长导轨五自由度测量中直线度精度提升方法与优化设计

张 聪，刘文正，段发阶，傅 骁，王新星

（天津大学 精密测试技术及仪器国家重点实验室，天津 300072）

1 引言

多自由度测量是实现机床几何误差快速、高精度检测的重要手段［1］，为补偿机床空间误差、提高加工精度提供数据支撑。对于大型机床，其最长导轨的行程往往可以达到4米以上［2］，然而测量距离的增加会影响多自由度的测量精度。多自由度测量装置中的直线度测量单元一般基于激光准直原理研制而成，在长距离测量时，受光束漂移、角度耦合、光斑尺寸变化等影响较大［3］，将直接影响大型机床误差测量精度。因此，对长导轨多自由度测量中的直线度测量单元进行优化设计具有重要意义。

目前，基于激光准直原理的直线度测量方法被广泛应用于多自由度测量装置中［4-6］，为了提高测量精度，众多学者从不同角度进行了研究。为了抑制或补偿激光光束漂移，冯其波等人［7］使用单模光纤耦合输出的激光器作为光源，能够有效抑制光源本身的漂移，而且结构小巧易于系统集成；殷纯永等人［8］在光路结构中使用两束足够靠近的激光，一束用于测量，另一束用于采集噪声，可以在一定程度上去除噪声，但光路结构复杂，难以安装，使用场景受限；由凤玲等人［9］使测量光路与监测激光漂移光路完全共路，提高补偿效率，对于激光器本身的漂移具有很好的补偿效果，但难以补偿局部空气扰动带来的光束漂移；朱凡等人［10］使用平动式反射镜补偿光束漂移，杨滨赫等人［11］使用带压电陶瓷的二维角度调整架补偿光束漂移，有效提高了激光准直精度，但试验均在1米测量距离内进行，不能克服长距离测量时空气扰动的影响。多自由度测量装置工作时，角度测量往往会对直线度测量产生耦合干扰，高帅［12］、崔存星［13］分别对五自由度、六自由度测量装置测量中产生的误差串扰进行了分析与补偿，提高了测量精度，但误差串扰模型与光路结构直接相关，当光路结构改变后，需要进行特定的分析与处理。四象限探测器（Quadrant Detector，QD）由于精度高、响应速度快等特点常被用作直线度测量传感器，但存在非线性随量程变大而加剧以及灵敏度受光斑尺寸影响的问题，当在固定距离下测量时，光束截面尺寸不变，标定时使用多项式拟合［14-16］可以很好地解决QD非线性的问题；当被测物移动时，光束截面尺寸变化，QD测量灵敏度随之变化，蔡引娣等人［17］和崔存星等人［18］均按灵敏度随距离线性变化处理，但在长距离测量时，这种处理方法的误差很大，需要一种新的方法来解决灵敏度变化的问题。

本课题组提出了一种基于激光准直与自准直原理的五自由度测量装置［19］，本文在此基础上对装置中的直线度测量单元进行了优化设计。其中，采用了望远物镜结构，相比于单透镜，可以在有限空间内增加焦距至大于机械尺寸，使光束角度漂移测量更加精确；分析了角度串扰引入的直线度误差，对直线度测量模型进行修正；提出了一种多项式拟合与三次样条插值拟合相结合的分区间标定方法，实现QD长距离大量程下的高精度测量；最后，对优化后的直线度测量单元性能进行了试验验证。

2 直线度测量单元及其测量模型

2.1 五自由度测量结构中直线度测量光路

五自由度测量结构基于激光准直与自准直原理设计，采用激光器发射与探测器接收分体式结构，简称收发分体式结构。如图1所示，发射端安装在导轨基座上固定不动，接收端安装在导轨滑块上同时移动，实现导轨误差测量。为了实现长导轨的五自由度测量，将位置测量传感器全部安装在接收端，这种结构比收发一体式结构［20］缩短一半的光程，抗干扰能力增强。

图1 收发分体式激光五自由度测量结构Fig.1 Transceiver split laser five-degree of freedom measurement structure

该光路结构可以测量俯仰角、偏摆角、滚转角、水平直线度与垂直直线度共五个自由度。激光器（LD）发出的光束经平面镜1（M1）反射后，经分光镜1（BS1）后被分为两束光。其中，透射光经分光镜2（BS2）后又被分为两束光，一束光照射在四象限探测器1（QD1）上，测量水平直线度和垂直直线度，另一束光经凸透镜1（L1）聚焦在位置敏感探测器1（PSD1）上，测量俯仰角与偏摆角；反射光经平面镜2（M2）反射后与经BS1的透射光平行，照射在四象限探测器2（QD2）上，测量垂直直线度，结合QD1测得的垂直直线度解算出滚转角。

构成直线度测量单元的基本元件包括LD、M1、BS1、BS2与QD1，如图2所示。当只产生直线度时，光斑在QD1上坐标变化为（X，Y），QD1四个通道输出光电流，并转换成电压用于计算，水平直线度和垂直直线度测量模型表示为：

图2 直线度测量单元光路Fig.2 Optical path of straightness measurement unit

其中，X、Y是关于电压的函数，需要经过标定后确定，标定方法将在下一节讨论。

2.2 光束漂移测量光路结构及补偿模型

长距离测量时，发射端的光束角度漂移对直线度测量产生严重的干扰，需要更精密的光路测量漂移量。在发射端末端增加望远物镜结构，如图3所示，光束经分光镜3（BS3）反射后先后经过凸透镜2（L2）、凹透镜3（L3）聚焦在位置敏感探测器2（PSD2）上，从而测量光束角度漂移。

图3 光束角度漂移测量光路安装图Fig.3 Installation diagram of beam angle drift measurement optical path

望远物镜的焦距大于机械尺寸，相比于单透镜，可以在相同安装空间内获得更长的焦距，根据自准直测量原理知，当PSD2位置测量精度相同时，透镜焦距越长，角度测量精度越高，因此，望远物镜可以达到更高的测角精度，望远镜光路如图4所示。设L2的焦距为f2、L3的焦距为f3、L2与L3之间的距离为d，则望远物镜的组合焦

距f表示为：

当光束角度漂移θy、θz时，如图5所示，PSD2上 聚 焦 的 光 点 坐 标 变 化(ΔzPSD2，ΔyPSD2)，LD到QD1的光程为l1+l2，则水平直线度和垂直直线度测量时光束角度漂移的补偿模型Δδx1、Δδy1为：

图5 光束角度漂移测量示意图Fig.5 Schematic diagram of beam angle drift measurement

2.3 角度串扰误差分析及补偿模型

五自由度测量时各自由度之间产生串扰，需要分析角度测量对直线度测量产生的串扰误差，构建补偿模型并修正直线度测量模型。以水平直线度为例，光束透过BS2照射到QD1上，BS2是平行平板，假设接收端此时无水平直线度误差，当接收端偏摆角变化εy时，光路以QD1中心旋转εy，光线透射后出现偏移，如图6（a）所示，设玻璃折射率为n，BS2边长为h，其他角度对直线度测量的影响可以忽略。同理，当进行垂直直线度测量时，俯仰角εx产生串扰误差，如图6（b）所示。水平直线度、垂直直线度角度串扰误差补偿模型Δδx2、Δδy2为：

图6 角度串扰误差示意图Fig.6 Schematic diagram of angular crosstalk error

其中：接收端偏摆角εy、俯仰角εx由PSD1基于自准直原理测得。PSD1测量结果εy'、εx'中包含接收端角度和光束漂移角度，经PSD2补偿后即可得到εy、εx，表示为：

其中：f1为L1焦距，(ΔzPSD1，ΔyPSD1)为PSD1上光点坐标变化。经补偿后的直线度测量模型为：

3 长距离直线度测量标定方法

3.1 QD理论测量模型

理想情况下，单模光纤耦合激光器输出的光束可以看做高斯光束，基于高斯光束建立QD测量模型，如图7所示。光束传播过程中的截面半径是双曲线，可以表示为［1］：

图7 基于高斯光束的QD测量模型Fig.7 QD measurement model based on Gaussian beam

其中：ω0为束腰半径，z为传播距离，z0为束腰位置，λ为激光波长。

光斑照射在QD上后，获得四通道电压，分别为u1、u2、u3、u4，可以计算出光斑的相对位置［21］：

光斑位置与其相对位置之间具有非线性关系，认为光斑光强是标准的高斯分布，QD感光面积足够大且象限之间缝隙的影响忽略不计，进行推导［21］，可得：

其中：erf-1（·）为误差函数的反函数。以x方向为例，QD上光斑位置与其相对位置关系如图8所示，随着测量范围变大，非线性加剧。

图8 QD上光斑位置与相对位置关系（x方向）Fig.8 Relationship of the spot position and its relative position on QD（x-direction）

3.2 固定距离下标定方法

由式（7）、（9）知，固定距离下，光束截面半径不变，测量灵敏度不变，QD的非线性随着量程增加而加剧。实际测量时，光束不是理想的高斯光束，光斑位置与相对位置的关系不严格遵循式（9），本文使用多项式描述该函数关系。

水平直线度与垂直直线度的标定方法一致，以水平直线度为例进行说明。搭建固定距离下的直线度标定系统，如图9所示，使用激光干涉仪线性测量功能提供标准值，位移台提供水平方向的微小位移，接收端和线性反射镜同时固定在位移台滑块上随之移动，遵循阿贝原则，共同测量水平直线度。

图9 固定距离下直线度标定系统Fig.9 Straightness calibration system at fixed distance

在QD测量范围内，测量n个点用于多项式拟合，消除测量非线性，标定精度要求亚微米级别，四阶多项式拟合即可满足要求，多项式阶数增加，一定程度上可以提高标定精度，本文以四阶多项式为例进行说明，在测量距离L处的拟合结果表示为：

其中：A4，L、A3，L、A2，L、A1，L为拟合的多项式系数，常数项暂时归零，即认为相对位置为零处是零点，长距离标定时通过零偏校正统一处理。

3.3 长距离分区间标定方法

距离改变后，光束截面尺寸变化，QD灵敏度改变，需要重新标定。长距离测量时，为了应对QD灵敏度变化的问题，提出一种分区间标定方法。

首先，将整个测量距离划分为多个区间，如图10所示，区间划分的越多，标定精度越高，但工作量也越大。然后，对区间边界位置的QD分别进行标定，得到对应的多项式：

图10 长距离标定区间划分示意图Fig.10 Schematic diagram of calibration interval division under long distance

最后，对各区间内的多项式系数进行求解，由于多项式系数没有明显的特征，使用三次样条插值法进行拟合。以四次项系数为例，将其看做一个与测量距离相关的函数，定义为：A4=R(L)是区间［L1，Ln+1］上的函数，节点为L1＜L2＜L3＜…＜Ln+1及 相 应 的 函 数 值 为A4，L1、A4，L2、A4，L3、…、A4，Ln+1，若函数S(L)满足：

（3）在 每 个 区 间［Li，Li+1］上，其 中i=1、2、3、…、n，S(L)是次数不超过3的多项式。则称S(L)是函数R(L)以L1、L2、L3、…、Ln+1为节点的三次样条插值函数。由于理想高斯光束的截面半径为双曲线，在束腰和远端的截面半径变化率近似常数，因此使用自然边界条件进行求解，即：

结合节点处函数值、一阶导数连续、二阶导数连续的条件，求解出唯一的三次样条插值函数，进而可以获取区间内任意测量距离下的四次项系数。同理，利用三次样条插值法求解出三次项系数、二次项系数、一次项系数。

激光在长距离传播时，光斑分布均匀性发生变化，不再严格中心对称，因此QD测量的零点不共线，造成零偏，如图11所示。

图11 长距离QD测量零偏示意图Fig.11 Schematic diagram of QD measurement zero offset under long distance

使用激光干涉仪直线度测量功能校正QD测量零偏，如图12所示。五自由度测量装置与激光干涉仪同时测量一长导轨的直线度，发射端与激光干涉仪直线度反射镜固定不动，接收端与激光干涉仪沃拉斯顿棱镜同时放置在长导轨的滑块上随之移动，共同测量长导轨的直线度，激光干涉仪测量值与QD测量值的差值是主要由激光干涉仪测量误差、QD测量零偏、QD测量局部非线性误差等造成的。其中，激光干涉仪测量误差主要由本身测量精度、安装误差导致，下文分析了安装时未遵循阿贝原则导致的阿贝误差并提出了补偿方法，而激光干涉仪自身测量精度引入的误差无法消除，在分析QD测量不确定度时应考虑其影响，本文旨在介绍标定方法，不再赘述；QD测量非线性经多项式拟合与三次样条插值拟合后得到改善，远小于QD测量零偏的影响，因此，认为激光干涉仪与QD测量值的差值主要由测量零偏引起的。

图12 QD测量零偏校正示意图Fig.12 Schematic diagram of QD measurement zero offset correction

受安装空间限制，激光干涉仪的测量不符合阿贝原则，沃拉斯顿棱镜安装在QD1正下方，只存在Y方向的阿贝偏位，因此使用电子水平仪测量滑块的滚转角，结合阿贝偏位补偿激光干涉仪的阿贝误差，使QD测量零偏校正得更加准确。在节点处测量得到校正值，将其作为式（11）的常数项：

其中，XM，Li为修正阿贝误差后的激光干涉仪测量值。同理，利用三次样条插值法求解出区间内任意测量距离下常数项，完成最终的标定。

4 试验验证与分析

搭建了五自由度测量装置，如图13所示。其中LD选用单模光纤耦合输出的激光器（PL-FP-633-A-1-SA-14BF，LD-PD），激 光 波 长λ=633 nm，配合光纤准直器（TC18APC-633，Thorlabs）输 出 准 直 光 束，并 选 用M1（RAP112-A，Lbtek）转折光束方向。BS1和BS2选用非偏振分束镜（BS1255-A，Lbtek），边长h=12.7 mm，折射率n=1.52。QD1选用低噪声、高精度的四象限探测器（S5981，Hamamatsu）。望远物镜结构中L2选用f2=50 mm的凸透镜（BCX10310-A，Lbtek）、L3选 用f3=-25 mm的 凹 透 镜（CC10305-A，Lbtek），L2与L3之间距离d=31 mm。PSD2选用低噪声、高精度的位置敏感探测器（DL16-7，First Sensor）。

在中国计量科学研究院的80 m长度标准装置实验室内（温度17±0.5℃，气压98.9～101.8 kPa，湿度20%）进行了标定及其他测试。选取该标准装置的5 m行程作为试验对象（长导轨），测量装置的发射端放置在长导轨平台上固定不动，接收端放置在长导轨滑块上进行移动，发射端与接收端之间用风琴防护罩连接，减弱空气扰动对光路的影响。

4.1 直线度标定试验

直线度测量单元的最远测量距离设定为5 m，以1 m处为起点，间隔1 m划分区间，则节点为1 m、2 m、3 m、4 m、5 m，长导轨的测量距离可以通过位置反馈传感器实时获取，分别在节点处进行标定。如图14所示，激光干涉仪（SJ6000，Chotest）、接收端、位移台同时固定在长导轨滑块上，滑块移动到对应节点位置固定不动，由位移台提供微小位移，激光干涉仪与接收端同时测量。标定范围为±400 μm，间隔40 μm左右测量一次，共21个点。

图14 固定距离下标定试验Fig.14 Calibration experiment at fixed distance

固定距离下的标定结果如图15所示，最大残差标准差（SD）不超过0.3 μm，因此使用四阶多项式拟合可以满足测量精度要求，多项式系数见表1。

图15 固定距离下标定结果Fig.15 Calibration results at fixed distances

表1 固定距离下标定所得的多项式系数Tab.1 Polynomial coefficients obtained from calibration at fixed distance

利用三次样条插值法求解出区间内任意测量距离下多项式系数：

为了证明该方法的有效性，在2.5 m和3.5 m处与激光干涉仪进行对比试验。代入式（14）～（17），求得2.5 m和3.5 m处的多项式：

为了证明该方法在长导轨直线度测量时的优越性，与直接使用线性插值法［18］进行对比，测试结果如图16所示。试验结果表明，使用分区间三次样条插值法（Spline）的误差明显小于线性插值法（Linear）的误差，误差标准差在0.3 μm以内，因此在固定测量距离下可以实现高精度测量。

图16 标定效果测试结果Fig.16 Calibration effect test results

五自由度测量装置在实际使用中，移动端随被测导轨滑块移动，对于长导轨直线度测量，高斯光束光强分布不再严格的中心对称，使得QD的测量零点存在偏位且不能忽略，因此使用激光干涉仪（Renishaw，XL-80）、电子水平仪（Auleadson，DEG-I）进行了零偏校正试验，如图17所示。利用式（13）求得多项式的常数项，见表2。

表2 QD测量零偏校正值Tab.2 Zero offset correction value of QD measurement

图17 QD测量零偏校正试验Fig.17 QD measurement zero deviation correction experiment

4.2 角度串扰误差补偿验证试验

试验时使用的长导轨精度高，角度误差小于2″，对直线度串扰影响可以忽略。为了测试角度串扰误差补偿的效果，使用旋转台（ZX110-200，Lyseiki）模拟长导轨的偏摆角εy，如图18所示，旋转台从-60″到60″转动，每次转动约12″，共11个测量点，对水平直线度测量造成串扰误差，对比补偿前、补偿后的水平直线度测量结果，从而验证串扰误差补偿效果，如图19所示。试验结果表明，偏摆角对水平直线度测量产生串扰误差，补偿前水平直线度测量误差在±1.4 μm以内，存在斜率，补偿后消除了斜率，即偏摆角产生的串扰误差，水平直线度测量误差在±0.2 μm以内，其中还包含其它误差因素，因此，补偿后串扰误差可忽略不计。

图18 角度串扰误差模拟试验Fig.18 Simulation experiment of angular crosstalk error

图19 角度串扰误差补偿测试结果Fig.19 Test results of angle crosstalk error compensation

4.3 稳定性试验

在测量距离5 m处进行了稳定性测试，测试时间为3 h，同时记录未补偿和补偿光束角度漂移的直线度数据，结果如图20所示。试验结果表明，光束角度漂移对直线度测量产生误差，补偿后稳定性在±0.5 μm以内，效果显著。同时注意到，测量数据仍然有漂移，分析可能的主要因素有环境温度变化造成光束传播路径上折射率梯度变化，造成光束偏折；测量接收端受温度影响，产生热变形；激光器长时间工作后，激光光强分布变化等。

图20 直线度测量稳定性测试结果Fig.20 Straightness measurement stability test results

5 结论

本文针对长导轨五自由度测量装置中直线度的精密测量要求，对直线度测量单元进行了优化设计。首先，在光路中增加了望远物镜结构，建立了光束角度漂移补偿模型；然后，分析了角度串扰对直线度测量引入的误差，建立了角度串扰误差补偿模型；最后，提出了一种多项式拟合与三次样条插值拟合相结合的QD分区间标定方法，解决了长距离下QD非线性及灵敏度变化的问题。试验结果表明：在5 m长导轨上、±400 μm量程内，与激光干涉仪测量结果对比，标定后QD测量误差标准差小于0.3 μm，相比于线性插值法标定具有明显优势，角度串扰补偿与光束漂移补偿均具有良好的效果，其中角度对直线度的影响可忽略不计，3小时内直线度漂移小于±0.5 μm，实现了长导轨直线度的精密测量。