更快地帮助学生自主得到方向距离法的概念．

(2)地点应用

师：请大家完成学习单方法应用一(图1)．

1)怎样表述其他地点相对南浦实验的位置?

生5：交警支队在南浦实验的北偏东45° 900 m处．

生6：南浦小学在南浦实验的南偏东20° 800 m处．

生7：二十一中在南浦实验中学的南偏西57° 1 400 m处．

2)第一问的参照点在哪里？选用的是哪种描述方式？南浦实验中学相对于二十一中的位置怎么表述？

生8：南浦实验．方向距离法．南浦实验中学在二十一中的北偏东57° 1 400 m处．

设计意图对知识掌握度的检验是将其应用出来，本环节问题的设计以当地学校周围的建筑为素材，创造应用情境，将课堂还给学生的同时也让学生贴近实际生活，情境条件由学生创设．学生通过对问题的解决一方面巩固了知识要点，另一方面能提高对生活中的数学观察感知力，累积经验．

(3)环节小结

师：刚才我们在用方向距离法确定一点的位置时，你觉得使用方向距离法确定位置的步骤有哪些？关键点什么？

师生共同完善：参照点—方位图—连线—量方向、距离．板书小结：1找—2画—3测—4写．

2.3 有序数对，体验建构

(1)座位探索

师：刚才我们学了方向距离法，其实呀，生活中还有其他确定位置的方法.现在将目光转移到我们教室，比如，你通常习惯如何描述自己在教室中的位置呢？

师:请生9(该生位置为第四排第三列)来说说看，你会习惯怎么描述自己的位置呢？

生9：第三列第四排．

师：(板书学生的叙述并追问)这样写比较麻烦，有更简洁的表示方式吗？

生10：(上台书写)43．

师(追问)：是表示位置吗？这两个数是整体吗？数与数之间需要隔开吗？

师生共同得到(4,3)．

师：所以我们就可以尝试用数对来表示一个位置．C同学除了是第3列第4排，可以说是第4排第3列吗？(边说边板书)“C：第3列第4排”，那这样也有更简洁的表示方式吗？

生11：(3,4)．

师(追问)：这样会出现什么问题呢？

生11：可以简单化，但不对了，会出现一个数对对应两个点的位置的情况．

师：是的，此时一个位置会对应不同的数对，正因为这种表示是一种数学语言，所以我们可以先“规定”，如先列后行“(列，行)”，我们把这样的数对叫做“有序数对”．

师：那请问按照我们的规定，真正的(4,3)同学的位置在哪里呢？请你起立．(生(4,3)起立)

设计意图从生活中常见的找座位入手，以自身的位置描述展开，学生的课堂参与度能大幅提高．教师在学生的回答生成中推进后续的问题，期望学生能自主发现问题冲突，锻炼学生的思考全面性．同时，设计由学生自主给出简洁的表示方式，也是为了训练学生从具体情境中抽象出“横纵轴”(列、排)观念的能力，从而实现文字语言到数学抽象语言的转化．

(2)座位应用

图2

师：现在大家能在图2上找到自己的位置吗？

按照我们之前规定的起始列、起始排，参照点在哪？这位参照同学是什么数对？

生12指出该同学(1,1)．

任务1：现在按刚才大家的规定，请写出表示自己位置的有序数对，并左右同桌交流．

(教师巡视学生的情况，及时给予反馈指导)

教师请一斜列学生回答自己的有序数对，为后面不同的参照点活动做准备．

任务2：现在如果以C同学为参照点(1,1)，大家能再写出表示自己位置的有序数对吗？请大家写在学习单空白处，并交流．(教师巡视了解学生的情况，及时给予反馈指导)

教师再请同一斜列学生回答自己的有序数对.

师：为什么这些同学现在的有序数对和刚才不一样了呢？

生13：因为参照点变了．对于不同的参照点，位置的表示数对不同．

设计意图练习能够加深知识的理解，明确有序数对方法的使用规则与要求．而任务1、2的设置延续了探索新知中的情境，在同样的环境下完成对知识的全面认知，能更大限度地利用好“就地取材”的背景．从“位置”到“数对”的互相转化，学生体会到数学的一一对应思想；从参照点的改变到位置表示方法的改变，又进一步让学生感受到参照的必要性、结果的相对性，形成辩证观．

(3)环节小结

师：通过刚才的活动，你觉得使用有序数对法确定位置的步骤有哪些？关键点什么？

生共同完善：参照点—数对次序—计数．板书小结：1找—2定—3写．

2.4 校本应用，综合提升

师：过几天将迎来我们的“新生游园活动”，学习单上是我们校内建筑的分布，你能为新生介绍学校内部各地的分布吗？尝试回答下列问题．若规定列在前、行在后．

图3

(1)在图3上用有序数对表示学校各建筑物位置；(2)辅助楼相对于浦西楼或教学楼的位置可以怎么描述？(3)利用今天学习的知识，请你在图3上自主选择不同的方法对“新生游园活动”中各建筑物的位置进行标识．

先由学生独立完成问题，教师巡视，再请学生上台投影展示，教师点评，再次巩固本节课的知识及其包含的各个要素．

设计意图针对学情、校情设计校本练习，旨在让学生训练有序数对法与方向距离法的同时，也帮助他们对学校有更多的了解，对实际方位有更准确的认知，而非局限于书本的虚设情境或离学生较远的情境．在积累了确定位置方法的经验后，学生在第3问中能自主选择方法对建筑的位置进行数学化抽象，将位置进行符号化表征．对于有序数对法中参照点的不确定，也为下节课平面直角坐标系的学习作了铺垫．

2.5 回顾思考，反馈同化

引导式提问小结：(1)确定平面上点的位置有哪几种常用的方法？(2)在平面上确定物体(点)的位置的步骤有哪些？(3)为什么给出2个数就恰好可以确定一个点呢？你能对确定点的这一过程加以解释吗？(4)当参照点、描述方式、数对次序都确定好后，平面上的点与有序数对是否一一对应？(5)你觉得用有序数对表示物体(点)的位置有何意义呢？

学生自主回答，教师补充完善．

师：点不能运算，而数可以，若能使数与点一一对应，就可以将点转化为数，从而用代数来研究几何．这就是法国数学家笛卡尔的想法.借助有序数对，几何上的点就可以与数一一对应，我们就能用代数的可计算性来研究几何.

设计意图以问题清单的形式引导学生进行积极思考、回顾本节课所学，从学习的探索过程及发现它们之间的表征、共性、意义，都有助于学生体验获得知识的成就感，增强反思的意识．两个量即可确定点的说明，本质蕴涵交轨思想；数学家故事的代入令学生再次感受人文熏陶．

3 反思教学实践，体悟教育之道

3.1 贴近真实情境，建构生活数学

有趣的学习环境能更好地带领学生融入数学的发现与学习过程，以支持学习的积极性．《义务教育数学课程标准(2011版)》中强调，数学素材的选用应在反映数学本质的前提下尽可能地贴近学生的现实，如生活现实、数学现实、其他学科现实，这样易使学生感受到数学的价值和趣味，利于他们经历从真实情境中抽象出数学知识与方法的过程[1]．本节课从“你说我猜”游戏导入，一改单纯师生问答的引入方式，调动学生思维的活跃度，从“要我学”变成“我要学”．教学过程中，关注学生从生活情境发现数学并应用数学的能力，从周边地点、教室座位、校内建筑，帮助学生从来源于生活的问题情境中体验实际问题“数学化”的历程，在主动建构的活动中获得知识[2]．学生在有意义的情境定位问题中自发提炼确定位置的方法，形成数学概念与方法，自然转化到抽象平面中去，这样的教学设计符合学生认知发展规律、遵循数学发展规律．

3.2 着力钻研教材要点，注重数学过程探究

研读教材后，发现小学时期的理解大多在依赖于形象思维，在表述、数域、应用范围上存在局限，而八年级学生的知识扩充了，有一定的抽象能力，教材采取螺旋上升式的学习使学生认知结构系统化、规范化．因此本节课的重点落在“探索”“确定”上，学生在学习过程中积累抽象横纵序列的经验，在过程中建构规范化的概念，获得抽象的数学表征意识．过程采用学生主体的发现式学习，在探索、确定自己位置的3个小活动中，先尝试表达，再组合规范．对于唯一性、一一对应的要求，再次通过教室座位活动经历认识冲突，发现新的知识表征要求．在明确教材起点与拔高点的基础上，注重“学习过程”的获得，既尊重学生的认知基础，又遵循知识的本源．在“确认位置方法”环节，以学生原有的知识为起点推动其生长；在“尝试方法应用”环节，学生参与到现实问题的解决中，在数学化中体会蕴涵的数学思想；在“小结回顾方法”环节，通过问题驱动，寓探索提升、过程学习于反思回顾中．“校本问题解决”环节，教师赞同学生的表示方法，同时对有序数对法进行应用引导，启发学生通过选择不同参照点，表示对应建筑的位置．从问题出发牵引学生，一方面让学生获得解决问题的成就感，另一方面也在探究应用中渗透平面直角坐标系的思想．

3.3 明确认知形成过程，发展学生核心素养

数学课程的内容设计要求符合学生认知发展特点，符合学生现有的心智状态，重视知识的形成，而活动中学生的积极自主建构能促进数学素养的提升．后现代课程观提倡将抽象的数学知识向具象化还原，从思维的低起点出发，经过对知识的探索，建立认知联系．本节课的游戏环节梯度是面向全班学生的，初中生能较快地投入参与，学生的活动经验与严谨的概念抽象能形成有效联结．在有序数对的学习中，学生从自身对教室的观察到幻灯片上的位置转化再到网格化的横纵轴抽象，其思维是逐层上升的，并且大部分学生在这一抽象转化过程中能锻炼“会学”的能力，使其在获得知识的同时提升学习力，发展数学抽象素养．

其次，本节课的应用也是基于生活创设的，于生活中发现数学，并能够在实际问题中抽象出数学解决方法，是应用数学的目的所在．优质高效的课堂教学要求在有限的时间与精力中使学生的核心素养获得收益最大化．在校本问题应用中，学生经历了对建筑点进行建模、将各点平面化的过程，又在化繁为简的体验中形成数感、符号感．根据学生认知展开设计，旨在检验教学目标的同时，激发并维持学生的兴趣，对数学学习的本质内化于心，自然地将知识认知转化为素养.