“互联网＋”背景下数学建模教学设计与探索——以“券能券智”建模设计为例

刘晓玉 唐学宁 雷 蓉

(广东省珠海市斗门区第一中学)

《普通高中数学课程标准(2017 年版2020 年修订)》明确指出,数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁,是数学应用的重要形式.数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养,它既是应用数学解决实际问题的基本手段,也是推动数学发展的动力.数学建模安排在必修课程的主题五和选择性必修课程的主题四,是高中阶段数学课程的重要内容.因此,如何开展数学建模教学,并以此来帮助学生提高数学核心素养,是新时期一线教师值得思考的问题.面对新时期的挑战,笔者带领团队在建模教学上进行了一些探索和尝试,并借本文将做法、经验及反思进行总结,抛砖引玉,希望读者能受到一些启发.

首先,要选好建模问题.众所周知,问题是开展数学教学的重要载体,发现问题要比解决问题更为重要.在建模教学中,一个好的选题就意味着成功的开始,数学建模不能等同于教师编一道应用题,教师讲题,学生模仿解题的套路.数学建模活动要引导学生关心社会、关心未来,学会关联、学会交流.笔者的团队倾向于从社会的热点问题中寻找数学建模的题材,社会有很多热点问题,需要教师筛选出贴近高中学生实际,适合高中学生的认知水平,背景又不会过于复杂,在建模求解过程中无须补充大量的知识就可入手的热点问题.笔者结合当前社会热点问题——新冠肺炎疫情,寻找建模题材.

2020年,一场突如其来的新冠肺炎疫情,对生产和生活造成了极大的影响和冲击.基于该背景,笔者筛选出了几个问题.

问题1:奥运会改期,能否通过数学建模预测:如果奥运会正常举行,一些我们感兴趣的比赛项目成绩受到的影响.

问题2:线下复课之后,学校的食堂管理和宿舍管理一定会面临很大的考验,能否关联数学知识,设计出合理的分流方案?

问题3:为抗击疫情带来的影响,提升消费热度,增加城市温度,包括珠海在内的多个城市开展了发放消费券的活动,能否从这个热点问题进行数学关联,对消费券的作用做一个预判?

笔者希望选取一个能够让学生从多角度关联数学知识、开放性程度较高的问题,希望学生在建模过程中更能发挥想象力,开展更有价值的数学探究活动.基于这些出发点,团队最终选择了问题3,带领学生研究数学建模:“券”能“券”智——消费券中的数学模型(以下简称“券能券智”).该案例在首届广东省高中数学建模课堂教学设计优秀作品征集交流活动中获一等奖.

笔者认为,寻找数学建模问题要注意以下几点.

第一,问题要源自生活,是学生感兴趣的、关注度高且具有意义的问题;第二,问题难度要适中,有利于大多数学生参与讨沦,学生能够上手并深度参与.过于简单或复杂的问题都不利于调动学生参与建模活动的积极性;第三,问题要具有开放性和挑战性,营造“问题场”,利于学生展示自己独到的视角和见解.

其次,合理设计教学.选择了适当的建模问题后,如何开展教学? 我们认为,数学建模教学要把握两个基调:第一,一定要让学生真正经历数学建模“建”的过程;第二,教师不能代替学生的工作,不做机械式的解题训练,不以单边的传授教学形式进行建模教学.以“券能券智”的教学为例,完成整个建模过程需要花费大约3周时间,团队(共3位教师)每位教师带领2位学生展开研究,教师只起定调引导作用,建模过程主要由学生在课后及周末完成,集中研究时间4节课,共有6个环节:

1)实际问题情境:珠海市开展了以“乐游乐享,惠在珠海”为主题的“温暖珠海”消费节活动,分5期共向市民派发1亿元消费券,提升消费热度,促进零售、餐饮、文体旅游等行业加速复苏.

在本环节里,由于当时疫情严重,3位教师6位学生通过腾讯课堂对前期老师们确定的3个课题进行讨论,分析其中的优劣,引导学生体验做“券能券智”这个建模活动的意义.

2)信息采集:组织学生收集我国各地以往与现在的消费券发放的有关信息,比如消费券发放规则、消费券使用情况及效果等.

3)将实际问题理想化,进而数学化.这一环节至关重要,我们将学生分成3个小组,讨论数学关联,学生踊跃参与其中,纷纷建言献策,最终师生达成共识:消费券活动中最重要的一环就是,消费券的使用到底带来了多大的消费额? 要想做到“预判”,就要能够估计最终的消费额,此时可以关联函数的拟合,也可以关联数学期望,还可以关联独立性检验等.教师再进一步引导学生突出主要因素,忽略次要因素,将实际问题理想化为统计问题.

4)构建数学模型.给学生两周的时间,设计问卷,收集数据,构建模型并求解模型.教师引导学生讨论各小组的需求,设计一份问卷,并督促和协助学生做好调查研究工作,鼓励学生结合问题,查阅相关资料,检索已有成果,用“头脑风暴”的形式集思广益,初步形成解决问题的大致思路和方案,并分析操作的可行性.每周2次用固定时间集体交流的形式对学生建模情况进行指导,每组学生分别向大家介绍自己数学建模的具体进展情况.

5)模型呈现.学生的建模小组共做出了4个模型,教师引导学生,把所得结果提升为有意义的结论.

模型1:进行消费券和消费意愿的独立性检验.

表1 消费券与消费意愿2×2列联表

结论:发放消费券对刺激个人消费有效果,提升了消费热度,是一项有意义的措施.

模型2:以频率估计概率(仅保留小数点后3位),估计各种面值的消费券带来的消费金额的期望.使用10元面值消费券时产生的消费额的概率分布如表2所示.

E(x1)＝50×0.740＋70×0.140＋90×0.076＋110×0.025＋130×0.003＋140×0.015＝58.88,所以使用10 元面值消费券产生消费额的数学期望是58.88元.

使用20元面值消费券时产生的消费额概率分布如表3所示.

表3

所以使用20元面值消费券产生消费额的数学期望是106.27元.

使用50元面值消费券时产生的消费额概率分布如表4所示.

表4

E(x3)＝250×0.749＋350×0.131＋450×0.058＋550×0.033＋650×0.018＋700×0.011＝296.75,所以使用50元面值消费券产生消费额的数学期望是296.75元.

使用100元面值消费券时产生的消费额概率分布如表5所示.

表5

所以使用100元面值消费券产生消费额的数学期望是600.4元.

结论:由于各种面值对消费金额放大的倍数不一致,放大倍数最多是100元面值,有6.004倍,放大倍数最小为20元面值,有5.3135倍,所以估计1亿元消费券带来的消费额的期望最多是6.004亿元,最少是5.3135亿元.

模型3:消费券使用方向统计图,如图1所示.

图1

结果显示,较多的消费券流向受疫情影响较大的餐饮业,民众愿意外出就餐,说明政府防疫措施有力,民众信心在增强,服务消费人气增加.并且餐饮行业属于产业链上游带动作用强、横向关联行业多的行业品类,带动的行业越多,引起的“乘数效应”越明显.

模型4:消费券与消费金额间的函数拟合(如图2).由调查问卷中提取数据列表(如表6),并利用Excel进行回归分析.

表6

图2

得到函数y＝5.1083x,因此,预测1亿元消费券可以带来5.1083亿元的消费额.

结论:消费券活动能够有效促进消费回补.

6)模型修正.集中学生汇报模型及讨论模型的修正.在模型1中,消费券需要市民本人自愿申领,所以根据这个发放规则来看领取消费券的多少会影响市民的消费次数和消费金额,在进行消费券和消费意愿的独立性检验基础上,可以再进行其他分类变量的独立性检验,比如根据调查问卷的统计结果判断性别与消费意愿是否有关等.另外,由于实际条件的限制,发放问卷的群体过于集中且样本容量不够大,样本代表性受限,影响预测效果.在模型2中,因为涉及隐私,所以问卷中设计的数字都是范围,建模中以区间中点来代替具体数字,因此只具有估算的效果.另外,各种面值对消费金额放大的倍数不一致,能不能通过官方数据知道每种面值的消费券的发放比例? 如果可以的话,把发放比例考虑进去,那么会更加准确地估计消费金额的数学期望.在模型3中,消费券的流向中超市的使用应该要细化,若只是使用在生活必需品的消费上,则会影响消费券的“乘数效应”,若是使用在产业链较长的方面,消费券的“乘数效应”将会更明显,统计结果才会有指导意义.在模型4中,只是对消费券金额与消费金额进行了线性函数的拟合,若是非线性的拟合,拟合效果会不会更好? 更具有预测的意义呢?并且在模型中预测1亿元消费券可以带来5.1083亿元的消费额.预测的目标与所给的数据范围离太远,大大影响预测结果的准确性,建议预测10 万元消费券带来的消费金额较好.在热烈的讨论中,学生认识到,统计不存在绝对的正确或绝对的错误,关键是看设置的标准,标准不同,结论就会有差异.这样不仅培养了学生的数学建模素养,也培养了学生数据分析的素养,使学生对利用统计知识处理问题有了更深刻的认识.

最后,实践反思,数学建模课的教学要注意的几个问题.

1)教师要先于学生做到“用数学的眼光看世界”.教师在建模课堂中的主导作用很重要,只有教师善于发现生活中的数学关联,才能引导、启发学生去感受建模的魅力.因此教师要不断提升自己,坚持学习,大处着眼,小处着手,留心观察,善于联想发掘,从自己熟悉的标准入手,不断地开发出更多、更好的情境与问题,从而才能产生教学的创造.

2)教师要做好学生的选题指导工作.因为学生所拥有的数学知识尚不充分,缺乏研究经验,受研究方法不足等主观条件限制,或者学生自己选择的问题中不可预测的因素过多、涉及面太广等客观因素,往往会产生对所选问题的难度没有正确认识的现象,导致自己提出的问题不一定都能进行研究.因此教师应指导学生在选题时不要怕问题小,应选择自己比较熟悉的、能发挥自己特长的、变量较少的问题.

3)学生才是建模课堂的主体.数学建模应该重过程、重参与,更多地表现活动的特性,而不能成为教师讲题,学生模仿练习的套路.笔者认为,小组交流起到了承上启下的作用,既保证了人人动脑、人人发言、人人参与,同时也为下一步的展示交流做好了准备.学习小组分配方面应充分考虑学生的性格差异和学习能力,以便组内能够积极发言、充分交流、以优带差、共同进步.教师组织小组讨论交流,适当参与、引导薄弱小组的讨论,鼓励人人发言,并对各小组的研究进度给予指导,培养完整的学习成就感,并启发其学习与研究数学的兴趣.

通过教学实践,笔者对数学建模教学有了全新的认识,数学建模教学活动包括:对于给出的问题情境,经历发现数学关联、提出数学问题、寻找解决问题的思路、具体教学实施、解决问题、检验完善提升的全过程.新一轮的教育课程改革给中学数学建模带来了前所未有的机遇,虽然仍有很多教师把数学建模比喻成“阳春白雪”可望而不可即,但是通过专家和同行们对“券能券智”模型的鼓励和肯定,笔者感悟到,只要教师有热情、有认识、有追求,迎难而上,勇于实践,完全可以组织学生做好数学建模.困难是暂时的,资源和经验是在参与中快速增长的,建模的过程是师生共同成长的过程,教师在建模实践中积累经验,丰富专业知识,得到专业成长,为教育改革奉献出自己的一份力量.