完形修复：指向数学素养的核心区域

江苏淮安市实验小学（223002） 薛仕扣

一、完形修复，人的一种基本认知活动方式

1.相映成趣的心理实验

如图1，如果遮住A 和C，我们会不约而同地认为图中有三个数，依次是12、13、14；如果遮住12 和14，同样我们会认为图中有三个字母，依次是A、B、C。对于中间的部分，放在不同的情境中竟然会出现不同的答案（13或B），然而这就是人之常情！

图1

2.人之常情的背后思考

人在认识事物时，首先映入大脑中的是事物的整体，而不是事物的各个组成部分，这个整体即为完形。图1 中12、13、14 或A、B、C 组成的整体就是不同的完形。

3.俯拾即是的完形修复

人在面对一种不完美的刺激物时，会在认知中情不自禁地产生一种急于要使之完满的趋向，从而倾向于建立一个完形整体，这一过程即为完形修复。例如，图2 是独立的三个扇形，但通常情况下，人的认知倾向于它是一个三角形（自觉弥补三角形边上的缺失部分），而忽视了其为独立的三个扇形。这个修复过程是个体主动的，且修复完成后将难以改变。

图2

二、完形修复，指向数学素养的核心区域

1.意义剖析，感受完形修复的价值性

（1）在元素与整体中辨析

完形之“形”不是外物的形状，也不是一种形式，而是知觉中的“形”。完形心理学认为，心理现象最基本的特征是意识经验中显现出来的整体性和结构性，整体性既包括构成它的部分，又包括产生于独立其组成要素的全新整体。元素论主张对事物进行解剖研究，把元素从整体中割裂出来，研究其属性，并把整体的特征简单归结为元素之和。F.克莱因认为，数学教师应使学生了解数学知识并不是孤立的各部分，而是一个有机的整体。教学中，教师要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系以及数学与其他学科的联系。

（2）在自然与数学中共鸣

完形心理学认为，人的大脑中先天存在着一些力的结构样式，当物理中的力的样式与心理上的力的样式相对应时，外在对象和内在情感便产生共鸣，外在对象便具有了情感表现性，人就会产生审美体验。自然美与数学美是相互呼应的，在数学世界里，鹦鹉螺线、对数螺线、黄金分割、斐波那契数列等都蕴含着数学的美妙与神奇。

（3）在张力与平衡中调和

张力与平衡是一对互相矛盾又互相补充的认知规律。平衡是富有张力的动态平衡，张力是在一个平衡的样式中呈现的富有倾向性的张力。数学课堂教学要凸显力的冲突，制造学生心理上的认知失衡。数学学习的内容应该是现实的、富有挑战性的。比如，教学“面积和面积单位”一课，在学生难以用重叠法比较两个不同长方形的大小时，便产生认知张力，进而思考“如何使用间接方法比较或用哪种图形作面积单位最合适”，通过问题引发认知冲突，进而引出面积单位。

2.追根溯源，寻找完形修复的“存在感”

（1）在同化和顺应的过程中修复完形

建构主义理论认为，人的知识获取存在着两种不同的方式，即同化和顺应。以顺应方式进行学习的原因是人的已有知识经验匮乏，需要通过顺应不断建立新的知识系统。在此过程中，顺应的过程从某种层面上讲就是个体修复的过程，即建立新的知识系统这一新的完形。

例如，在教学“圆锥的体积”时，部分教师会让学生先拿两个等底等高的圆柱和圆锥容器，然后用圆锥容器装满水倒进圆柱容器里，发现倒3 次后圆柱容器里的水正好满了，进而得出圆锥和圆柱体积的关系。这样的活动，看似是学生通过动手操作探究圆锥的体积，实质上是在教师的指令下完成的，学生未能积极主动地参与到知识顺应的过程中，只是被动学习。为此，笔者进行了调整，课前准备大小不等的圆柱和圆锥（其中有等底等高的圆柱和圆锥）容器，让学生自主选择后进行小组合作探究，最后师生共同得出结论。通过小小的调整，教师的指令没有了，学生真正通过自主合作探究，最终得出圆锥的体积计算方法。

随着知识经验的不断积累，当遇到新知时，人们更倾向于从旧知中寻找与新知的关联度，一旦找寻到，人们就会自觉将新知纳入原有的知识系统中，形成新的知识体系，最终建立更为完善的新的完形体系。这一同化的过程即为人自觉主动的修复过程。例如，当学生认识了长方形后，教师出示1 个长方形并提问“这是什么”，学生会回答“是长方形”，而不会回答“是4 条线段”。可见，长方形是学生自主修复所建立的新完形。同理，当学生认识长方体后，教师出示1 个长方体并提问“这是什么”，学生会回答“是长方体”，而不会回答“是6 个长方形”。

（2）在整体和系统的结构中修复完形

把知识整体、系统地呈现给学生，学生在旧知的基础上，把零散的知识按层次连接为系统结构体系。在连接的过程中，零散的知识不可能清晰地出现在结构体系中，很多时候是模糊的、有缺陷的，这给学生进行自主修复提供了可能。学生不仅要认识事物的外部特征，还要理解其隐含的本质规律；不仅要知晓个别零散的知识，还要把握知识之间的联系，由此构成由表及里、由此及彼的完形知识结构。

例如，在教学“分数的基本性质”时，当学生得出“分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数，分数的大小不变”的结论后，笔者略作停顿。不一会儿，一位学生举起了手，说：“同时乘或除以的数不能是0。”笔者因势利导，问：“为什么不能是0？”这位学生回答：“因为分母不能为0，如果分子和分母都乘或除以0，所得分母就是0。”

当学生总结概括出分数的基本性质（不完整的）后，笔者没有立即评价，也没有问学生“可不可以同时乘或除以0”，而是略作停顿，给学生提供了修复的时间和空间，让学生自主修复分数基本性质的完形。这种教学方式不仅有利于学生头脑中新旧知识的结合，而且还能激发学生的认知潜力，进一步培养学生用深入、联系的思维方式去认识周围事物。

（3）在留白和想象的地带中修复完形

首先，巧设板书，为学生完形修复搭建“脚手架”。

随着科技的发展，许多现代化的教学手段走进课堂，但是板书在教学中仍然起着不可替代的作用。板书是体现教材思路、教师教路、学生学路的最佳形式，一次好的板书能简练、系统地体现教学内容，以明晰的视觉符号启迪学生思维，给学生提供记忆的框架结构。

例如，在旁听“笔算两位数加两位数（进位加）”时，图3是执教教师设计的板书，图4是笔者在执教教师的基础上略加修改形成的板书。

图3

图4

图3 的板书直接告知学生笔算两位数加两位数（进位加）的步骤，图4 的板书则出现了一些空白，正是因为这些空白的存在，激起学生对笔算两位数加两位数（进位加）这一完形进行自主修复的欲望。

师生对话是课堂教学中最常用也是最主要的一种手段。对话不是简单的“教师问、学生答”，更不是“教师讲、学生听”，而是通过对话启迪、唤醒学生主动思考。在对话的过程中只有给学生提供完形修复的场域，才能启动学生思维的翅膀。

其次，杜绝啰唆，为学生完形修复营造“自组织”。

课堂教学是一门艺术，而课堂教学中的师生对话更是一门高级艺术。课堂上，教师的啰唆主要表现在三个方面：第一是无意识的口头禅，如“啊”“嗯”“哦”“这个”等；第二是意思相同的提问，如一个问题提出后，在学生还没有回答或者回答不出来时，又接二连三地换角度重复提同一个问题；第三是重复学生的答案，如学生回答后又重复学生的答案后才进行现场评价。久而久之，教师的这些啰唆会干扰学生进行自我修复。

教师应将课堂视为实现完形的阵地，充分调动可用资源，提供灵动“对话场”、营造积极“自组织”、激活融通的“心物场”和搭建最佳“脚手架”，以激发学生的完形意识，建立良性的“同构”关系，促成学生自觉能动地进行完形修复。学生在改造、补充完形的过程中，容易激起大脑的潜力，提高认知的兴奋程度，从而引起一种进取的、充满紧张感的内驱力。在这种内驱力的驱动下，学生会积极主动地去“填补”不完美的刺激物。

3.同课异景，让完形修复提升学生数学素养

例如，在教学“平行四边形的面积”时，笔者首先带领学生复习长方形面积的计算方法，接着问学生如何求平行四边形的面积。学生猜测用相邻两条边相乘，笔者否定了学生的答案，但没有告诉学生为什么否定，而是直接演示将平行四边形转化成长方形的过程（如图5）。在笔者的引导下，学生根据转化前后的关系，得出“平行四边形的面积=底×高”。

图5

上述教学中，学生真的掌握了求平行四边形面积的计算方法了吗？为求验证，笔者出示图6 并提问：“如何计算这个平行四边形的面积？”学生异口同声地回答：“10×15=150（cm²）。”笔者对学生的回答表示肯定，接着追问：“你们是怎么算的呢？”学生按照之前的方法画出了图7，可是画完后发现与之前学的（图5）不一样，学生陷入了思考。

图6

图7

通过学生异口同声的回答可以发现，学生看似建立了平行四边形面积计算方法这一完形，但对图6 这种平行四边形，无法用之前的经验转化成长方形，说明这一完形是有缺陷的。学生陷入思考的过程是一种自觉完形修复的过程。

接着，笔者没有任何干涉，学生进行自主探索。有的学生从平行四边形上面切取一个直角三角形移到下面，转化成长方形（如图8）；有的学生先将作业本旋转90°，再割补图形，最后转化成长方形（如图9）。

图8

图9

在仔细观察图形的基础上，如何把平行四边形转化成一个面积与之相等的长方形，围绕这样的中心问题，学生自觉对已建立的完形进行修复，最终豁然开朗。

三、理性把握完形修复过程中存在的问题

学生的学习过程不应只有教师的指导，还应有一种自觉的重新组织。学生的学习过程是在组织构造一种完形，并对其中各种关系进行认识，这种完形过程一旦建立，将会形成学生自动化的行为方式。

在教学过程中，如果教师制造的“陷阱”太少，学生不假思索就能轻易获得完形，缺少了修复的过程，但如果教师制造的“陷阱”太多，学生会因捉摸不透而无法修复。因此，在完形修复的过程中，教师需要把握一定的尺度，这样才能发挥应有的作用。

1.完形消逝，对学生修复的过程过度关照

课堂上，有的教师生怕学生听不懂，总是讲得太多且从不制造“陷阱”，或者制造“陷阱”自己跳，不敢让学生去跳，忽视了学生对所学内容的修复过程。一节课下来，教师口干舌燥，学生只是被动接受，如此，因缺少修复的过程导致完形消逝。

2.完形失败，对学生修复的过程放任自流

课堂上，有的教师对学生的想法缺乏恰当的引导，造成学生对所学内容完形失败。

例如，在旁听“倒数的意义”时，执教教师这样导入：“同学们，在日常生活中，很多东西可以倒置。比如，书可以倒放、杯子可以倒放（杯口朝下）……今天我们一起来学习倒数，猜猜看，倒数是什么？”学生的回答五花八门，有的说倒数就是将数倒过来，如1 倒过来是1，8 倒过来是8，6 倒过来就变成9；有的说倒数就是倒着数数……学生的回答与倒数的意义没有任何关系，最终导致学生对“倒数”这一概念完形失败。

“要使不同的人在数学上得到不同的发展。”在数学教学中，学生对某一学习内容的完形修复是存在差异性的，不能一概而论。教师要针对学生的不同特点，从多种角度发掘学生的潜能，用积极的心态去认识学生完形修复的过程，遵照不同学生完形修复的差异性。