反思：小学数学课堂探究的深化策略

浙江玉环市环山小学状元桥校区（317600） 陈金女

进入课程改革新时代，各学科都在实施探究性学习。探究性学习是一个不断发现问题、提出问题、解决问题的过程。这个过程并不总是朝着正确的结论推进的，因此，需要学生经常质疑、反思学习过程中的材料、方法、思路等是否有利于问题解决，是否科学合理，从而不断调整学习方法、策略，逐渐明确方向，探究出科学的结论。

质疑是反思的基础，反思是质疑的深化，反思引发深层探究，探究带来无限惊喜。自主探究策略多种多样，下面笔者就浅谈基于学生反思促进小学数学课堂深入探究的有效策略。

一、顺利时反思是否完善

课堂上，在学生自主探究之前，教师通常会先布置探究任务，尤其是面对小学生时，教师常常会在探究材料、步骤等方面进行提示与提供帮助。大部分学生顺着猜想或问题自由探究，都能顺利得出初步结论。这些初步结论一般都是成立的，但也会出现不成立或不够严密的情况。而学生常常会满足于当前的探究结果，沉浸在喜悦中不再深入思考。教师要坚持引导学生从多角度联想，反思结论的成立是否有特殊要求、有关数据是否有取值范围等。

小学数学教材中，对于“积的变化规律”“商的变化规律”“分数的基本性质”“比例的基本性质”等规律性知识，通常是让学生通过观察自己举出的众多例子去发现、探究规律，这并不难，但是学生概括规律得出结论时，通常会考虑不周全，关注不到结论中数据的取值范围。比如，总结用字母表示数、数量关系等的规律时，难以顾及未知数的取值范围。引导学生在得出结论后继续深入思考结论是否完善，可以培养学生思维的严密性、批判性，提高其数学素养。另外，在解决问题的探究中，也常常需要学生从不同角度去探究，并关注探究结论是否完善。

比如探究铺地砖问题，见人教版三年级下册教材第72 页例8（如图1）。学生主动探究，发现可以先求客厅面积，再求1 块地砖面积，最后用大面积除以小面积得到地砖块数。接着，在教师的引导下，他们得出第二种思路：“先用客厅的长和宽分别除以地砖边长，算出每排每列各需要几块地砖，然后按每排有几块、一共有几排算出总块数。”由于学生比较喜欢第一种思路，教材又没有突出第二种思路的特殊性与必要性，在后续的解决问题中，学生通常首选第一种思路，导致有些问题解答错误。如：“张叔叔家客厅长7.2 米、宽4 米，他准备用边长为60 厘米的正方形方砖铺地。需要准备多少块这样的方砖？”“用一张长30 厘米、宽8 厘米的长方形卡纸剪直角三角形，每个直角三角形的两条直角边长分别为10厘米和3厘米，最多能剪出多少个这样的三角形？”要解决这两个问题，第一种思路就不可取。因此，教师有必要在学生第一次学习时就帮助学生完善结论，理解第二种思路的特别之处。虽然两种思路都能解决教材的例8，但是第二种思路对解这类问题具有普适性，第一种思路只有在数据合适，即大图形的长、宽与小图形的边长正好存在倍数关系的时候才适用。教学时，教师可通过改编“做一做”，让学生尝试解决，从而发现用第一种思路有时难以解决实际问题，用第二种思路依然能解决问题，从而讨论完善之前得出的结论，减少或避免今后解决此类问题时出错。

图1

经常在得出结论后进行质疑、反思结论是否完善，能让学生逐渐养成习惯，不再满足于顺理成章的浅层探究，而是继续开展深层次探究，得出更为科学完善的结论。

二、逆境时反思偏离原因

在自主探究的过程中，因为诸多原因，会出现探究不顺利的情况。这时，教师是结束探究，采用直接讲授的形式继续教学，还是引导学生反思并继续探究？这也是很有讲究的事。如果遇到困难就结束探究，直接告知结论，无形中就会给学生传递一种当探究遇到困难时，最好的办法就是等待告知的观念。如果不给予指导，多数学生就会在迷茫中任时间流逝，这会大大降低课堂效率。因此，教师首先要引导学生反思，然后在弄清楚原因的基础上有针对性地思考对策，继续探究，直至成功。这样既可以将探究推向深入探究，又可以培养学生迎难而上、多思勤思、想办法克服困难的好习惯。

1.反思猜想，明确探究方向

当探究不顺利，发现无法继续证明猜想，或者找不到方法继续探究的时候，要反思自己原先的想法是否有误，方向错了会南辕北辙，无法得出正确结论。

比如根据乘法分配律，探究形如“a÷b+a÷c”“a÷b+c÷b”这两种除法算式有没有规律的时候，学生很容易形成“a÷b+a÷c=a÷（b+c）”“a÷b+c÷b=（a+c）÷b”这样的猜想，于是笔者让学生验证。学生举例后发现猜想一无法证明，猜想二可以举出很多例子证明是对的。这时，引导学生首先看看例子有没有错，没有的话就得再想想这个猜想是不是错了。学生要探究为什么猜想一错误、猜想二正确还是比较困难的。对此，笔者通过两个问题帮助学生去理解感悟。“王老师和李老师各花了60 元钱买笔记本，王老师买了5元一本的笔记本，李老师买了6元一本的笔记本。两位老师一共买了几本笔记本？”“王老师带了50 元钱，李老师带了60 元钱，都买了5 元一本的笔记本，钱都正好花完。两位老师一共买了几本笔记本？”学生尝试用不同方法解决这两个问题时，直观地发现第一个问题只有一种解法，第二个问题有两种解法。人教版四年级下册学习乘法分配律时，拓展到这种程度就行，以后学习分数乘除法时教师只需再稍微带一带，学生就能深刻地理解了。

2.反思证据，判断材料正误

探究时通常会有预先的想法或者猜想的结论，然后朝着自己认为的方向收集证据，有时候学生会在收集证据时因为粗心、考虑不周、举例不足等原因，导致无法顺利得出结论。反思探究为何出现偏差时，预想的结论还是跟原先的猜想一致，那么接下来就应该反思收集证据的过程及结果，反思材料来源是否合理、收集到的材料是否正确、材料与主题是否相关，以保证没有人为错误。

比如学习循环小数时，探究一个数除以3的商的规律时，学生没有困难，如1÷3=0.333…，2÷3=0.666…，4÷3=1.333…。但探究一个数除以7 的商有什么规律时，就有很多学生出现困难。问题就在于很多学生在计算一个数除以7 的算式的结果时，缺少耐心，计算不正确。根据这些不完全正确的结果，会以为一个数除以7 的商是没有规律的，探究失败。可见，关注收集到的数据的正确性，及时发现并更正错误材料极其重要，这样才能顺利推进探究。

3.反思方法，优化探究方案

有时候还会因为探究方法使用不当，导致难以得出正确结论。当探究不能顺利推进的时候，除了反思猜想、反思证据，还要反思探究方案是否合理。

比如学习平行四边形的面积时，学生自主探究，各自在方格图（每格边长为1 厘米）上画一个平行四边形，把转化过程和面积大小通过画图、语言描述和算式表示出来。大部分学生画的平行四边形都能通过切割拼补，转化为长方形，并顺利推导出面积公式。但有少数学生，听到教师说画一个自己喜欢的特别的平行四边形来研究，就故意画得很特别（如图2），结果怎么都转化不成学过的图形，影响了自己的推导。教师引导这些学生另画一个平行四边形进行探究，然后把他们原来画的平行四边形收集过来。在各小组学生得出平行四边形的面积公式，汇报探究结果后，展示给全班同学，并提问引发学生深入探究：“是不是所有的平行四边形都可以转化成长方形来计算面积呢？看，有的小组就发现了这样的平行四边形无法转化。”学生最后发现，按一般的转化方法，沿方格线上的高剪开无法转化，换个方向剪开，转化成的长方形又无法根据每格边长1 厘米知道长方形的长和宽的长度。如果把这个特别的平行四边形分割成5 个小的平行四边形（如图3），然后把每个小平行四边形转化成长方形，再把这5 个长方形拼成大的长方形，就能证明平行四边形的面积等于底乘高，可以通过格子边长来计算面积。

图2

图3

这样稍作优化，重新规划探究方案后，不仅让无法顺利探究的小组实现了真正的探究，也带领全班学生进行了深入探究，通过对特殊情况的共同研讨，让平行四边形面积公式的推导过程更有说服力，更深入学生心中。

三、定论时反思可否拓展

很多时候，小学课堂的探究活动采用的是不完全归纳法。通常是观察一些例子，发现规律，然后概括出结论。有时，这些结论只代表已经举出例子的一部分，范围上或者层次上其实可以拓展。因此，学生主动探究并得出结论后，仍需要教师及时引领，反思结论是否可以拓展，思考所得的结论除了适用于提到的方面，还可能在哪些方面适用，等等。这种意识对学生今后初中、高中的数学学习也是非常有帮助的，能培养学生思维的深刻性。

比如五年级下册“因数和倍数”练习二的思考题：“14、21 都是7 的倍数，14 与21 的和是7 的倍数吗？18、27 都是9 的倍数，18 与27 的和是9 的倍数吗？你有什么发现？”如果仅仅是找答案，这道思考题一点也不难，把它设计成探究题，会更有意义：“如果a是c的倍数，b是c的倍数，你有什么猜想？”学生的想象力十分丰富，很快就有人回答：“a和b的和是c的倍数，a和b的差也是c的倍数。”教师问：“为什么？你能证明吗？”全班学生就举出很多例子来证明这个猜想是对的。用语言概括结论为：“两个数都是同一个数的倍数时，这两个数的和或差也是这个数的倍数。”接着，教师设计了两道练习题，让学生运用这个结论解决。至此，练习二的思考题解决了，学生也很满足。教师再次引导：“对这个结论，你们还有什么思考吗？两个数是这样，三个数、四个数呢？和、差是这样，积和商又会怎样呢？”学生想不到的，教师就引导学生想。学生发现，无论有几个数，只要这几个数都是同一个数的倍数，它们的和或差都是这个数的倍数，积也是这个数的倍数，商却不一定。教师又问：“‘如果几个数的和、差是一个数的倍数，那么这几个数也一定是这个数的倍数’，这句话对吗？”另外，除了举例验证，教师还引导学生从乘法分配律的角度进行逻辑推理来验证这个结论。

这样设计，这道思考题的思维分量便明显增加。学生经历“猜想—验证—定论—应用—拓展”的过程，在小结时又回顾反思，长此以往，就会给学生加深“思考无极限”的印象，既能训练批判性思维，又能提高思维层次。

反思无时不在，无处不在，大到人生经历，小到一题一字。反思可以让数学课堂探究更加深入，提高学习效率，发展学生核心素养。