混合式学习模式下微积分课程的个性化教学——以不定积分的计算为例

王晓丽 赵梅妹 王寅生

（西安翻译学院，陕西 西安 710105）

0 引言

微积分课程是一门重要的基础课程，具有高度的抽象性，严密的逻辑性和广泛的应用性，从而影响大学生学习该课程的积极性，同时给教师在教学过程中带来了挑战。对西安翻译学院微积分课程教学效果调查问卷进行分析，大部分学生首选线上线下混合式学习的方式进行学习，利用碎片化时间更便于学习并取得较好的学习效果。以“学生为中心”的混合式教学已成为教育教学的新型模式，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用。

当今混合式学习赋予了学习新的内涵，学习由共性的标准化知识的习得转变为个性化知识的自主构建和创造性知识的生成。混合式学习并不是简单的技术的混合，而是为学生创造一种真正高度参与的个性化的学习体验，是以学生为中心的学习环境下教学与辅导方式的混合。冯晓英教授在《“互联网+”时代的混合式学习：学习理论与教法学基础》中提出了混合式学习的概念框架和分析框架，对20年来国内外混合式教学相关实践进行梳理和分析，探讨了混合式学习的理论基础和教学法基础。郑云翔教授在新建构主义视角下探究了大学生个性化学习的教学模式，在实践中验证了该教学模式的有效性。孔晶在《技术支持的个性化学习：促进学生发展的新趋势》中提出了通过实施个性化的学习目标、学习内容、学习途径、学习方法、学习策略，以使学生获得个性化的学习体验，促进学生的个性化发展。

本文根据混合式学习和微积分课程的特点，在教学中要准确把握与尊重学生学习的个性心理，认真探讨和贯彻“以应用为目的，以必须够用为度”的教学原则，为不同层次的学生制定学习目标，合理设计线上线下的教学内容，及时进行个性化教学评价，进行混合式学习模式下微积分课程的个性化教学。

1 基于混合式学习的个性化教学设计

1.1 教学目标和学习目标

教师根据微积分课程中每章的主题来设计每次课的教学内容，教学内容与学生需要掌握的知识点和技能相关，从学生前期的学习结果和学习需求出发，制定微积分课程每章节中清晰的、有意义的阶梯式教学目标和学习目标，将教师的教学方法与学生的准备状态相匹配，进而将学生的反馈用于改进教学设计，鼓励并督促学生改善不足之处，帮助学生在最近发展区中向上发展。

微积分课程中的基本概念、基本知识和基本技能，作为教学的重点内容，要求学生牢固掌握并熟练运用。坚持理论密切联系实际，对于课本中涉及的高深数学理论推导，一般不予深究。讲授时，尽可能借助图形、模型与生活中的一些典型实例，形象地、深入浅出地阐明其基本思想，旨在拓宽学生的思路，并积极引导学生将主要精力放在掌握有关的计算公式、定理的使用条件和计算方法的具体应用上。课堂讲授实行启发式，力求做到少而精，突出重点，精讲多练，并注重将培养和提高学生的分析问题和解决问题的能力放在首要位置。

1.2 个性化学习内容

通过对微积分课程的学习目标和重难点进行分解，确定课前、课中和课后的个性化学习内容。有效整合微积分的线上教学资源，分层级创建适合学校学生学习微积分课程的教学资源，包括课件、视频、音频、练习题和测试题等，使学生根据需要选择模块进行学习。

将学生课前课后的自主学习和课中的反馈讲授相结合，根据学生学习结果调整线上线下学习内容。课前布置任务，学生通过网络平台进行自主学习，自主控制学习的时间、地点、路径和进度，使学习由被动变为主动，提升学生的学习动力，实现个性化学习的目的。在学生对所学知识有基本了解之后，课中教师设计阶梯式教学内容，引导不同层级的学生把在线所学到的基础知识进行巩固与灵活运用。课后根据学生学习效果调整教学方式、学习内容和课后作业，达到学习效果最大化。

1.3 个性化教学评价

建立微积分课程的个性化评价标准，并对师生进行全方位的层级式评价，不同水平的评价方式也不同。除了对不同层级学生达到的学习目标进行评分，还要对课程作业、在线讨论、教学汇报、期末考试等方面进行评价。针对教师上传教学平台的教学资源、教师教学设计、组织、实施等进行分级评价。

在采用个性化教学时，首先要开发个性化评价标准，进而设计帮助学生达到学习目的教学过程。在实施个性化评价标准时，要密切注意挑战性的问题，才能更好地发展核心学习内容，激发学生的学习积极性，让学生更好地了解并加强对课程知识的学习和能力的提升。

2 个性化教学案例

2.1 学习目标

不定积分是微积分课程的重点内容之一，利用已知一个函数的导数（或微分），求该函数的问题。不定积分的概念较为简单，但不定积分计算的方法较为灵活，既是重点又是难点，对于初学者来说不易掌握。

根据学校学生的数学理解能力和计算能力参差不齐，制定阶梯式的学习目标，将学生分为：“一、二、三”三个级别。对于一级学生：熟记不定积分的前16个基本积分公式，会利用不定积分的性质和基本公式直接计算不定积分，会利用第一类换元法计算简单复合函数的不定积分。对于二级学生：熟练掌握不定积分的直接积分法、第一类换元积分法，第二类换元积分中的简单根式替换法以及分部积分法。对于三级学生：熟记不定积分的16个基本积分公式和9个补充公式，在二级学生掌握内容的基础上，掌握第二类换元积分中的三角代换法，灵活运用各类积分法求解不同类型函数的原函数。不同级别的学生在完成相应级别的学习目标后，根据自身实际情况学习高级别中不定积分的计算方法，会计算难度适宜的题目。

2.2 教学内容

课前在学习通平台上推送关于不同类型函数对应的简单积分题目的教学视频、导数公式、基本积分公式的资料，讨论自己的学习心得及对不定积分求解方法的基本理解，发布适合不同级别学生完成的课前测试题，了解学生自主学习的效果。

第一类换元积分法是不定积分计算中的重点和难点，很多学生不理解函数微分在不定积分中的表示形式，不能准确找出凑微分的函数类型，无法深入理解凑微分法的本质。在课中引导学生总结用凑微分求不定积分的步骤：找u=φ（x），凑φ'（x）dx=du，换元∫f（u）du，积分得F（u）+C，回代得F（φ（x））+C。在学生对本级题目掌握之后，鼓励学生挑战高一级别的题目，促使学生学习最大化。

课后布置对应的书面作业，巩固和强化对不定积分求解方法的应用。通过线上主题讨论分享进一步了解学生对所学知识的掌握情况，将计算不定积分的几类方法结合求特殊类型函数不定积分的情形进行适当拓展。

2.3 教学评价

教学评价对教师和学生具有监督和强化作用。通过评价使师生知道自己的教和学的情况，教师和学生可以根据反馈信息修订计划，调整教学的行为，从而有效的工作以达到所规定的目标。

在个性化教学课堂中要提供高质量的课程并让学习者最大限度地获得学习最大化，是学生“为学习而评估”，因而评估要达到两个重要目的：注意分析学生的进步并确定学习的状态；作为学习过程的重要组成部分，促进和加强今后的学习。为学习而评估并不仅在单元或学期结束时进行，而是在整个学习过程中进行，需要对有效教学计划、学生学习过程、课堂教学实践、是否激发学生学习动机，教师是否了解学生并帮助其改进等原则上进行评估。

针对三个级别的学生分别设计不同的线上问卷进行评价，对于该课程线上线下的教学方式、教学效果及教学满意度进行评价。教学满意度包括教师和学生的满意度，教师的教学目标是否达成，学生对函数不定积分求解的方法是否掌握，不同层级学生的学习目标是否达成，学习难易程度是否适中，在学习的过程中是否获得成就感，学习主动性是否增强等方面进行评价。问卷结果显示：学生的学习积极性和兴趣均有所提高；不同层级学生的学习内容难易适中；每位学生能在原有基础上最大限度地学习；师生均获得较高满意度。

3 结语

微积分课程中积分学包括不定积分和定积分，它们都可用换元积分法和分部积分法求解，随着函数类型的变化，求解积分一直都是学生学习的难点，为了使更多的学生有所收获，进行个性化教学尤为重要。本文在“掌握概念，强化应用，培养技能”的教学目标下，教学中精准把握各层级学生的基础和能力，精心设计线上线下微积分课程的教案、课件、课后作业，利用学习通教学平台，将线上线下教学内容有机融合，对微积分课程的进行个性化教学，教师和学生都获得了更高的满意度，进一步提高教学效果。