复变函数与积分变换课程教学方法

华杰，董贺，汪玉海，张刚，汪津

复变函数与积分变换课程教学方法

华杰，董贺，汪玉海，张刚，汪津

（吉林师范大学 信息技术学院，吉林 四平 136000）

复变函数与积分变换课程是普通高等院校电子信息类、电气工程类、自动化等理工科专业的必修基础课程之一．为了提升课堂教学质量，利用翻转课堂教学模式提高课堂教学效率，利用可视化教学增强学生抽象思维及空间想象能力，利用应用实例加强课程知识点的理解，使学生系统、准确地掌握复变函数与积分变换的核心思想，增强学生数学思维能力，为后续专业课程的学习奠定基础．

复变函数；积分变换；教学方法；学习兴趣

复变函数与积分变换课程是高等数学的后续课程，也是高等院校电子信息类、电气工程类、自动化等理工科专业重要的基础课，通过该课程的学习，可以培养学生的逻辑推理、抽象思维以及空间想象等能力[1]．复变函数与积分变换课程在专业课程体系中具有承上启下的重要地位，相关的理论知识在自然科学与工程技术领域具有广泛的应用．随着电子信息技术的快速发展，新技术、新应用不断涌现．在新工科“宽口径”培养要求下，电子信息类专业培养方案中实践教学学时增加，课堂教学学时相应地有所减少[2]．这就要求教师要对复变函数与积分变换课程的知识点进行梳理，在“减课时不减质量”的前提下，优化课堂教学内容，改革教学方法，使学生系统、准确地理解和掌握复变函数与积分变换理论，实现课程教学目标．

1　利用翻转课堂教学模式提高课堂教学效率

复变函数的极限与连续、微积分、级数等概念与高等数学中一元实变函数相应知识点基本一致，可以看作是实数范围内的相应内容直接推广到复数范围，但复变函数也有许多其独有的性质和定理，这些是教学的重点和难点．针对这个特点，尝试利用翻转课堂（Flipped Classroom）教学模式来辅助完成教学，力争用时少，但质量高[3]．课前学生利用中国大学MOOC、智慧树网站平台以及国内重点大学（如北京师范大学、西安交通大学等）等开放的课程视频自学相关课节内容；课上师生针对疑难问题进行交流讨论，引导学生准确掌握课程知识点．与传统“满堂灌”的教学模式相比，翻转课堂的优势是通过多渠道的学习资源以及课堂互动讨论环节，培养学生自主学习和独立思考的能力[4-6]．但教师在布置自学内容时要设计探究性的问题，引导学生带着问题边学习边思考，这是利用翻转课堂教学模式提高课堂效率的重要保证．复变函数中的泰勒级数与高等数学中幂级数相关度很高，可以利用翻转课堂组织该部分教学．在学生自学前，教师提出思考问题：幂级数的和函数在其收敛圆域内为解析函数，圆域内解析的函数是否可以展成幂级数，如何展开成幂级数，如何确定展开级数的收敛圆域半径．课堂上通过师生讨论给出问题的答案．这样即节省了宝贵的课堂授课时间，又培养了学生的主动探究能力．翻转课堂同样可以延伸到课外的QQ群、微信群中，形成线上/线下混合的讨论式、探究式辅助教学模式，使学生获得较好的学习效果．

但是需要注意的是，即使利用翻转课堂，教师在课堂上也需要对重要的知识点进行详细的讲解．如复数四则运算及乘方、开方运算，这部分内容学生在初等代数中接触过，可以利用翻转课堂开展教学．但这部分知识在后续的复积分估值不等式以及解析函数的性质定理中反复应用．因此，教师在课堂上解答课前问题的同时，仍需通过例题形式突出讲解复数运算的几何意义，加深学生对运算法则的理解，为后续定理证明奠定良好的基础．

2　利用可视化教学增强学生抽象思维及空间想象能力

z=5*cplxgrid（30）;

figure

z=5*cplxgrid（30）;

cplxmap（z， exp（z））;

colorbar（‘vert’）

title（‘exp（z）’）

图1　指数函数的四维图像

3　利用应用实例加强课程知识点的理解

作为信号与信息分析领域中重要的数学工具，傅里叶（Fourier）积分变换是复变函数与积分变换课程中的重要教学内容．但是在学习过程中学生对积分变换内容很容易产生厌学情绪，主要原因有：（1）积分变换过程中大量的数学公式增加了学生的计算难度；（2）学生对高度抽象的傅里叶变换缺少实践应用的直观认识．针对这些问题，在教学过程中调整教学重点：（1）由于傅里叶变换的相关运算已经非常成熟，实际应用时可以直接调用函数，所以讲授该部分内容时可以淡化复杂的计算；（2）对于工科学生来说，学习的重点是理解好傅里叶变换的物理意义并能正确应用傅里叶变换．因此，在正式讲授积分变换前通过具体实例介绍傅里叶变换在信号检测、信号去噪以及美图等领域的应用[11]．首先，用Matlab程序对简单的单频正弦信号做傅里叶变换，演示变换后的频谱图；接下来，介绍在语音信号传输过程会受到噪音干扰的情况，通信领域去噪音的方法是：利用傅里叶变换将时域信号（原始信号）变为分离的频谱信号，然后通过滤波器在频域里去除噪声部分（见图2）[12]．最后，教师向学生继续介绍傅里叶变换在美图中的应用：由于图像的色彩主要由色彩频率决定，高频分量代表了图像的细节，纹理信息，低频部分代表了图像的轮廓信息．因此可以利用傅里叶变换把图片从空间域转化为频率域，通过滤波的方式删掉高频部分函数，再进行傅里叶逆变换把图像从频率域转换到图像域，这样就删掉了某些细节问题（如脸上的斑点、皱纹等），实现美图效果．通过这些具体实例讲解，引导学生归纳出傅里叶变换的物理意义：傅里叶变换就像数学上的棱镜，它能够把多个频率分量叠加组成的信号函数按照频率进行分解，然后可以对信号的频谱进行分析处理．一系列的应用介绍能够明显激发学生学习的主动性，有效提高教学效果．

图2　含噪语音的时域波形和频谱

4 结语

在复变函数与积分变换课程学时量减少的情况下，教师应结合实际教学情况，利用现代信息技术合理安排教学内容，探索多种形式相融合的教学模式，提高课堂教学质量，激发学生学习兴趣，培养和锻炼学生分析问题和解决问题的能力，为后续课程学习奠定良好的数学理论基础．

[1] 全国高校工科数学课程教学指导委员会．《复变函数》教学基本要求[J]．大学数学，1986（2）：123．

[2] 教育部高等学校教学指导委员会．普通高等学校本科专业类教学质量国家标准[M]．北京：高等教育出版社，2018．

[3] 何朝阳，欧玉芳，曹祁．美国大学翻转课堂教学模式的启示[J]．高等工程教育研究，2014（2）：148-151．

[4] 王国栋，卓春英．Mooc+翻转课课堂视域下工程数学课程教学模式研究[J]．北京城市学院学报，2016（5）：43-46．

[5] 刘海成，李艳凤，代冬岩，等．基于“微课+翻转课堂”的高等数学混合教学实践研究[J]．高师理科学刊，2020，40（1）： 64-67．

[6] 廖国建，何颖，谢建平．以达托霉素产生菌菌株改造为主线的微生物工程综合实验的探索和实践[J]．微生物学通报， 2018，45（3）：713-716．

[7] 张雪峰，张英博．ＭALAB在复变函数中辅助教学作用[J]．曲阜师范大学学报，2020（4）：117-121．

[8] 薛定宇，陈阳泉．高等应用数学问题的ＭALAB求解[M]．北京：清华大学出版社，2004．

[9] 韩英，陈佳旗．复变函数的可视化问题研究[J]．北京石油化工学院学报，2012（4）：61-64．

[10] 王正林，龚纯，何倩．精通MATLAB科学计算[M]．北京：电子工业出版社，2007．

[11] 郭勇，杨立东．Fourier变化的工程例证式教学法探索[J]．高师理科学刊，2020，40（2）：76-83．

[12] 朱莹，王渊，余璟，等．以工程应用为牵引的傅里叶变换性质教学探讨[J]．科教文汇，2021（23）：101-103．

The teaching methods of complex function and integral transform

HUA Jie，DONG He，WANG Yuhai，ZHANG Gang，WANG Jin

（School of Information Technology，Jilin Normal University，Siping 136000，China）

Complex function and integral transformation is a compulsory basic course for science and engineering majors in colleges and universities，such as electronic information，electrical engineering，and automation specialty etc．In order to improve the quality of classroom teaching，the flipped classroom mode is used to improve classroom teaching efficiency，visual teaching is used to enhance students′ ability of abstract thinking and spatial imagination，and application instances are used to strengthen the understanding of knowledge points in the course，which can enable students to systematically and accurately master the core idea of complex function and integral transform，enhance their thinking ability of mathematics，lay a foundation for the study of subsequent professional courses．

complex function；integral transform；teaching method；learning interesting

1007-9831（2022）09-0067-04

O174.5∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2022.09.014

2021-11-09

2021年吉林省高等教育教学改革研究课题（JLJY202144925817）

华杰（1973-），女，吉林柳河人，教授，博士，从事工程数学类课程教学研究．E-mail：huajiehj@163.com