随机激励下油气悬架系统的非线性振动分析

王靖岳，付彦植，王浩天，王军年

(1.沈阳理工大学 汽车与交通学院， 沈阳 110159；2.吉林大学汽车仿真与控制国家重点实验室， 长春 130025;3.沈阳航空航天大学 自动化学院， 沈阳 110136)

0 引言

油气悬架是以油液作为传力介质，以气体作为弹性介质的一种悬架,具有良好的非线性刚度特性和非线性阻尼特性。近年来油气悬架的研究受到了越来越多人的关注。对于油气悬架的研究主要集中在非线性动力学方面，油气悬架的混沌运动分析也就成为了其中的重要一环。Cui等[1]提出了一种将非线性减震器模型集成到车辆模型中进行系统识别的方法。Andrievskii等[2]讨论了几种新型非线性控制方法在机械系统控制中的应用。Cao等[3]建立了连通式油气悬架的油气弹簧模型，研究了在不同连通方式下的抗俯仰与侧倾的性能。Solomon等[4]建立了一种新型的物理模型并应用于工程车辆进行分析。徐道临等[5]针对单气室油气悬架特点提出了参数化和非参数化2种方法，并且对参数化建模进行了深度研究。牛冶东等[6]构建了随机激励下车身垂向加速度均方根值为目标函数的优化模型，分析了悬架刚度和阻尼特性对于车身的影响。Zheng等[7]研究了具有迟滞非等线性特性的单自度悬架模型在随机激励下的混沌运动。杨用增等[8]建立了轮式拖拉机的完整三维多体动力学模型，对4种不同工况下的动态效果进行了比较研究。并且研究了油气弹簧内部参数对拖拉机系统振动特性的影响。李辰等[9]基于BWR真实气体状态方程建立悬架内部热量变化数学模型，搭建仿真模型和试验台进行验证，很好地反应真实车辆在正常运行时其内部热力学状态以及对外动力学变化。王靖岳等[10]将油气弹簧的弹性力进行了线性化等效，得到了2自由度悬架系统的振动位移响应以及概率分布，提出了限位装置设计依据和计算方法。李硕[11]在考虑了活塞与内腔壁的动、静摩擦力，及油液压缩性等因素情况下研究了输出力与阻尼力的变化规律，并研究了输出力和阻尼力的影响因素。

本文在以上研究的基础上，建立了1/4车体2自由度油气悬架的数学模型，在路面随机激励下，分析了车身的速度在外界激励以及内部参数变化下的分岔以及混沌现象。

1 系统的模型和运动微分方程

图1所示为2自由度油气悬架模型。

图1 2自由度油气悬架模型示意图

根据牛顿第二定律可以建立此模型的动力学方程：

(1)

式中：m1为车身部分的质量；m2为车轮的质量；q为轮胎的刚度系数；z1为车身部分在行驶过程中的位移；z2为车轮在行驶过程的位移；z0为随机路面激励，模型不考虑轮胎阻尼对系统的影响；FC为非线性阻尼力；F为油气弹簧非线性弹性力，具体关系式如下[11]。

(2)

(3)

式中：P0为气室的初始压力，在这里2个气室的初始体积相同；V0为初始体积；Z为活塞杆的相对位移，在这里也可以表示为z1-z2；γ为气体多变指数；Cd为阻尼孔和单向阀的流量系数；ρ为液压油密度；AZ为阻尼孔等效截面面积；A1和A2分别为油气弹簧2个腔的有效截面面积；AD为单向阀的等效面积；ΔA=A1-A2为2个腔的有效面积；sign(x)所代表的是符号函数。由于F非线性项在分子上导致后续计算困难，因此要对F泰勒展开。可以得到弹性力为:

f(δ)=k1(z1-z2)+k2(z1-z2)2+k3(z1-z2)3

(4)

在油气悬架下方施加一个随机路面激励作为输入，随机激励通过正弦激励叠加高斯白噪声来模拟，即：

z0(t)=(B+eξ(t))sinωt

(5)

式中：B为随机激励的激励幅值；e为白噪声强度；ξ(t)为标准正态白噪声，这里用Monto Carlo方法来模拟随机数，ξ(t)相当于一个满足正态分布的随机变量，在某一时刻t(0)，ξ(t)的取值均为一个随机数，用此方法即可得到随机激励。

将式(3)(4)和式(5)代入(1)中可得：

(6)

(7)

2 分岔与混沌分析

2.1 激励幅值对系统分岔和混沌影响

选取某车型参数为[11]:m1=1 300 kg,m2=190 kg,ρ=900 kg/m3,q=1 463 000 N/m,P0=3 500 000 Pa,V0=0.002 5 m3,Cd=0.7,A1=0.009 503 m2,A2=0.003 142 m2, ΔA=A1-A2=0.006 361 m2,Az=AD=0.000 196 4 m2,g=9.8 m/s2,e=0.01,ω=12.56 rad/s。用4-5阶Runge-Kutta法对式(6)进行积分，积分1 000个周期，舍去前800周期保留后200个周期，得到油气悬架车身部分的速度在随机激励路面下的分岔图，如图2所示。李雅普诺夫指数图如图3所示，并通过庞加莱截面、相图、时间历程图、功率谱图对于系统所处状态进行证明。

图2 油气悬架车身部分的速度在随机激励路面下的分岔图

图3 油气悬架车身部分的速度在随机激励路面下的李雅普诺夫指数图

当B∈(0,0.14)时系统并没有发生分岔情况，取B=0.14 m时，如图4所示，Poincaré映射图显示为一条封闭的曲线，系统相图显示为规律封闭的曲线，时间历程图显示规则为有序的谱线，功率谱图为离散的单独的谱线，系统做拟周期运动。当B∈(0.141,0.151)时系统做周期2运动。当B∈(0.152,0.192)时系统进入混沌状态。取B=0.155 m时，如图5所示，Poincaré映射图显示为无规则密集的点，系统相图显示为杂乱无章的曲线，时间历程图显示为无规则谱线，功率谱图显示为连续的谱线。当B∈(0.193,0.268)时，系统做周期1与周期2相互交互的运动。当B∈(0.269,0.286)时，系统做周期运动并伴随着短暂的混沌运动。当B∈(0.287,0.32)时，系统做稳定的周期2运动。当B=0.14 m时，系统做周期7运动，取B=0.14 m，如图6所示，Poincaré映射图显示为7个离散的点，系统相图显示为规则有序的曲线，时间历程图显示为规则有序的谱线，功率谱图显示为离散的单独的谱线。当B=(0.326,0.348)系统做周期2运动并伴随着短暂的混沌运动。当B=0.14 m时系统做周期1运动。当B=0.14 m时系统做周期3运动。当B=0.14 m时系统又做周期1运动。上述结果说明：当汽车行驶在比较平坦的路面即激励幅值比较小的路面时不会发生混沌，在特定的激励幅值之间才会发生混沌运动。

图4 当B=0.14 m时系统各参数曲线和图谱

图5 当B=0.155 m时系统各参数曲线和图谱

图6 当B=0.322 m时系统各参数曲线和图谱

2.2 激励圆频率对系统分岔和混沌的影响

其他参数不变，随机激励的激励幅值取0.15 m,以激励圆频率ω为分岔参数，可得系统在ω∈(0,20)分岔图，如图7所示。当ω∈(12.6,20)时，系统做周期1运动。当ω∈(9.7,12.5)时，系统做周期2运动。当ω=8.8 rad/s时，系统做周期3运动，如图8所示，Poincaré映射图显示为3个点，系统相图显示为规律封闭的曲线，时间历程图显示为规则有序的谱线，功率谱图显示为离散的单独谱线。当ω∈(0,9.6)时，系统又做周期1运动。并且在(2,3.4)和(7.6,8.2)之间系统又发生跳跃现象。

图7 系统随ω变化的分岔图

图8 当ω=8.8 rad/s时系统各参数曲线和图谱

2.3 阻尼孔等效面积对系统分岔和混沌的影响

其他参数不变，随机激励的激励幅值取0.15 m，激励频率为ω=12.56 rad/s,以阻尼孔等效面积Az为分岔参数，可以得到Az∈(0.000 1,0.001)的分岔图，如图9所示,李雅普诺夫指数图如图10所示。

图9 系统随Az变化的分岔图

图10 系统随Az变化的李雅普诺夫指数图

当Az∈(0.000 1,0.000 119)时，系统做周期1运动。当Az∈(0.000 12,0.000 483)时，系统做周期2运动。当Az∈(0.000 484,0.001)时，系统做周期8运动，并伴随着短暂的混沌运动。当Az=0.000 888 m2时，如图11所示，Poincaré映射图显示为无规则密集的点，系统相图显示为杂乱无章的曲线，时间历程图显示为无规则谱线，功率谱图显示为连续的谱线，系统处于混沌状态。由此可以看出，随着阻尼孔等效面积的增大，系统的稳定性将逐渐降低，甚至发生混沌运动，因此，在设计油气弹簧阻尼孔等效面积时，应尽量将阻尼孔面积选取得小一些。

图11 当Az=0.000 888 m2时系统各参数曲线和图谱

2.4 气室的初始压力对系统分岔和混沌的影响

其他参数不变，以气室的初始压力P0为分岔参数，可以得到P0∈(240 400 0,306 600 0)时的分岔图如图12，李雅普诺夫指数图如图13。

图12 系统随P0变化的分岔图

图13 系统随P0变化李雅普诺夫指数图

当P0∈(240 400 0,306 600 0)时，系统做周期1和周期2的混合运动。当P0∈(2 404 000,3 066 000)时，系统做周期5运动。当P0∈(2 404 000,3 066 000)时，系统做周期2运动，并伴随着短暂的多周期运动。当P0∈(3 067 000,3 562 000)时，系统做混沌运动，取P0=3 140 000 Pa时，如图14所示，Poincaré映射图显示为无规则密集的点，系统相图显示为杂乱无章的曲线，时间历程图显示为无规则谱线，功率谱图显示为连续的谱线，系统处于混沌状态。当P0=3 140 000 Pa时做周期2运动，当P0=3 140 000 Pa时系统退化为周期1运动。

图14 当P0=3 140 000 Pa时系统各参数曲线和图谱

2.5 气室的初始体积对系统分岔和混沌的影响

其他参数不变，以气室的初始体积V0为分岔参数，可以得到V0∈(0.001 5,0.003)时的分岔图如图15所示，李雅普诺夫指示图如图16所示。当V0∈(0.001 5,0.001 76)时系统做周期1运动并伴随短暂的多周期运动，当V0∈(0.001 77,0.002 049)时系统做周期2运动并伴随短暂的多周期运动。当V0∈(0.002 050,0.002 144)时系统做周期8运动。

图15 系统随V0变化的分岔图

图16 系统随V0变化的李雅普诺夫指数图

当V0∈(0.002 179,0.002 543)时，系统处于混沌状态，取V0=0.002 225 m3时，如图17所示，Poincaré映射图显示为无规则密集的点，系统相图显示为杂乱无章的曲线，时间历程图显示为无规则谱线，功率谱图显示为连续的谱线，系统处于混沌状态。当V0∈(0.002 544,0.002 586)时，系统做周期2运动。当V0∈(0.002 587,0.003 000)时，系统退化为周期1运动。

图17 当V0=0.002 225 m3时系统各参数曲线和图谱

3 结论

基于本文所建立的2自由度油气悬架系统在随机激励作用下存在着混沌和分岔现象，系统在外界激励幅值的影响下会发生拟周期运动、周期运动和混沌运动的情况，在特定的激励幅值区间内会发生混沌运动；系统在激励频率的影响下不会发生混沌运动，但是在特定频率下发生跳跃现象；随着阻尼孔等效面积的增大，系统的稳定性将逐渐降低，甚至会发生混沌运动；系统在气室初始压力的影响下会发生周期运动和混沌运动的情况，在特定的压力区间处于混沌状态；系统在气室的初始体积的影响下会产生周期运动和混沌运动，在特定的体积区间处于混沌状态。通过合理地选取汽车结构参数会有效地提高汽车的行驶平顺性。本文主要研究了2自由度悬架的非线性动力学特性，接下来将对4自由度悬架的非线性动力学特性进行研究。