齐次化联立解决高考中与斜率和积有关的定点问题

廉换霞，林新潮

(福建省莆田第一中学，福建莆田，351100)

平面解析几何是用代数的方法研究它们的几何性质，体现了形与数的结合，重点提升学生的直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养，可见其重要性.所以，在每年高考全国卷的六道解答题中必有一道是解析几何.近几年高考中，常出现以斜率和或积为定值来探究直线过定点的问题.本文以三道高考题为例进行分析，并用齐次化联立的方法进行解答，以寻求此类问题统一的解决方法和思路.

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点，若直线P2A，P2B的斜率之和为-1，证明：直线l过定点.

评注：本题利用齐次化联立来求解，相对于常规解法，大大减少了计算量，且具有模式化的解答过程，可以提升学生的直观想象、数学运算、数学建模素养.这里充分利用了直线经过平移不改变斜率的特性.本题的特点是有圆锥曲线上一定点P2，若两直线P2A，P2B的斜率和为定值，则直线AB过定点.那么有无更一般的结论呢？具体可参考林炳宗[1]等人的论文.该几何模型的特点是有圆锥曲线上一定点，两直线的斜率和或积为定值与直线过定点的等价关系.

(1) 当a2d-b2≠0时，

(1) 求C的方程：

(2) 点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.

思路分析：本题已知AM⊥AN，我们可将几何关系代数化为kAM·kAN=-1.从而有椭圆上一定点(A)，两直线(AM，AN)的斜率积为定值，符合我们研究的几何模型，解题思路就为推证直线MN过定点，并求出定点P坐标，又AD⊥DP，所以D在以AP为直径的圆上，得点Q为圆心，|DQ|为圆的半径.

即x2+2y2+4x+4y=0，点A、M、N平移后为A′(0，0)，M′，N′.直线M′N′不经过原点，可设其方程为mx+ny=1，代入椭圆方程有x2+2y2+(4x+4y)(mx+ny)=0即(1+4m)x2+(2+4n)y2+4(m+n)xy=0.

所以圆锥曲线平移后所得方程，对“x”是“左加右减”，对“y”是“下加上减”.

(1) 求E的方程；

(2) 证明：直线CD过定点.

思路分析：点C在椭圆上，A，B为左右顶点，由椭圆第三定义，可得所以我们连接BC，从而有椭圆上一定点B，考虑两直线BC，BD的斜率积是否为定值.惊喜地发现kPB=3kPA，通过kCA桥梁关系，可得BC与BD的斜率积为定值，符合我们研究的几何模型，进而推证直线CD过定点.

(2) 证明：点P在定直线x=6上，可设P(6，y0) .

又A，B为x轴上定点，A(-3，0)，B(3，0)

点C在椭圆上，A，B为左右顶点，有

评注：此种解题方法在于，先去思考是否符合我们的几何模型，可以提升学生的逻辑推理和数学抽象素养.以后在我们解答圆锥曲线定点问题时，可以考虑先找曲线上一定点，若由其出发的两直线的斜率和或积为定值，则可按此模型推证直线过定点，为广大考生提供一种解题的思路.