顶板破断的角效应对周期来压特性影响研究

吴呈哲 刘长武， 袁 勋 王 丁

（1.四川大学水利水电学院；2.四川大学灾后管理与重建学院；3.西南科技大学土木工程与建筑学院）

由于采矿工程涉及到岩层内的原岩应力场以及复杂的岩体性质等问题，导致早期对于矿山压力的研究往往需要先忽略一些非关键因素再进行讨论。例如最早对于采场矿山压力的研究分别根据顶板岩石的成拱作用和顶板的周期断裂现象，提出了压力拱假说和悬臂梁假说。随后学者们在悬臂梁假说的基础上分别考虑了上部岩层、断裂岩块之间的铰接作用以及岩体裂隙等因素，提出了铰接岩块假说、预成裂隙假说、砌体梁模型［1］、传递岩梁理论［2］以及岩层控制关键层理论［3］。然而在工作面长度较短的情况下，相较于将顶板视为梁，将顶板简化为弹性板更符合实际情况，因此，陈炎光［4］、钱鸣高［5］等将顶板视为弹性薄板，并通过模型试验结合理论推导的方式对顶板的破坏形式、来压步距等问题进行研究，认为顶板在初次来压时呈“O-X”型破坏，而在周期来压时则呈半“X”型破坏。此外，蒋金泉［6］、付国彬［7］、戴兴国［8］等亦将顶板视为薄板，从板的屈服线角度对顶板的断裂形式、来压步距等问题进行研究。陈忠辉等［9］则在弹性薄板的基础上考虑了节理裂隙的影响，将顶板视为被许多节理或断层切割成有限个薄板块，薄板之间相互挤压形成铰接连接这一力学模型，进而分析了顶板的垮落以及来压特性。

根据大量的生产实践结合模型试验可以发现，由于顶板破断的角效应，顶板在破坏时往往会在支承边界附近产生弧形破断，进而在顶板两端留下两个类似于三角形的弧形小角（图1）［10］。然而，许多学者在运用薄板理论进行顶板的来压预报时，通常忽视了这2个弧形三角块的影响，将顶板视为不同支承条件下的矩形薄板。这种简化方法虽然通过改变顶板的实际结构减少了计算量，但目前仍缺乏对其合理性的讨论。因此，本研究将顶板弧形破坏所留下的两个弧形三角块考虑到顶板的来压计算中来，进一步探讨顶板破断角效应对于顶板周期来压特性的影响。

1 计算模型

为了讨论顶板破断角效应对于顶板周期来压特性的影响，需分别计算考虑弧形三角块的顶板和不考虑弧形三角块的顶板的最大应力并进行比较，进而论证哪种计算方法更合理。弧形三角块的尺寸主要由文献［4］中模型试验所得到的顶板破坏简化模型来确定，具体的顶板周期来压模型尺寸如图2所示。

因为弧形边界的存在导致较难推导薄板弯曲的解析解，因而本次讨论采用差分法［11］来进行近似求解，并以Saint Venant原理为基础将弧形边界简化为阶梯形边界，2个模型的尺寸和差分网格的划分情况如图3和图4所示。

图3和图4中，a为工作面长度，0.17a和a/5为弧形三角块的尺寸，b a代表周期来压步距。其中，b为周期来压步距与工作面长度的比值，在分析周期来压步距与顶板最大应力的关系时，若采用b来代表周期来压步距能使分析结果适用于不同工作面长度的情况。在划分差分网格时综合考虑了计算量和计算精度的问题，将工作面十等分，将周期来压步距三等分，将弧形三角板两等分，编号A～R为差分网格各结点编号。由于首采工作面（三边固支、一边自由）和孤岛工作面（一长边固支、一长边自由、两短边简支）的边界条件均对称，因此可取一半的模型进行计算。

2 理论推导

2.1 建立差分方程

根据图2和图3可知，所划分的差分网格存在3种不同尺寸的步长，分别为h1=a/10、h2=ba/3和h3=0.17a/2，这3种不同尺寸的步长可构成4种不同的结点情况，如图5所示。

图5中，结点0代表符合该情况的所求结点，结点1～12为推导该结点的差分公式所需的周边结点。其中，图3中结点A～E、F～H和K～M、R均属于情况1，I～J属于情况2，N～O属于情况3，P～Q属于情况4。图4中结点A～O均属于情况1。通过推导相应的差分公式再结合弹性曲面微分方程可获得各情况所对应的差分方程如下。

（1）结点情况一：

（2）结点情况二：

（3）结点情况三：

（4）结点情况四：

式中，h1=a/10，m；h2=b a/3，m；h3=0.17a/2，m；f为各结点的挠度，m；q为顶板上覆荷载，Pa；D为薄板的弯曲刚度，N·m。

2.2 虚结点的求解

根据所推导的差分方程可知，若所推求的差分方程要成立，则要求f0～f12均存在，但对于薄板边界附近的结点而言，其周围的结点数目明显不够，故需要合理运用边界条件来导出满足边界条件的虚结点，以此来满足求解所要求的结点数目。

对于矩形弹性薄板模型，其边界条件主要有自由边、固支边和简支边。如图6所示，假设AB边为边界，结点2、6、7、10为虚结点，则有如下结论［11-12］：

（1）若A B边为简支边，则有f2=-f4。

（2）若A B边为固支边，则有f2=f4。

（3）若A B边为自由边，则有

式中，μ为岩石泊松比。

对于考虑了弧形三角块的弹性薄板模型，其阶梯形边界附近所需求解的虚结点如图7所示。

各虚结点的求解思路及结果如下。

（1）阶梯形边界结点1。由(M xy)0=0、(M x)2=0、(M y)2=0可得：

（2）阶梯形边界结点2。由(M xy)0=0、(M x)0=0、(M y)0=0、(F sx)0=0、(F sy)0=0可得：

（3）阶梯形边界结点3。同上可得

（4）阶梯形边界结点4。同上可得：

3 方程组求解与结果分析

在求得边界条件附近的虚结点后就具备了每个差分方程计算时所需的f0～f12。将各结点分别代入差分方程式（1）～式（4），可分别得出含18个方程的方程组（考虑了弧形三角块的弹性薄板模型）和含15个方程的方程组（矩形弹性薄板模型）。通过求解以上两组方程组即可得到薄板上各结点的挠度，进而求出各点的应力值［11］。本次讨论采用Maple软件来求解方程组，分析的情况主要有首采工作面和孤岛工作面。为减小求解难度，此处将顶板岩石的泊松比μ设为0.25。

3.1 顶板破断角效应对于顶板最大应力的影响

顶板最大应力的大小及所在位置主要受顶板周期来压步距b a的影响。考虑到通常情况下顶板的周期来压步距与工作面长度的比值（即b值）都相对较小，因此只考虑顶板的最大应力在长边中点处这一情况。在此，用考虑了板破断角效应的顶板最大应力σ1与矩形顶板最大应力σ2的差值和矩形顶板的最大应力σ2的比值来分析弧形三角块的存在对于顶板来压特性的影响，结果如图8所示。

可以看到，对于首采工作面，当b小于0.147时，相减的结果大于0，也就是说在这种情况下考虑板破断角效应会使顶板的最大应力增大，且最高可达到矩形顶板最大应力的1.27倍左右。在此情况下若按矩形薄板模型计算，其结果偏危险。当b大于0.147时，相减结果明显小于0，这表明在此情况下弧形三角块的存在会使顶板的最大应力偏小，若按矩形薄板模型计算，其结果偏安全。

而对于孤岛工作面，当b值小于0.166时，2种模型相减的结果小于0，即在此情况下考虑板破断角效应会使顶板的最大应力偏小，若按矩形薄板模型计算，其结果偏安全。当b值大于0.166时，2种模型相减的结果大于0，即在这种情况下考虑板破断角效应会使顶板的最大应力增大，且最高可达到矩形顶板最大应力的1.25倍左右。在此情况下若按矩形薄板模型计算，其结果偏危险。

3.2 板破断角效应对于顶板周期来压步距的影响

根据以上分析可知，在首采工作面的b小于0.147和孤岛工作面的b大于0.166情况下，按矩形薄板模型计算的结果均偏危险。为进一步分析在这种偏危险的情况下用矩形薄板模型来估算顶板的周期来压步距是否合理，在此将不利情况下考虑了顶板破断角效应和未考虑顶板破断角效应的顶板周期来压步距与相关参数之间的关系曲线进行比较，具体见图9、图10（σm为顶板岩层的极限抗拉强度，Pa；δ为顶板厚度，m；a为工作面长度，m）。

不管是在首采工作面还是在孤岛工作面，在相同条件下，2种模型计算所得到的周期来压步距之间的差值呈先增长后降低的趋势，但两者的差值与周期来压步距本身的数值相比则明显较小，故在实际估算中可忽略其影响。

4 结论

（1）在估算顶板最大应力时，若忽略顶板破断角效应的影响而采用矩形薄板模型进行计算，对首采工作面而言，当b值于0.147时偏危险，b值大于0.147时则偏安全。对于孤岛工作面而言，当b值小于0.166时偏安全，b值大于0.166时则偏危险。

（2）考虑了顶板破断角效应的顶板最大应力最高可达到矩形顶板最大应力的1.27倍左右。由于顶板的内力与工作面前方塑性区长度的计算密切相关，而工作面前方塑性区长度又是求得底板最大破坏深度的塑性解的关键参数。因此，在进行工作面前方塑性区长度以及底板最大破坏深度时应考虑顶板破断角效应的影响设置相应的安全系数。

（3）在首采工作面及孤岛工作面情况下，考虑到周期来压步距的常见取值范围，按矩形薄板模型来估算顶板的周期来压步距并不会产生较大的危险。此外，由于回采工作面的边界条件介于首采工作面及孤岛工作面2种情况之间，因此可认为在回采工作面条件下按矩形薄板模型来估算周期来压步距也是合理的。