振动波在质量偏心Timoshenko梁非连续处的传播特性研究

王 剑， 袁秀峰， 胡永彪

(1. 法兰泰克重工股份有限公司，江苏 苏州 215211； 2. 长安大学 工程机械系，西安 710064)

在分析船舶、舰艇低频振动问题时，通常将船体、艇体简化为梁模型[1-2]。由于空间限制或下潜需求，船舶或潜艇内部设备的布置存在非均匀性，导致质心往往在截面形心的下方。这种质量偏心梁模型在纵垂面的弯曲振动，会同时引起梁的纵向振动[3]。由于梁的纵向振动对应圆柱壳周向波数n=0的模态，其在壳体低频声辐射中占据主导地位[4]。实际的简化梁模型中往往存在非连续性，比如支撑、边界、变截面及转角等，同时，考虑到振动的物理本质是波的传播。因此，很有必要开展质量偏心梁的弯-纵耦合振动研究，尤其应从振动波的角度，通过观测波在非连续处的反射与透射特性，来讨论其弯-纵耦合效应。

针对载荷的复杂性[5]，或者梁截面的非对称性所引起的耦合振动问题，赵晔等[6]针对船体的薄壁开口梁，虞爱民等[7]针对椭圆截面的实心梁，分别研究了弯曲与扭转的耦合振动。但是，目前关于质量偏心梁在纵垂面弯曲振动引起纵向振动的讨论较少。

由于可以更好地从物理角度解释机理，大量学者研究了梁结构中振动波的传播。Fahy[8]发现杆中的纵向波为非频散的传播波，Timoshenko梁中的弯曲波一组为衰减波；另一组为传播波，且在梁的截止频率处发生衰减波向传播波的转变。Ji等[9]利用截面变化改变弯曲波的波速，从而提高振动能量收集效率。Mead[10]从波传播的角度，研究了周期支撑梁结构在对流压力场下的动力学响应。Cheng等[11]分析了周期梁结构声子晶体中弯曲波的频散特性，尤其针对波数为复数的弯曲波进行了详细讨论。Mace等[12]利用有限元法分析了梁模型中的波数、群速度等，作者认为此方法最大的优势是可以直接使用传统有限元中梁的质量和刚度矩阵。针对周期支撑的梁结构[13]及包含集中质量块的周期梁结构[14]，学者们研究了存在裂纹时，结构中振动波的特性。Kalkowski等[15]用试验测量了变截面梁中的弯曲与纵向波数。Mace[16]及Mei等[17]分别针对Euler和Timoshenko梁，详细分析了振动波在弹性支撑、边界、变截面处的传播特性，为利用行波法研究非连续复杂梁结构的动力学特性打下基础。

可见，针对质量偏心梁中弯-纵耦合振动波在非连续处的传播问题，相关研究还比较欠缺。

因此，本文在已经推导了质量偏心Timoshenko梁弯-纵耦合振动控制方程[18]，及上述研究的基础上，将通过分析弯曲传播波、弯曲衰减波、纵向波在梁结构非连续处的透射、反射特性，对振动波的耦合及转变现象进行讨论，进而从波的角度提供对复杂偏心梁弯-纵耦合振动的理解，并为其固有特性及响应的求解创造条件。

1 公式推导

在将舰船或潜艇等效为梁模型时，由于设备往往布置在船/艇身水平剖面以下，且其对整体的动力学响应主要影响体现为附加质量。因此，如图1所示的质量偏心梁截面，偏心梁考虑了附加质量引起的形心与质心不重合。其中：D为形心；G为质量中心；e为梁质心和形心之间的距离。

由于梁的质心和形心不重合，梁的转动将引起质心的纵向位移。而转动造成质心的横向位移属于二阶小量，可以忽略。梁微元转动引起质心的纵向位移为eθ。同时质心的纵向运动诱使梁微元产生ρAe2dx的附加转动惯量。

这里直接给出考虑质量偏心的Timoshenko梁弯-纵耦合振动方程如下，具体推导过程见附录A

(1)

式中：ρ为梁的密度；A为截面面积；I为截面惯性矩；u为纵向位移；v为横向位移；θ为截面转角；E为弹性模量；k为截面的剪切系数；G为剪切模量。

采用分离变量法

(2)

代入式(1)得

(3)

若使式(3)有非零解，则其系数矩阵的行列式为零，由此可得到特征方程

E2kGI·S3+Eρω2(EI+2kGI+2kGAe2)·S2+
ρω2(2EIρω2+2EAe2ρω2+kGρIω2+kGρAe2ω2-
kGEA)·S+ρ2ω4[(I+Ae2)ρω2-kGA]=0

(4)

式中：S=λ2；ω为角频率。

由于本模型不考虑阻尼，计算出的波数λ为实数或者纯虚数，即式(4)有三个不等实根[19]，其开平方根后取正值

(5)

即式(4)共可求得六个波数，分为三组，每组内的两个波数互为相反数，波数为正值时是负行波，为负值时是正行波。其中λ1，-λ1对应弯曲波中的衰减波； iλ2，-iλ2对应弯曲波中的传播波； iλ3，-iλ3对应纵向波，是一种传播波。

故而振型函数可表示为

(6)

(7)

(8)

可以看出，上述三种位移均由弯曲衰减波、弯曲传播波和纵向传播波组成，振型系数Bj，Cj，Dj(j=1,2,3)右上角标取“+”时，为沿x轴正方向传播的正行波；取“-”时，为沿x轴负方向传播的负行波。

将振型函数表达式(6)～式(8)代入式(2)，进一步再代入控制方程式(1)，可以得到各组位移系数之间的关系

下面将考察振动波在弹性支撑、边界、变截面处及转角处的传播情况。同时，为了消除同一模型中偏心率变化对振动波传播特性分析的干扰，下面四个模型中均将偏心率设置为统一数值，即不考虑非连续处左右偏心率的变化。

1.1 弹性支撑处

(9)

记x=0左侧的位移分别为V-，U-，Θ-，右侧分别为V+，U+，Θ+，即

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

在x=0处给出位移连续条件

V+=V-,U+=U-,Θ+=Θ-

(16)

力学平衡条件

KVV±+Q-=Q+,M--KRΘ±=M+,N++KNU±=N-

(17)

式中：N为轴向力；M为弯矩；Q为剪力。即[20]

(18)

将位移表达式(10)～式(15)代入位移连续条件式(16)，得到

(19)

其中，

将位移表达式(10)～式(15)，内力表达式(18)代入力平衡条件式(17)得

(20)

其中，

结合式(19)、式(20)，得到透射矩阵与反射矩阵

(21)

(22)

1.2 边界处

如图3所示，正行入射波c+在弹性边界处反射，生成负行反射波c-。入射波与反射波之间的关系是

(23)

在x=0处的力平衡条件

Q-+KVV-=0，M--KRΘ-=0，N-+KNU-=0

(24)

将位移表达式(10)～式(12)，内力表达式(18)代入力平衡条件式(24)得

(25)

其中，

因此，弹性边界处的反射矩阵为

(26)

1.3 变截面处

图4所示的截面突变发生在x=0处，正行入射波c+在此处产生正行透射波g+及负行反射波c-。

变截面处透射矩阵、反射矩阵与振动波之间的关系见式(9)，变截面处两端位移关系式见式(16)，力平衡条件为

Q-=Q+，M-=M+，N-=N+

(27)

将式(10)～式(15)代入位移连续条件式(16)得

(28)

其中，

将位移表达式(10)～式(15)，内力表达式(18)代入力平衡条件式(27)得

(29)

其中，

式中：几何及材料参数下标1为左边梁，下标2为右边梁；波数和位移系数比例上标L为左梁，上标R为右梁。

结合式(28)、式(29)，得到透射矩阵与反射矩阵

(30)

(31)

1.4 转角处

如图5所示，在横梁和竖梁90°转角处，正行入射波c+在此处产生透射波g+及负行反射波c-，选择转角处为x=0。

根据图5中位移及力的分析，在变截面处位移连续条件

力平衡条件

式中：下标1为横梁的相关参数；下标2为竖梁的相关参数；下标J为连接块的相关参数，字母J为连接块的转动惯量；“··”为对时间求两阶偏导；h1为横梁截面宽度；h2为竖梁截面宽度。

消去连接块的量，得到位移连续条件式(32)，力平衡条件式(33)

(32)

(33)

横梁上的位移由正行波c+和负行波c-组成，因此其表达式为

(34)

(35)

(36)

竖梁上的位移由正行波g+组成，因此其表达式为

(37)

(38)

(39)

式中： 上标H为横梁的相关参数；上标V为竖梁的相关参数。

将位移表达式(34)～式(39)及内力表达式(18)分别代入式(32)、式(33)，得到内力平衡方程组

(40)

其中，

位移连续方程组

(41)

其中，

结合式(40)、式(41)，得到透射矩阵与反射矩阵

(42)

(43)

2 算 例

表1给出了一个圆形截面梁的几何与物理参数，其中：υ为泊松比；R为梁截面半径；剪切因子k是根据Cowper[21]对圆形截面的研究所取。

表1 计算模型的参数Tab.1 Parameters of the model

下面的算例基本采用表1中的参数，出现其他参数时会在相应算例中加以说明。

2.1 验 证

从图6可以看出，透射矩阵每列元素的幅值相等，反射矩阵每行的元素幅值相等，且本文推导结果与Mei等的研究结果完全吻合，证明了本文推导的正确性。

2.2 弹性支撑处

针对表1所给的模型参数，在其中部模拟简支支撑。各质量偏心率下透射矩阵元素的幅值如图7所示，反射矩阵元素的幅值如图8所示。

由图7可知，不存在质量偏心时：①弯曲波透射矩阵的每列元素幅值相等，即入射衰减波对透射衰减波和传播波的贡献度相等，入射传播波也具有相同特点；②纵向波完全透射。

存在质量偏心时：①随着质量偏心率的提高，截止频率会下降，在ee=0.9时，截止频率下降到未偏心的1/2左右，在图7的黑色实线，也就是与透射衰减波有关的曲线中均有所体现；②入射衰减波对透射衰减波贡献受偏心影响不大，一直处于主导地位，对透射传播波贡献度随偏心率增大而减小，对透射纵向波的贡献度随着偏心率增大而增大；③入射传播波对透射衰减波贡献受偏心影响不大，超过截止频率后一直处于次要地位，对透射传播波及纵向波的贡献度，随着偏心率增大而增大；④入射纵向波对透射传播波及纵向波在低频时贡献较大，随着频率及偏心率的增大，其对透射的三种波型贡献明显减小。

对于反射特性，不存在质量偏心时：①弯曲波反射矩阵的每行元素幅值相等，即入射衰减波及传播波对反射弯曲波拥有同样的贡献度，其中，对反射衰减波的贡献度均较小，对反射传播波的贡献度均较大；②纵向波无反射。

存在质量偏心时：①反射矩阵中每一列的元素幅值相等，也就是说入射的三种波型对反射波有相同的贡献；②以入射衰减波为例，它对反射衰减波贡献度受偏心影响不大，但其对反射传播波及纵向波的贡献度，随着频率及偏心率的增大，分别减小和增大。

2.3 边界处

针对表1所给的模型参数，在其右端模拟简支支撑，由于不存在透射，只给出反射曲线，如图9所示。

从图9可以看出，反射矩阵对角元素的幅值是1，非对角元素均为零，也就是说三种入射波型并不会产生耦合和转变，并且质量偏心对此并无影响。

2.4 变截面处

三组入射波从半径为0.2 m的梁段入射至0.15 m的梁段，其他参数与表1一致，其透射矩阵第1、第2、第3列元素的幅值如图10所示；其反射矩阵第1、第2、第3列元素的幅值如图11所示。

通过图11可以看出，反射矩阵并不是对角占优矩阵，弯曲衰减波对反射弯曲传播波的贡献随着偏心率的增大而减小，弯曲传播波对反射弯曲传播波及纵向波的贡献，随着偏心率的增大而增大，在偏心率ee>0.6 时尤为显著。

2.5 转角处

三组入射波从半径为0.2 m的横梁入射至0.15 m的竖梁，其他参数与表1一致，其透射矩阵第1、第2、第3列元素的幅值如图12所示。其反射矩阵第1、第2、第3列元素的幅值如图13所示。

从图12可以看出，透射矩阵第1列元素的幅值在竖梁截止频率处均有波谷，即三组入射波在竖梁截止频率处对弯曲衰减波的贡献均为极小值，在变截面处，即图10中亦有此特点。随着偏心率的增大，弯曲衰减波、传播波对纵向波的贡献均变大，而纵向波对弯曲波的贡献却变小。

从图13可以看出，图13(b)、图13(c)中黑色曲线在横梁截止频率处均有波谷，即弯曲传播波与纵向波在横梁截止频率处对弯曲衰减波的贡献均为极小值，此特点与变截面处，即图11中所示亦相同。随着偏心率的增大，弯曲衰减波、传播波对纵向波的贡献均变大，而纵向波对弯曲波的贡献却变小。

3 结 论

本文针对质量偏心梁的弯-纵耦合振动，以弯曲衰减波、弯曲传播波、纵向波这三组波的反射与透射为研究对象，推导了在弹性支撑处、边界处、变截面处、转角处的反射、透射矩阵，并给出算例，重点分析了质量偏心下这三组波的耦合与波型转变。得到以下结论：

(2) 随着偏心率或频率提高，弯曲波对纵向波贡献变大。通过式(3)得到的系数B和C关系式可以看出，纵向波系数与弯曲波系数之间的比值与eω2成正比。因此，弯曲波在偏心率或频率提高时，其对纵向波贡献变大。

(3) 在边界处，三种入射波型并不会产生耦合和转变，并且质量偏心对此无影响。

(4) 波入射位置存在截面尺寸变化时，弯曲衰减波的透射系数在新尺寸对应的截止频率处有极小值。这是由于弯曲衰减波在此截止频率处转变为了弯曲传播波。

附录A

对于正文图1中的梁单元，根据纵向力平衡关系

(A.1)

根据剪力平衡关系

(A.2)

根据弯矩平衡关系

(A.3)

式中：Q为剪切力；N为轴向力；M为弯矩；γ为剪切应变；θ为转动角度；v为梁的横向位移；u为梁的纵向位移；I为梁截面的截面惯性矩；ρ为梁的密度；A为梁的截面面积，本文研究对象是沿长度方向均匀的梁，因此上述梁的几何参数和物理参数沿梁的长度方向均为常数。

Timoshenko梁中内力和位移之间的关系为

(A.4)

(A.5)

(A.6)

将式(A.4)～式(A.6)代入式(A.1)和式(A.2)，经过整理，即可得到质量偏心Timoshenko梁的弯-纵耦合控制方程式(A.7)，即正文中的式(1)。

(A.7)