例析平行四边形几个重点性质的应用

⦿甘肃省平凉市崆峒区崆峒镇初级中学 苏天伟

1 引言

平行四边形及其性质既是初中数学的重点知识，又是历年中考命题的热点[1].由此可见，平行四边形的性质既是基础又是重点，所以对于初中生而言，了解并掌握其中的几个重点性质非常有必要.基于此，笔者对平行四边形性质中的几个重点进行研究，通过例题分析和方法探究给一线教师教学提供参考意见.

2 平行四边形的性质

平行四边形的性质是北师大版教材八年级数学下册第六章第一节的内容[2].教材在简要给出平行四边形的定义后，紧接着安排了平行四边形的性质，顺序和内容如下.

性质1平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点就是它的对称中心.

例1如图1，直线BD可以将ABCD分成全等的两个部分，这样的直线还有很多.

图1

(1)多画几条这样的直线，看看它们有什么共同的特征；

(2)尝试用中心对称图形的性质去解释你的发现.

解析：(1)先画出几条这样的直线，然后观察这些直线的共同特征，如图2所示.

图2

性质2平行四边形的对边相等.

例2小明用长50 cm的铁丝围成了如图3所示的平行四边形.已知一条边的长为16 cm，求平行四边形其他三边的长.

图3

解析：根据平行四边形的性质2知，AB=CD，AD=BC，则AB=CD=16(cm)，进而求出其他两边长均为9 cm.

性质3平行四边形的对角相等.

例3如图4所示，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AB和DC边上的点，且AE=CF.

图4

求证：△ADE≌△CBF.

分析：本题应根据平行四边形的性质先得到AD=CB和∠A=∠C，然后由AE=CF得到△ADE≌△CBF.

性质4平行四边形的对角线互相平分.

例4如图5所示，四边形ABCD是平行四边形，AC和BD是它的两条对角线，且相交于点O.已知OB=3，OA=4，AB=5.试求平行四边形的其他各边长，并求出两条对角线的长.

图5

分析：本题由OB=3，OA=4，AB=5，根据勾股定理逆定理得到△AOB是直角三角形，且AC⊥BD，再结合平行四边形的性质得到DC，AD，BC的长度和两条对角线的长.

3 平行四边形性质学习的几个重点

平行四边形的性质比较多，有些容易搞混淆，一旦混淆，将极不利于“特殊的平行四边形”的学习.所以，在学习平行四边形性质时，应注意以下几个重点：

第一，巧用教材编写意图或规律学习.

北师大版初中数学教材在介绍几何图形时遵循一定的规律，掌握该规律对学习其他的几何知识非常有利[3].例如，在介绍平行四边形时，先介绍定义，然后介绍性质，再介绍判定定理.学生在九年级接触“特殊的平行四边形”时，也是按照“定义—性质—判定定理”这一顺序进行.如，在介绍平行四边形的性质时，是根据对称性、(对)边、(对)角、对角线的顺序逐一介绍，那么学生在九年级接触特殊的平行四边形的性质时，也是按照中心对称性、(对)边、(对)角、对角线的顺序开展学生.本文将这两点规律总结为如图6所示的结构图.

图6

把握规律有助于学生理解和掌握后续的知识，同时，也有助于提高学生的思维逻辑能力.学生在描述图形的性质时会从对称性、(对)边、(对)角、对角线的顺序逐一进行，这一点笔者在实际教学中请学生回答相关图形的性质时得到了充分的体现.

第二，准确把握性质与判定定理的区别.

就如平行线的性质和判定定理至今仍有很多学生易搞混淆一样，平行四边形的性质和判定定理也极易搞混淆，如例5中的错解.

例5如图7所示，E，F是ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF.

图7

求证：四边形BFDE是平行四边形

错解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，∠DAC=∠BCA(平行四边形的判定定理).

∵AE=CF，

∴△ADE≌△CBF(SAS).

∴∠DEA=∠BFC.

∴∠DEF=∠BFE.

∴DE∥BF.

同理，BE∥DF.

∴四边形BFDE是平行四边形(平行四边形的性质定理).

很明显，在通过平行四边形ABCD得到AD=BC，∠DAC=∠BCA时，应该是利用了平行四边形的性质定理，而通过DE∥BF，BE∥DF得到四边形BFDE是平行四边形，应该是利用了平行四边形的判定定理.其实，要准确区分利用的是性质还是判定定理，只需观察上下解题步骤之间的关系.如果平行四边形的条件写在前，那么就是利用性质定理；如果平行四边形写在后，那么就是利用判定定理.

由此可见，准确把握性质与判定定理之间的区别，是清楚且牢固掌握平行四边形的性质定理、判定定理的前提.简单来说，性质是已知了平行四边形之后才得知，而判定定理是尚未清楚图形是否为平行四边形，即性质是已经知道了图形为平行四边形，而判定定理是尚不知道图形为平行四边形，需解题者加以证明[4].

第三，注意与平行四边形综合的知识点.

平行四边形和三角形一样是初中几何非常基础的知识，在中考题中容易与其他知识点综合生成难度较大的题目，甚至是压轴题.

教师在教学中，不仅要注重本章节知识点的教学，还应该将与之有联系的其他知识点结合起来复习.如平行线、角平分线、垂直平分线等就可以相互结合起来复习.

例6如图8，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB，且BF=AE.求证：EF=BD.

图8

证明：∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2.

∵DE∥AB，

∴∠1=∠3.

∴∠2=∠3.

∴AE=DE.

∵BF=AE，

∴DE=BF.

∵DE∥BF，

∴四边形BDEF是平行四边形.

∴EF=BD.

4 结语

总之，教师在讲解平行四边形的性质时，不能仅局限于本节知识点，而应该将视野扩大，这更有利形成知识系统.学生在学习的过程中，既要注意易错之处，又要借助本节知识点构建数学知识网络，以更丰富、更完善的知识网络体系帮助自己提升解决数学问题的能力.