基于块稀疏的低复杂度宽带MIMO-OFDM稀疏信道估计方案

吴君钦, 刘小兰, 窦蕾萍, 刘雯雯, 曾亮

(江西理工大学信息工程学院， 赣州 341000)

在5G移动通信中，毫米波(millimeter wave, mmWave)技术、大规模多输入多输出(multiple-input multiple-out, MIMO)技术和正交频分复用(orthogonal frequency division multiplexing, OFDM)技术相辅相成，逐渐走向成熟，而进行低复杂且高精度地信道估计是技术成熟面临的重大挑战，具有十分重要的学术研究价值[1]。近些年来，为能低复杂地计算出精确的信道状态信息(channel state information, CSI)，许多学者陆续针对性地提出了各种毫米波MIMO-OFDM信道估计算法[2-6]和块稀疏信号恢复算法[6-8]。

现有毫米波MIMO-OFDM信道估计算法，都未利用信号的内部结构特性，信号重构精确度低，而且过度依赖共同稀疏波束空间信道支持假设，需要的导频量很大，计算复杂度高，系统性能得不到改善。文献[2]基于n元透镜天线阵列MIMO-OFDM系统模型，研究了一种区别于窄带的宽带波束空间信道问题，充分利用了宽带波束空间信道的每个路径分量的稀疏性，解决了在MIMO-OFDM系统模型中多天线用户时的信道估计问题，计算复杂度较低，但还是建立在波束空间信道稀疏性的基础上。文献[3]提出了一种连续支持检测的宽带波束空间信道估计改进方案，通过稀疏结构联合估计每个路径分量在不同频率下的信道估计,去除每个路径分量影响来估计剩余的路径分量，虽在未知的路径数L的情况下依旧减少了导频开销，但需要假设充裕的信道稀疏度，计算复杂度较高。文献[4]研究了与脉冲噪声联合的OFDM信道估计算法，该算法可在未知脉冲噪声、信道的相关统计先验信息下进行联合估计，极大地提高了信道估计的精度，但其计算过程较为复杂；文献[5]提出了一种用于毫米波混合MIMO系统的有效开环信道估计器，该系统由射频波束发生器、大天线阵和基带MIMO处理器组成。主要思想是利用远场毫米波信道的稀疏特性进行稀疏信号的恢复。其成本代价高，计算复杂度高，并且未考虑导频污染的影响；文献[6]根据大规模MIMO系统信道的渐进正交特性，提出了基于特征值分解的信道估计算法，进一步提高了信道估计算法的精度，但其需要对模糊因子进行估计，增加了算法的复杂性。在现有块稀疏信号恢复算法中也存在信号重构精确度低的问题，如文献[7]提出了一种基于块正交匹配追踪支撑回归分析的块稀疏信号恢复算法，性能优于正交匹配追踪算法，但在块不够长时，测量矩阵的受限等距特性(restricted isometry propery, RIP)准则条件会非常严格，信道估计性能反而不高。文献[8]也提出了块正交匹配追踪算法，与文献[7]区别在于保证了块正交匹配追踪算法的收敛性，进而准确恢复出块稀疏信号，但保持一定块稀疏信号强衰减范围条件是尖锐的，存在局限性。

为解决上述文献存在的问题，现提出一种基于块稀疏的低复杂度宽带MIMO-OFDM稀疏信道估计方案。采用MIMO-OFDM系统模型，明确信道参数；利用信号的块稀疏特性，即信号非零元素被聚类表示的特点，结合于传统压缩采样匹配追踪(compres-sion sampling matching pursuit, CoSaMP)算法，获得本文的块稀疏信号重构算法；此外，在保证系统通信性能的基础上，计算出本文算法需要的最少迭代次数来降低所提方案的计算复杂度；并且基于RIP准则证明并拓展本文算法收敛的充分条件来有效提高信号重构效率。可见，本文提出的基于块稀疏的信道估计算法在降低计算复杂度和提高信号重构效率方面具有重要意义。

1 宽带MIMO-OFDM系统模型

假设宽带MIMO-OFDM系统中基站(base station, BS)发送端有Nt根天线，用户接收端有Nr根天线。在实际应用场景中的大规模MIMO系统中，BS处的天线数量Nt很大，详细的MIMO-OFDM系统传输模型如图1所示；其中XNt表示第Nt发送天线的信号，YNr表示第Nr接收天线接收到的信号。

在发送端的第n个OFDM符号周期，用户数据比特流经过空时编码器，通过编码、调制和串并转换被分成N个并行的数据流，分别进入快速傅里叶逆变换(inverse fast Fourier transform, IFFT)调制单元，然后分别进行加循环前缀(cyclic prefix, CP)操作，最后分别由Nt根天线发送出去。假定加了适当的保护间隔，且系统严格同步，则在第n个符号周期，经过去除CP和快速傅里叶变换(fast Fourier transform, FFT)变换后，在BS接收端的Nr根接收天线接收到的信号(导频和数据)表示为

(1)

式(1)中：Xi=diag{xi}为发送天线的发送的数据和导频信号，其中xi∈RN×1；N为OFDM符号长度；FL∈RN×L是由大小为N×N的归一化离散傅里叶变换矩阵的第一个L列组成的子矩阵；hi=[hi(1),hi(2),…,hi(L)]T为基站BS第i根发射天线与最大信道长度L的用户单个接收天线之间的信道冲激响应；W=[w1,w2,…,wN]T是由均值为0

和方差为δ2的独立同分布的加性白噪声组成的复高斯白噪声矩阵。

在接收端的第N根接收天线接收到的接收信号经过去除CP、串/并转换和FFT变换后，当n=1,2,…,Nr时，其接收到的信号(导频和数据)频域信号为

=Fh(m,n)Xm+Wn

(2)

式(2)中：Xm为BS发送端的第m根发射天线发射的信号频域表达式；H(m,n)表示第m根发射天线与第n根接收天线之间的信道频率响应表达式；h(m,n)为复增益矩阵；F为h(m,n)的离散傅里叶矩阵；Wn为均值零、方差为δ2的噪声矩阵，即高斯白噪声。

假设信道是准静态的，即信道冲激响应在一个OFDM符号周期内不变，信道H(m,n)通过式(3)变换为

(3)

为了估计出信道冲激响应hi，BS端接收天线接收的信号Y，包含N个导频符号的接收信号YN的频域表达式为

(4)

式(4)中：Ci=[SN1,SN2,…,SNi]T为选择导频的矩阵，其中N=[N1,N2,…,Ni]；XN为BS端的N个导频符号的发射天线的信号频域表示；wi为对应信道冲激响应hi的噪声矩阵。

令yΩ=YN/XN，其表示为BS端的N个导频符号的接收天线的接收信号频域表达式YN与BS端的N个导频符号的发射天线的信号频域表达式XN的比值，则比值yΩ表示为

yΩ=CiFLhi+wi

(5)

为了更简单地描述，式(5)可以写为

yΩ=Ph+w

(6)

式(6)为MIMO-OFDM系统信道估计模型，在已知P和yΩ的情况下，把h求出的过程就是该系统参数出来的过程。

2 块稀疏信号理论

假设信号总长为L，信号中非零元素的个数为N，若N≪L，那么该信号被称为稀疏信号，N被称为信号的稀疏度。若这N个非零数是任意分布在信号中的，那么信号可被称为任意稀疏信号。若这N个非零元是呈“块状”，且任意分布在信号中的，也不存在独立的单个非零元素，每个非零块至少包含两个非零元，那么信号可被称为任意块稀疏信号。如图2所示的块稀疏信号示意图，将黄色格子看成非零块，可以看出，该信号包含2个非零块，稀疏度为4。

图2 块稀疏信号示意图Fig.2 Schematic diagram of a block sparse signal

假设块稀疏信号X∈RN时，可用一组稀疏基Ψ=[φ1,φ2,…,φN]T线性表示，即

(7)

式(7)中：Ψ为N×N维矩阵；α=ψTX，为N×1维稀疏系数矩阵。

块稀疏信号的压缩感知数学模型为

y=ΦX

(8)

式(8)中：y=[y1,y2,…,yM]T为M×1维矩阵;Φ=[φ1,φ2,…,φM]T为M×N维观测矩阵;X=[x1,x2,…,xN]T为N×1维块稀疏信号矩阵。

首先对X进行分块，每个分块中包含N个元素：

(9)

式(9)中：N=Md；xT[M]称为一个子块，表示x的第M块，其中M=1,2,…,m；M为块稀疏度：如果向量x称为M块稀疏信号，则x至多有M个不为0的欧几里德(Euclidean)范数。由式(9)可知，当d=1时，块稀疏会转变为一般意义下的稀疏。

为了简化问题，假设xT[M]等长，都为d。块稀疏信号压缩感知的一个重要任务就是如何利用源信号的特定模型更高效地重构源信号。观测矩阵Φ也按此分块，对Φ进行分块，即

(10)

图3描述了块稀疏等效信道脉冲响应(channel impulse response, CIR)的生成对应关系，在宽带MIMO-OFDM系统中，由于时变信道的时间相关性，会产生不同的差分信道脉冲响应(difference channel impulse response, DCIR)信号，而DCIR信号取决于相邻时隙CIR信号的差值：

图3 块稀疏等效CIR的生成Fig.3 Generation of the block-sparse equivalent CIR

(11)

从式(11)可以看出，DCIR信号越稀疏，就越有利于源信号的重构。利用这一特性，假设该系统中的稀疏信号的CIR矢量为g=[g1,g2,…,gL]T，其中L为信道长度，用户数为K，则MIMO-OFDM系统信号冲激响应CIRh和块稀疏信号冲激响应CIRg的对应关系为

g[(l-1)Nt+nt]=h[(nt-1)L+1]

(12)

压缩感知(compressed sensing, CS)理论表明，观测矩阵的RIP是分析CS算法性能的有效工具，一般稀疏信号的观测矩阵Φ的RIP准则为

(13)

式(13)中：δd∈(0,1)为RIP常数，此外Φ满足RIP准则可转化为Φ与Ψ不相关，‖·‖k表示k范数，如‖X‖2。

在考虑了块稀疏特点后，观测矩阵Φ的RIP准则关系式变为

(14)

在y和Θ已知的情况下，可以通过求解式(15)得到稀疏系数矩阵α，进而代入式(7)计算得到原始信号X。

y=ΦX+w=ΦΨα+w=Θα+w

(15)

式(15)中：w为M×1维高斯白噪声矩阵；Ψ为N×N维矩阵；α=ψTX为N×1维稀疏系数矩阵；Θ=ΦΨ为CS矩阵。

3 信道估计方案

分析可知，式(6)和式(15)的求解结构相同，进而可以将稀疏信道估计问题转化块稀疏信号的恢复问题。在y和Θ已知的情况下，可以通过求解式(15)得到稀疏系数矩阵α，进而代入式(7)，利用CoSaMP改进算法计算得到原始信号X，重构出的X代入式(6)计算出块稀疏信号冲激响应CIRg，在式(12)的对应关系中，求出系统信号冲激响应CIRh。

3.1 压缩采样匹配追踪算法描述

CoSaMP算法使用了一种受限制等距特性启发的方法，迭代地调用这种方法来逼近目标信号。其关键思想是在每一次迭代中，当前的近似都会产生一个残差，即目标信号未被近似的部分，随着样本被更新，以反映当前的残差。这些样本被用来构建残差的代理，这允许识别残差中的大成分。这一步为下一步提供了初步的支持，使用样本来估计这个支持集的近似使用最小二乘法，这个过程不断重复，直到在信号中找到可恢复的能量，其定理如下。

定理设X为稀疏信号，矩阵Φ∈Rm×n且其满足RIP特定常数δ2c

‖X-XK‖2≤

(16)

假设真实解要用K个原子表示，在每一次的循环中，该算法选取出与残余观测值最相关的2K个原子，与之前经过循环选出的K个原子混合放置在一起，再构成新的候选集合；计算出初始观测值，将该初始值投影到新建立的候选集合上，再次找出对应的投影绝对值最大前K个原子，这样就能把剩余的K个相关度低的原子舍弃，再次将选出的原子进行迭代计算，多次循环，当达到迭代停止条件时停止计算，输出最终结果X。如表1所示，对具体的CoSaMP算法步骤进行了总结。

表1 CoSaMP算法流程Table 1 CoSaMP algorithmic flow

3.2 压缩采样匹配追踪改进算法描述

CoSaMP算法是对一般稀疏信号重构，而且无法确定具体的迭代次数。为充分利用信号的块稀疏特性，借鉴CoSaMP算法的思想，从研究一般信号的稀疏性转而研究块稀疏信号的稀疏性，其中块稀疏信号模型是一般稀疏信号模型的特殊情况，因此应用第2节中块稀疏模型，以块索引，在迭代过程中寻找匹配度最高的K个索引，从2K减半到K个索引的方法来匹配非零块，进一步选出相关度最大的原子，然后将其正交化处理；把块稀疏信号包含K个原子的所有子空间构成的子空间集合记为MK，则在所有子空间内搜索最佳匹配的K个索引的问题可以表示为

(17)

基于上述的调整，如表2所示，对具体的CoSaMP改进算法步骤进行了总结。该算法的复杂度程度表现在不断更新残差和迭代运算的操作频数，改进算法直到满足迭代停止条件s

表2 改进CoSaMP算法流程Table 2 Improve CoSaMP algorithmic flow

其中，计算本文算法的迭代次数S，首先需要证明满足分块数J的索引集Γs=Γs-1的充分条件，其中‖·‖k表示k范数，‖·‖F表示Frobenius范数，Xn[i]表示X的第i块，Xn[j]表示X的第j块;i、j∈R。

‖Xn[i]‖2>‖Xn[j]‖2=‖X[j]-Xn[j]‖2

(18)

证明式(17)的左式可以写为

‖Xn[i]‖2=‖Xn[i]-X[i]+X[i]‖2

(19)

因此，运用数学思想，式(18)的左式存在如下关系：

‖Xn[i]‖2=‖Xn[i]-X[i]+X[i]‖2≥

‖Xn[i]‖2-‖X[i]-Xn[i]‖2≥

Xn[i]‖2

(20)

‖X[i]-Xn[i]‖2+‖X[j]-Xn[j]‖2≤

(21)

最后得到

(22)

即证式(18)，将式(22)两边取对数，计算得到最少的算法迭代次数S：

(23)

此外，文献[9]基于文献[8]的块正交匹配追踪算法的收敛性条件，将充分条件得到了进一步地拓展，因此利用文献[9]的思想，将第n次迭代产生的信号序列Xn表示为

‖Xφ-Xn‖F≤ρn‖Xφ‖F

(24)

4 复杂度分析

表3 3种算法的CPU平均运行时间Table 3 Average CPU runtime for 3 algorithms

5 仿真结果与分析

利用MATLAB平台，在Simulink上为压缩感知的多输入多输出稀疏信道估计仿真进行建模，采用宽带毫米波MIMO-OFDM系统模型，假设天线为4×4多输入多输出系统，子载波个数为4×512，导频个数为56，信号长度为512，稀疏度为5，传输信道长度为32。为验证所提算法的可行性及优越性，在MATLAB平台上对所提算法、传统CoSaMP算法、理想CSI状态下的重构算法和文献[8]的块正交匹配算法进行各项性能比较，在衡量算法精确度时，通常用归一化均方误差作为基准，当系统发射天线数为Nt时，其归一化均方误差(normalizedmeansquareerror,NMSE)可表示为

(25)

式(25)中：hn为子载波处的估计波束空间信道;hn为子载波处的宽带波束空间信道。

图4比较了不同信道估计算法下NMSE性能在一定信噪比范围的变化情况。从图4可知，所提算法的NMSE总低于传统CoSaMP算法和文献[8]的块正交匹配算法，这说明了所提算法的精确性高。因为所提算法考虑了信号块稀疏特性，而同样考虑了信号块稀疏特性的文献[8]算法会被块稀疏信号强衰减的尖锐条件影响，重构目标局限于块稀疏信号。从图4还可以看出，所提算法更趋近于理想CSI的NMSE性能，且随着系统SNR趋大，不同算法的NMSE曲线都是逐渐下滑，最终都达到各自的NMSE底限，这是因为3种算法都会受到系统低功率影响；在SNR=20 dB时，所提算法性能趋近10-3，可靠性维稳。由此可见，所提算法具有很好的可靠性。

图4 d=4，K=8时，不同信道估计算法下归一化均方误差随信噪比变化曲线Fig.4 The normalized mean square errorvaries with the signal-to-noise ratio under different channel estimation algorithms, where d=4，K=8

图5体现了系统和速率和信噪比之间的相互关系。从图5可以观察到，随着信噪比的趋大，4种算法的系统和速率都在不断地提升，说明4种算法都实现了系统性能的改善。在图5中所提算法的系统和速率总高于传统CoSaMP算法和文献[8]算法，说明所提算法的系统性能是优于传统CoSaMP算法和文献[8]算法。当保持系统信噪比不变时，都取SNR=4 dB时，在非理想CSI情况，所提算法的系统和速率高于CoSaMP算法约2 bit/(s·Hz)，而且更加接近理想状态的CSI。虽然在理想CSI情况下，系统和速率要优于所提算法，但完全已知CSI的情况在实际应用中是几乎不存在的。由此可见，所提算法的系统增益是可观的。

图5 d=4，K=8时不同信道估计算法下和速率随信噪比变化曲线Fig.5 The sum rate varies with the signal-to-noise ratio under different channel estimation algorithms, where d=4，K=8

因为CoSaMP算法和文献[8]算法都是高效的信号重构算法，为了体现出所提算法的高效重构率，将它们与本文算法进行精确重构率比较。通常信号重构容错率需满足：

(26)

当这3种算法重构率满足式(26)的容错率，就可判断重构成功[9]。

图6比较了d=4和d=12下本文算法、传统CoSaMP算法和文献[8]算法的重构效率。从图6可以观察出，在d为一定值时，所提算法总比CoSaMP算法重构性能高。这是因为所提算法是通过保持块稀疏度的最大块来重构块稀疏信号，而且从图6可以得出，当块稀疏度K较小时，所提算法的临界稀疏度K是高于文献[8]算法的。当分块稀疏度K较大时，所提算法的临界分块稀疏度是小于文献[8]算法的，由此可见，本文算法的重构性能是优于CoSaMP算法和文献[8]算法，进一步提高了信号的重构效率。

图6 d=4、d=12的3种算法性能曲线Fig.6 Performance of three algorithms for d=4 and d=12

6 结论

设计了基于MIMO-OFDM模型的CoSaMP改进算法，以获得高效且可靠的信道估计性能为目标，通过研究信号块稀疏结构特性，有效结合到传统CoSaMP算法中。此外，在计算最少的迭代次数过程中，利用了块索引匹配非零元素方法，并证明了算法收敛性的充分条件。本文算法与传统CoSaMP算法相比，迭代次数少，有效降低了计算复杂度，与文献[8]的算法收敛性条件相比，前者在后者基础下得到了拓展，有效提高了算法的可靠性。仿真结果表明，本文算法比CoSaMP算法和文献[8]算法具有更好的信道估计性能，接近理想SCI下的信道估计性能。