Ostrowski型和Ostrowski-Grüss型不等式的加强

时统业,曾志红

(1. 海军指挥学院,江苏 南京 211800; 2. 广东第二师范学院 学报编辑部,广东 广州 510303)

1 相关知识

定理1[1](Ostrowski 不等式)设 :f[a,b]→R 在[a,b]上连续,在(a,b)上可微,则对任意 x ∈[a,b],有

文[2]证明了若f 在[a,b]上满足M-Lipschitz 条件,即对任意 t1,t2∈[a,b],有 | f(t2)-f(t1)|≤M |t2- t1|,则Ostrowski 不等式也成立．

利用Grüss 不等式[3],可建立Ostrowski-Grüss 型不等式. 关于Ostrowski 型不等式和Ostrowski-Grüss型不等式的结果见文[4～11]．本文参照文[12]引入参数求最值的方法,建立若干带有参数的不等式,在特殊情况下得到Ostrowski 型不等式和Ostrowski-Grüss 型不等式的加强．

为方便起见,引入记号

引理1[4]设f 在[a,b]上可微,且f＇在[a,b]上可积,λ∈ [0,2],则对于任意 x ∈[a,b],有

引理2设f在[a,b]上二阶可微,且f＇在[a,b]上可积,λ∈[0,2],则对于任意x∈[a,b],有

2 主要结果

定理2设f在[a,b]上可微,且f＇在[a,b]上可积,存在常数γ和Γ(γ＜Γ),使得对于任意t∈[a,b],有γ≤f＇(t)≤Γ,则对于任意λ∈[0,2]和任意x∈[a,b],有

其中

证明先考虑x≠a的情形．将P表示为

利用式(2)得γ(x-a)2-Γ(b-x)2≤P≤Γ(x-a)2-γ(b-x)2,于是有 -(2 -λ)τ(Γ-γ)≤U≤λτ(Γ-γ),从而在式(3)中取ε=ε1,则式(1)的右边不等式得证.

再考虑x=a的情形．记对任意常数,由引理1 得

推论1设条件同定理2,则对任意λ∈ [0,2]和任意x∈[a,b],有

证明如果A1+B1≤I≤A2-B2,则A1+min{B1,B2} ≤I≤A2-min{B1,B2},从 而利用这个事实,由定理2 即得推论.

注1推论1 是文[5]定理的加强．

推论2设f在[a,b]上可微,f＇在[a,b]上可积,存在常数γ和Γ(γ＜Γ),使得对于任意t∈[a,b],有γ≤f＇(t)≤Γ,则对任意λ∈ [0,2],有

证明在定理2 中取x=a即可得证．

注2因为

所以推论2 为文[4]推论5 中不等式的加强．

推论3设f在[a,b]上可微,f＇在[a,b]上可积,存在常数γ和Γ(γ＜Γ),使得对于任意t∈[a,b],有γ≤f＇(t)≤Γ,则对任意λ∈ [0,2],有

证明在定理2 中取即可得证.

推论4设条件同定理2,则对任意x∈[a,b],有

证明在定理2 中取λ= 0即可得证．

推论5设f在[a,b]上可微,f＇在[a,b]上可积,存在常数M,使得对于任意t∈[a,b],有|f＇(t)|≤M,则对任意x∈[a,b],有

证明在推论4 中取Γ=-γ=M即可得证．

注3推论5 给出了Ostrowski 不等式的加强．

推论6设条件同定理2,则对任意x∈[a,b],有

证明在定理2 中取λ= 2即可得证．

定理3设f:[a,b]→R 满足(γ,Γ)-Lipschitz 条件,即存在常数γ和Γ,使得对于任意s,t∈[a,b],s＜t,有γ(t-s)≤f(t)-f(s)≤Γ(t-s),则对任意λ∈ [0,2],x∈[a,b],式(1)成立．

证明当x≠a时,对任意常数有

当x=a时,对任意常数有

以下证明同定理2,故略去．

推论7设条件同定理3,则对任意λ∈[0,2]和任意x∈[a,b],式(5)成立; 对任意λ∈ [0,2],式(11)～(15)成立．

推论 8设条件同定理3,则对任意λ∈ [0,2],式(6)～(10)成立．

定理4设f在[a,b]上二阶可微,f＇在[a,b]上可积,存在常数γ和Γ(γ＜Γ),使得对于任意t∈[a,b],有γ≤f＇≤Γ,则对于任意λ∈ [0,2]和任意x∈[a,b],有

证明先考虑x≠a的情形．对任意常数ε∈ [-λ(x-a),(1 -λ)(x-a)],由引理2 得

在式(17)中取ε=ε3,则式(16)的右边不等式得证．

再考虑x=a的情形．对于任意常数ε∈ [-λ(b-a),(1 -λ)(b-a)],令t5=(1 -λ)b+γa-ε,则

在式(18)中取ε=ε4则式(16)的右边不等式也成立. 当γ≤f＇(t)≤Γ时,-Γ≤ -f＇(t)≤ -γ,对-f应用已证明的结果,则式(16)的左边不等式得证．

推论9设条件同定理4,则对任意x∈[a,b],有

进而有

证明在定理4 中取λ= 0即可得证．

推论10设条件同定理4,则对任意x∈[a,b],有

进而有

其中

证明在定理4 中取λ=1 即可得证．

注4注意到,所以式(21)是文[10]式(8.5)的推广和加强．

定理5设f:[a,b]→R 满足(γ,Γ)-Lipschitz 条件,即存在常数γ和Γ,使得对于任意s,t∈ [a,b],s＜t,有γ(t-s)≤f＇(t)-f＇(s)≤Γ(t-s),则对任意λ∈[0,2],x∈[a,b],式(16)成立．

证明先考虑x≠a的情形．对任意常数ε∈ [-λ(x-a),(1 -λ)(x-a)],有

再考虑x=a的情形．对于任意常数ε∈ [-λ(b-a),(1 -λ)(b-a)],令t5=(1 -λ)b+γa-ε,则

接下来的证明类似于定理4,故略去过程．

推论11设条件同定理5,则对任意x∈[a,b],式(19)和式(20)成立．

推论12设条件同定理5,则对任意x∈[a,b],式(21)和式(22)成立．