聚焦数学元素提高数学素养

王秋荣

［摘 要］数学有其独特的教学内容，这些内容可以提炼为数感、推理能力、应用意识、创新意识等数学元素。教师如果能够从这些元素出发，以培养学生数学核心素养为目的，精心设计课堂教育教学方法，那么就能打造精彩的数学课堂。

［关键词］负数；数学元素；精致课堂；数学素养

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2022）23-0087-03

数学课程标准提出，在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想等数学元素。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。特级教师张齐华老师教学“负数”时，抓住了其中的数感、推理能力、应用意识、创新意识等数学元素，打造了一堂精彩纷呈的数学课。

一、聚焦数感，关注学生感悟能力的培养

数感是学习数学的重要基础，数感强调的是感悟，培养学生数感是教师教学的重要目标。所谓数感就是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟，就是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度和意识，是对数的敏锐的、精确的、丰富的感知和领悟。小学数学教学活动不仅要让学生感悟“数是对数量的抽象”，还应当反过来，让学生感悟“抽象出来的数与数量是有联系的”。

抽象的核心是舍去现实背景，联系的核心是回归现实背景。比如，同样是100这个抽象的数，但100粒黄豆与100匹马给人的现实感受是不一样的；再比如，去菜市场买菜，带100元一般就足够了，但要购买房子，100元是远远不够的。因此，对于现实生活的许多情况，人们需要了解数与现实背景之间的联系，从而感悟并判断在日常生活和科学研究中数所提供的信息。此外，学生对观察或运算的结果也应当有一定的感悟，或者说直觉判断。比如，学生应当能够凭直觉判断18加9比30大还是比30小，1/2加3/8比1大还是比1小。有了上面所说的感悟，学生就能在现实生活中比较合理地把握数以及数的运算。

张老师在“负数”这节课中多次联系生活实际培养学生对“负数”的数感。例如，在学生理解了负数的本质特征之后，张老师给学生带来了5个“-2”，这5个“-2”就是舍去现实背景之后的抽象的数，但是一旦联系现实背景，这5个“-2”给人的感受又是截然不同的。学生在黑板上分别写出“某盆地的海拔高度为-2米”“某地最低气温为-2摄氏度”“汽车停在-2楼”“银行卡余额为-2元”“儿子的身高是-2厘米”后，通过各种图形，他们进一步理解了生活中的负数，数感得到了增强。

在引导学生观察负数的特点时，张老师就请学生说出自己观察发现的负数的特点。一个学生说“负数前面有一个减号”，形式上这是对的，本质上这是错的。如何引导学生准确地区分负号和减号非常重要，这将成为培养数感的一个契机。张老师没有直接指出这个学生的错误，而是请他继续发言。最后学生得出这样一个结论：在运算的时候是减号，在表示数的时候是负号。得出这个结论的过程看上去轻松，其实饱含了张老师尊重学生学习感受，尊重学生学习主体地位的观念和意识，体现了教师注重培养学生数感的理念。在课堂中，张老师还引导学生学习了正号，并且通过对数加不加正号的讨论，让学生明确整数和负数的本质在于与0的比较。这就是培养学生对观察或运算结果的感悟，从而进一步培养了学生的数感。

通过上面的讨论可以看到，培养学生的数感不仅是学习数学的需要，而且有助于培养学生认识和解释现实事物的能力。小学数学教学在很多的时候都可以抓住抽象的数与现实事物之间的关系，让学生在观察、感受、讨论中有所领悟，这是培养数感的有效途径。

二、聚焦推理，培养学生判断、推理的思维能力

推理是人们学习和生活中经常使用的思维方式，也是数学的基本思维方式。推理是由一个或几个已知的判断（前提）推出新判断（结论）的过程，有直接推理、间接推理等。数学课堂上，教师要抓住机会引导学生进行合情推理和演绎推理，帮助学生由已知发现未知，这样既能培养学生的推理能力，又能激发学生的学习兴趣。

伽利略认为，一切推理都必须从观察与实验中得来。这句名言道出了合情推理的重要意义。所谓合情推理，就是一种比较自然的、合乎情理的、似乎为真的推理，它是根据已有的数学事实和数学结论，或以个人数学经验（数学实验或实践）和数学直观进行推测而得到某些结果的一种推理，常表现为凭直观和联想、直观或直觉等非逻辑思维形式，通过观察、实验、归纳、类比、由特殊到一般等方法直接获得某种数学结论。

张老师的“负数”一课中，合情推理能力的培养贯穿了课堂的始终。他首先展示“-1层”“-3摄氏度”“-250米”“-1025元”等短语，让学生具体说说其中负数表示的实际含义，调动学生的生活经验。这一阶段，既是对学生数感的进一步培养，又为后续引导学生对负数进行合情推理做了必要的铺垫。然后王老师让学生在黑板上写出5个不同的负数，让学生通过观察、归纳、推理，得出负数带有负号的外在特点和负数都比0小的本质特征。张老师通过创设情境、引导观察、对比分析、由个别到一般的推理过程，培养了学生合情推理的能力。通过自己观察，由个别到一般的合情推理，是学习数学的基本方法。学生掌握了这种推理方法之后，就容易透过现象发现本质了。

演绎推理是由一般到特殊的推理方法，与合情推理相对。表面上看，张老师的这堂课都是合情推理，其实仔细品味，还是能够发现课堂中有演绎推理的巧妙运用。例如，正数和负数的分界线0其实只是一个参照物。參照物就是演绎推理的大前提、一般的原理。一般来说，参照物并不是固定不变的，不同的参照物，会导致出现不同的负数类型。当参照物是平均数的时候，那么大于这个平均数的就是正数，小于这个平均数的就是负数。理解了这一点，再联系到本课的特殊事例——儿子的身高是-2厘米，就容易理解“-2”在此处的含义了。

总之，教学新知识的时候，教师不宜把已有的知识或者答案直接告诉学生，而应该带领学生进行合情推理或演绎推理，帮助学生培养各种推理能力，从而发展学生的思维能力。

三、聚焦应用，培养学生数学和生活相结合的重要意识

数学来源于生活，同时又要应用于生活，让数学为生活服务。这也是小学数学教学的目标。陶行知认为“行是知之始，知是行之成”，他还提出了“生活即教育”“社会即学校”“教学做合一”等口号。阿基米德把数学研究和力学、机械学紧紧地联系在一起，用数学研究力学和其他实际问题，保护叙拉古战役中的机械巨手和投石机等就是最生动的一个例子，有力地证明了“知识就是力量”的真理。古今中外的先贤们都明白数学知识要与生活结合起来的道理，只有在生活中应用数学知识，让数学知识服务于生活，数学知识才能转变成力量。

张老师在“负数”这节课中，始终把知识与生活结合起来，从生活中来又回到生活中去，充分体现了数学的本质特征和作用，有效培养了学生应用数学的能力。当学生明确负数的两大特点之后，他给学生展示了5个“-2”的生活实例：-2米、-2摄氏度、-2楼、-2元、-2厘米。这些例子有自然科学方面的，有人类生活方面的，还有人体生理方面的，涉及的范围广、代表性强，能充分体现负数在社会生活中的广泛应用，使学生在学习负数的同时，提高学习数学的兴趣，培养应用数学的意识。

为了充分发挥学生应用数学的主观能动性，张老师从多角度、多层次精心设计情境，广泛拓展学生的知识面。如课堂上有关于海拔的拓展认识，有对世界上最高海拔的拓展，有正确认读温度计的指导，有对地面高度为0的认识，还有對银行卡中的“-2元”产生的疑问，更有对“身高为-2厘米”的研究和探索。通过这一系列内容丰富多彩、方式多种多样的拓展，学生认识到数学知识的应用。这样不但自然而然地引出了课堂结论，而且让学生在学数学、用数学的过程中，进入了社会生活，从而体会到数学课堂的魅力和乐趣。

张老师培养学生应用数学的例子给了笔者深刻启发：教师教学时要运用发散思维，联系生活实际，把数学与丰富的社会生活结合起来，带领学生进入到生活的广阔天地中学习，让学生用所学知识解释生活现象，解决生活问题，这样，何愁数学教不出乐趣，何愁学生学不会数学呢？

四、聚焦怀疑，大力培养学生的创新意识

创新意识的培养是现代数学教育的基本任务。牛顿和齐白石是两位著名人物。牛顿是伟大的科学家，他曾有许多伟大的发现，如力学三大定律、万有引力定律、牛顿环、光微粒说、冷却定律以及微积分等，然而到了晚年，他故步自封，因循守旧，不再创新。齐白石在成功后则马不停蹄，不断改变自己的画风，使得作品更加成熟，形成独特的风格和流派。由此看来，即使是伟大的学者，也不能故步自封，创新是他们保持进步、强大的重要法宝。

正因为创新如此重要，所以在小学数学教学中增强学生的创新意识，培养他们的创新能力非常迫切。教师要从创新意识的基础、核心和方法三个维度来培养学生的创新意识。

创新意识的基础，就是学生在学习的过程中产生怀疑，通过怀疑自主发现问题，即学生要有问题意识。北宋理学家程颐说：“学者先要会疑。”同样也是北宋理学家的张载说：“在可疑而不疑者，不曾学，学则须疑。”两人的话基本意思是相同的，就是怀疑是学习、治学的基本条件，不怀疑就不能够有所创新，在治学上就不能够取得成就。因此，教师要在课堂上创设机遇，激发学生的怀疑意识，让学生在不断的“怀疑—解决”过程中有所收获。

张老师在这堂课中多次发出疑问，如“今天我们学习一种新的数类，叫作负数。有谁见过负数？在哪里？”“谁能来说说负数有什么特点？”“除了这个特点，还有吗？”……这些问题有的从现实生活中出发，有的从黑板上学生的板书出发，但都围绕“负数”的基本特征提出问题，引导学生通过自主观察、深入思考来发现问题。一连串设计巧妙的问题激起了学生头脑中的疑问，从而有效培养了学生的创新意识。

创新意识的核心是独立思考和学会思考。发现问题以后要善于进行独立思考和对他人话语的辨析思考。独立思考是在前面怀疑的基础上进一步的深化。有的人通过怀疑发现了问题，但是他们不愿意通过自己的努力去解决疑问，而是把对问题的解决寄托在他人身上，这样就丧失了自主解决问题的契机，创新也就无从谈起了。因此，当发现疑问之后，教师一定要引导学生通过自主探究或者同伴之间合作探究去解决问题。这个方面张老师做得非常好。例如，在某同学说负数的特点是这个数的前面有一个减号时，张老师没有急于否定，而是请这位同学继续深入思考这一问题。通过进一步的观察和思考，该同学消除了自己认识上的误区，独立自主地给出了正确答案。一个小小设计，体现了教师培养学生创新思维的意识，难能可贵！

要培养学生的创新意识，只是局限于纷繁复杂的表面现象是不行的，必须对各种现象进行本质属性的提炼，再进行综合与归纳，才能透过现象，把握本质上的一般规律，从而有所创新。例如，张老师善于引导学生从生活现象中归纳出负数的特点，归纳出参照物0的两种方法，这对学生的思维培养来说，都体现了一定的创新性。当然，在归纳和概括之后，教师要引导学生对归纳和概括的内容加以必要的验证，证明它们的科学性，这样的创新才是真正的创新。

总之，在数学课堂上，教师要始终聚焦数学元素，通过自己的精心设计和引导，充分尊重学生学习的主体地位，发挥他们学习的积极性和能动性，大力开展探究性学习，带领他们进入数学学习的王国，从而有效发展学生数学核心素养，为他们数学的终身学习奠定坚实的基础。