沿超曲面的振荡奇异积分在加权Wiener共合空间上的有界性

2022-10-31刘慧慧唐剑赵金虎

湖北大学学报(自然科学版) 2022年6期

刘慧慧，唐剑，赵金虎

(阜阳师范大学数学与统计学院，安徽阜阳 236037)

0 引言

Wiener共合空间是时间频率分析中的一类重要函数空间，它同时刻画了一个函数或分布的局部性质和整体性质. 在应用中，Wiener共合空间是建立在Lebesgue空间或Fourier-Lebesgue空间上，因其允许对函数的局部正则性和无穷远处的衰减进行独立控制,更加灵活. 这类函数空间已被多次重新定义，它首次出现在Wiener[1]的广义调和分析理论中，他引入了标准的共合空间W(Lp,Lq)，其上的范数定义为

当p或q=∞时，只需用L∞范数替换Lp或Lq范数即可.

已有的结果给出，对于某些合适的曲线γ[12-13]，沿曲线的Hilbert变换

(1)

是Lp(n)有界的，其中1

(2)

其中,Γ(t)=(t,γ(t)),且γ(t)=|t|k或γ(t)=sgn(t)|t|k.Chandarana[14]证明了这类算子不是L2有界的，因其Fourier乘子不是一致有界的. 注意到这类算子在原点处的奇异性比Hilbert变换中的奇异性更差，一个自然的问题是如何平衡由因子|t|α所产生的奇异性. 考虑到Hilbert变换本质上是振荡的，不妨在算子Hα中引入一个振荡因子e-2πi|t|-β来平衡变差了的奇异性.

Zielinski[15]首次研究了如下定义的沿曲线的振荡强奇异积分

(3)

他证明了当γ(t)=t2时，有‖Tα,βf‖L2(2)≤C‖f‖L2(2)⟺β≥3α.之后，Chandarana[14]考虑了沿更一般的曲线γ(t)=|t|k或γ(t)=sgn(t)|t|k(k≥2)时算子Tα，β的有界性，且建立了该算子Lp(2)有界的充分定理，即当β>3α>0且指标p满足

时，‖Tα,βf‖Lp(2)≤C‖f‖Lp(2).程美芳[16]等进一步研究了算子Tα，β在Wiener共合空间W(FLp,Lq)上的映射性质并得到当γ(t)=|t|k或γ(t)=sgn(t)|t|k(k≥2)时，对于β>3α>0及1≤p<∞,1≤q≤∞，算子Tα，β在空间W(FLp,Lq)(2)上有界. 对比Wiener共合空间和Lebesgue空间中指标p的取值范围，明显看出指标p在Wiener共合空间的取值范围更大，因此可以粗略地认为算子Tα，β在Wiener共合空间上的有界性优于Lebesgue空间，或者说在讨论沿曲线的奇异积分算子的有界性问题上Wiener共合空间可看作是Lebesgue空间的良好替代.

不同于探究曲线γ所满足的最小条件(可参见文献[17-18])，另一个起源于Hilbert变换的发展是沿曲面的强奇异积分. Hung Viet Le[19]研究了沿超曲面的强奇异积分

(4)

(5)

在下文中，我们先回顾一些必要的概念和定义，并给出定理证明中所需的一些引理，最后给出定理的具体证明过程. 本文中，用C来表示正常数，其在不同位置取值可能不同，但均不依赖于本文中的主要变量. 使用符号“B→C”和“*”分别表示线性空间B到C的连续嵌入和卷积运算.

1 预备知识

记S(n)为由所有复值速降、无限次可微函数构成的Schwartz函数空间，S′(n)是其对偶函数空间. 对于函数f∈S(n)，其Fourier变换和Fourier反演变换分别定义为

函数f的平移及调幅算子定义为Txf(t)=f(t-x)和Mξf(t)=e2πiξ·tf(t)，其中x,t∈n.对于s∈及x∈n，记权函数s=(1+|x|2)1/2.给定非零函数φ∈S，函数f∈S′相应于窗函数φ的短时Fourier变化定义为

定义1.1[11]给定非零函数φ∈Σ及1≤p,q≤∞，s∈.加权调幅空间n)定义为全体关于范数

有限的Schwartz函数f构成的集合. 对于p或q=∞，只需将Lp或Lq范数替换为本性上确界即可. 当s=0时，即为经典的调幅函数空间Mp,q(n)且不同的φ生成相同的函数空间.

有限的缓增广义函数f∈S′组成的函数集合. 当p或q=∞时，使用L∞范数相应替换Lp或Lq范数. 当s=0时，简记为W(FLp,Lq)(n).且该定义与窗函数g的选取无关成，即不同的窗函数g1，g2定义的Wiener共合空间具有等价的拟范数.

下面引理给出了Wiener共合空间的一些重要性质，在定理证明中有重要的作用.

引理1.1[20]令Bi,Ci,i=1,2,3是Banach空间且使得W(Bi,Ci)有定义，则下列结论成立.

i)(卷积性)若B1*B2→B3且C1*C2→C3，则W(B1,C1)*W(B2,C2)→W(B3,C3).特别地，当1≤p,q≤∞时，有‖f*u‖W(FLp,Lq)≤‖f‖WF(L∞,L1)‖u‖W(FLp,Lq)；

ii)(嵌入性)若B1→B2且C1→C2，则W(B1,C1)→W(B2,C2).此外，结论中的B1→B2是局部的，而C1→C2是整体的；

iii)(插值性)当时0<θ<1，有[W(B1,C1),W(B2,C2)][θ]=W([B1,C1][θ],[B2,C2][θ])，其中空间C1和C2有绝对连续范数；

iv)(对偶性)设B′,C′分别为Banach空间B,C的对偶空间，则W(B,C)′→W(B′,C′).

引理1.2[21]设1≤p1,p2,q2,r1,r2≤∞，1≤q1<∞，s∈且满足则成立

引理1.3的证明利用空间W(FL∞,L1)和M∞,1的定义可得

引理1.5[19]设定义在[0，+∞)上的函数γ(r)满足|γ′(r)|在suppγ′∩[0，+∞)上单调递增，同时满足γ′(r)∈L1([0,+∞))或者γ(r)单调且γ(r)∈L∞([0,+∞))之一. 若0≤a≤b≤∞且ξn∈，则

其中常数C独立于ξn.

引理中的符号“supp”表示“支集”概念. 此外，我们还需要下面的Van der Corput引理，这是估计振荡积分时所用到的最重要引理.

引理1.6[22]设φ(t)和ψ(t)为定义在区间(a,b)上的实值光滑函数且k∈N.若对任意t∈(a,b)，φ(t)满足|φ(k)(t)|≥λ>0及

i)k≥2，或者

ii)k=1且φ′(t)在(a,b)上单调，则有

成立，其中常数Ck与变量φ和λ无关.

2 主要定理及证明

这一节，我们将给出本文中的主要定理，并完成定理的证明.

定理2.1设函数h(y)和γ(y)为定义在n-1(n≥3)上的实值径向函数且在[0,+∞)上几乎处处可微. 函数h连续有界且满足h单调递增或者h′∈L1().γ(r)满足|γ′(r)|在suppγ′∩[0,+∞)上单调递增，同时满足下列条件之一

1)|γ′(r)|∈L1()；

2)γ∈L∞()，且γ(r)在[0,+∞)上单调递增.

定理2.1的证明利用Fourier变换，有

(6)

从而算子T*可写为

其中算子T*的Fourier乘子m*为

由卷积运算与Fourier变换的关系及引理1.2，要证定理2.1只需证明核函数Fm*∈W(FL∞,L1)(n)即可. 结合引理1.3和引理1.4，问题可转化为估计函数的L∞范数，其中多重指标(λ,λn)∈n-1×满足利用极坐标变换，有

其中

|ψ″(t)|=β(β+1)·2vβt-β-2≥C·2vβ.

从而，利用引理1.5和Van der Corput引理，对于β>2α>0，可得

≤C.

≤C·‖Ω‖L1(Sn-2)

≤C

成立，证毕.

不失一般性，利用上述定理2.1的证明方法可自然地得到以下推论.

推论2.1设定义在上的可测偶函数γ满足|γ′(r)|在suppγ′∩[0,+∞)上单调递增. 假设γ′∈L1()或者γ∈L∞()且γ(r)在[0,+∞)上单调. 设定义在上的函数h是连续有界的偶函数，且h在上几乎处处可微. 若h满足单调性或者h′∈L1()，当β>2α>0时，强奇异积分算子T#定义为