二级圆柱斜齿轮减速器多因素优化研究

胡 波，赵先锋，胡小龙，汤朋飞，史红艳

(贵州大学 机械工程学院，贵阳 550025)

0 引言

减速器是在原动机、工作机和执行机构之间传递力或力矩以及匹配转速的设备[1,2]，重型二级斜齿圆柱齿轮减速器[3,4]具有重合度大、传动平稳、啮合性能优异的优点，在航空航天、汽车及输送机领域获得广泛的应用[5～14]。

随着小体积、轻量化、低耗能和低成本的需求，对于减速器体积的优化是目前减速器设计的主要问题。国外学者提出了一些优化方法。Ketan Tamboli[15]等人根据DIN标准计算了齿轮几何参数对齿轮尺寸和强度的影响，提出了具有导出目标函数和约束条件的约束非线性多变量优化问题的求解方法，利用粒子群算法（PSO）对重型齿轮减速器低重量、节能和低成本等问题进行了求解。A.KURAPATI和S.AZARM[16]针对减速器最小体积的优化，提出了一种用于多学科设计优化（MDO）系统的MOGA-INS方法，大大的减少优化程序，但其局限性在于只能基于遗传算法（GA）条件下实现优化。Lucian Tudose[17]等人使用两阶段演化算法对两级斜齿轮传动进行设计，完成对轴、轴承、外壳等的尺寸和选择，得到了可以扩展到包括附加阶段或不同布局的配置方案。ParidhiRaia[18]等人通过使用实数编码的遗传算法（RCGA），将轮廓偏移系数作为设计变量，同时考虑齿宽和齿数，使得减速器体积得到优化。国内学者用到的优化方法包括基于传统非线性规划的直齿轮单元最小体积设计[19]、SQP法[20]、模糊稳健优化设计[21]、惩罚函数法[22]、基于层次分析法的多目标优化[23]、基于差分进化的优化[24]、摆线轮齿廓修形多目标优化设计方法[25]、遗传算法[26]等。就目前而言，将惩罚函数运用于减速器优化上最多的是内点惩罚函数法，外点惩罚函数目前没有，而混合惩罚函数法是把内点法和外点法结合起来，既可以优化约束不等式条件也可以优化等式约束条件，故具有很好的实用性[27]。

目前的这些研究，对优化减速器的体积起到了积极地作用，但目前这些优化方法，讨论的大多数参数在第一级，对第二级考虑相对较少，因此在优化减速器体积时，效果不是很好，因此本文采用混合惩罚函数法，综合考虑两级参数，对重型二级斜齿圆柱齿轮减速器进行优化，以达到全面优化型二级斜齿圆柱齿轮减速器体积的目标。

1 数学模型建立

以某货车的重型二级斜齿圆柱减速器为研究对象，减速器参数为：额定功率为Pd=15W，总传动比为i=15。工作状况：单班8h，寿命12年（设每年工作300天），单向运转，载荷较平稳。在高速级大小齿轮和低速级大齿轮的材料选择均为45号钢调质处理，低速级小齿轮为40Cr钢调质处理，四个齿轮均属于软齿面，精度均为8级，符合设计规范。传动图如图1所示。

图1 圆柱齿轮传动示意图

从图1的减速器传动简图中可以看出，两对圆柱齿轮传动由共四个齿组成，齿数分别为Z1、Z2、Z3、Z4，相应的齿数比分别是i1=Z2/Z1和i2=Z4/Z3；两组传动齿轮的法面模数分别设为mn1和mn2；齿轮的螺旋角为β。表1为减速器原设计齿轮参数。

表1 减速器的主要参数

设计时按要求给定总传动比i=15，且有i=i1×i2，所以i2=i/i1。，四个齿轮的齿数只要能确定两个即可，因此设定两个小齿轮的齿数Z1和Z3为设计变量。其他设计变量为：i1、i2、mn1、mn2、β1和β3，共八个参数拟定为设计变量。由于齿轮中心距是影响减速器体积的最主要的影响因素，且可以直接计算，因此针对8个设计变量采用混合惩罚函数法，以中心距最小为目标进行减速器体积优化设计。

2 基于混合惩罚函数法的数学模型

针对本次优化设计的八个参数拟定为设计变量Z1、Z3、u1、u2、mn1、mn2、β1和β3，即：

由于二级斜齿圆柱齿轮减速器中齿轮及轴的中心距决定减速器整体体积的主要依据，将其中心距作为目标来进行优化设计，按照要求使减速器的中心距A最小，将目标函数写成：

各参数的选择准则如下：

1）法面模数。法面模数值过大则会使得齿轮体积的偏大，模数值偏小则会引起承载能力不足，故根据一系列的标准模数值可取mn≥2。

2）螺旋角。因为斜齿轮有轴向力的存在，且随螺旋角的增加而增加，故使轴承不承受过大的轴向力，应对螺旋角有所限制，一般应使8°≤β≤20°。

3）小齿轮齿数。为了避免发生根切，方便制造选取20≤Z≤30。

4）大小齿轮齿数比。由上面计算结果可知u1=Z1/Z2，u2=Z4/Z3，一般取(2～5)之间。

5）齿面接触疲劳强度。对于外啮合斜齿轮的齿面接触疲劳强度有：

6）齿根弯曲疲劳强度：

约束条件：

将已知量代入上述各式，建立的数学模型为：

由式(9)得出：

相关参数查表可知：

表2 相关参数

将参数代入式(14)得：

由式(11)得出：

将式参数代入式(17)得：

代入式(3)得其初始方案为：

构造惩罚函数：

由于所有的约束条件均为不等式约束，故hv(x)=0。由式(1)可知，

将已知条件代入式(18)得所构造的混合惩罚函数为：

使用MATLAB软件进行编程，经迭代计算即可得出最优解。

3 优化及体积计算

根据前面的目标函数和约束函数，在MATLAB中编写其优化程序代码，程序在经过迭代后得到优化结果为：

图2 优化结果

即经优化后得到目标函数为：

减速器箱体体积V1(x)：

式(23)中：l、b、h分别是箱体的近似长度、近似宽度和平均高度，为箱体的平均壁厚。

由式(23)、式(24)计算可得：

代入优化结果后有：

由下式可得：

式中齿宽系数φd=1.3。

将式(25)～式(27)代入式(24)后得：

最后将上述计算结果代入式(23)得：

对比前后发现减速器体积从原来的6664617.6mm3减小到4808996.579mm3，体积减小了27.84%。

4 结语

通过分析斜齿圆柱齿轮减速器的优化方法的优劣，采用混合惩罚函数法优化减速器的8个设计参数，以中心距为目标函数，建立了某重型二级斜齿圆柱齿轮减速器的混合惩罚函数模型，通过MATLAB编程，得到了中心距的最优解，进而计算了某重型减速器的体积减小量。由计算结果可以看出，二级斜齿圆柱齿轮减速器体积减小了27.84%。本方法为重型二级斜齿圆柱齿轮减速器的设计提供借鉴。