一类可积系统在n次多项式扰动下Abel积分孤立零点个数的估计

2022-10-15王逸凡李宝毅张永康隋世友

天津师范大学学报（自然科学版） 2022年4期

王逸凡，李宝毅，张永康，隋世友

（1.天津师范大学数学科学学院，天津 300387；2.天津商业大学理学院，天津 300134）

1 引言和主要结果

Hamilton系统在n次多项式扰动下Abel积分I（h）孤立零点个数的估计即为弱化希尔伯特第十六问题[1-2]，是常微分方程定性理论的研究热点之一.文献[3-4]首先证明了I（h）的孤立零点个数存在一致的上界，但并没有得到确切的表达式.随后关于该问题的研究主要集中在2个方面，一方面是讨论低次Hamilton系统在低次扰动下I（h）的孤立零点个数，另一方面是估计超椭圆Hamilton系统在n次多项式扰动下I（h）的孤立零点个数.

随着研究的深入，许多学者开始关注可积系统在多项式扰动下的分岔现象.文献[11]研究了可积系统（x˙，y˙）=（y（1+x），-x2k-（11+x））在n次多项式扰动下的分岔现象，得到了系统极限环个数的上确界.文献[12]研究了可积系统（x˙，y˙）=（-y（x-a）m1（y-b）m2，x（xa）m1（y-b）m2）在n次多项式扰动下I（h）的孤立零点个数，其中ab≠0且m1、m2∈N.文献[13]研究了可积系统（x˙，y˙）=（-y（x2+a2）m，x（x2+a2）m）在n次多项式扰动下的极限环个数，其中a≠0且m∈N.

本文考虑扰动的可积系统

其中：k∈N+，P（x，y）、Q（x，y）为n次多项式.系统（1）0存在顺时针走向的周期闭轨族

设Γh与x正、负半轴交于Ah+=（ak（h），0）、Ah-=（-a（kh），0），其中

记Abel积分

的孤立零点个数的上确界为Z（n，k）.

定理对于扰动系统（1）ε，当I（h）≢0时，Z（n，1）=n，Z（n，2）≤n+2[n/2]+7，Z（n，k）≤n+（2k-1）·[n/2]+4k+1（k≥3）.

2 Abel积分的计算

引理1当i、m、r∈N时，有

其中：Ck，m，r、C*k，m，0∈R+

证明由Γh关于x轴对称可知Ii，2r（h）≡0.由首次积分可知，周期闭轨Γh对应y=y±（x，h）=，即

因此，由Γh关于y轴对称可知I2m+1，2r+1（h）≡0.

引理2设m∈N，则有

证明结合引理1可得

同理可得

引理证毕.

引理3

证明结合引理1可得

进而有

由首次积分可得，在Γh上有，结合引理2可得

从而

引理证毕.

引理4当k=1时，记则有

证明在式（3）中令k=1，则有

结合式（8）可得

引理证毕.

引理5当时，系统（1）ε的Abel积分为

证明计算得

定义

由Γh关于x轴对称可得，当j为偶数时，

αn+2[n/2](k-1)-2kl（x）可表示为

α″n+2[n/2](k-1)-2kl（-1）≠0的必要条件为

α′n+2[n/2](k-1)-2kl（-1）≠0的必要条件为

则结合引理2可得

引理证毕.

将引理3的结论代入式（9）可得

对式（3）关于h求导可得

代入式（10）可得

3 Abel积分孤立零点个数的估计

引理6[14]实系数多项式f（x）=cmxm+cm-1xm-1+…+c1x+c0的正零点个数等于f（x）的系数列cm，cm-1，…，c1，c0的变号次数或者变号次数减去某个正偶数.

引理7[15]设φ（ih）为）上的连续函数，且当0＜h≪1时，φi（h）=ηihsi+o（hsi），其中：ηi≠0，1≤i≤m且s1＜s2＜…＜sm，则存在实数e1，e2，…，em，使得在）上至少存在m-1个正变号零点.

引理8[15]设A（h）和B（h）在开区间（a，b）分别有u*和v*个零点（计重数），若系统P（h）=B（h）满足条件：

（1）P（h）在闭区间[a，b]连续，在开区间（a，b）可导.

（2）A（h）和B（h）在闭区间[a，b]连续，F（h，P）在[a，b]×[lp，Lp]连续，其中[lp，Lp]为P（h）在[a，b]的值域.

则函数P（h）在开区间（a，b）至多有u*+v*+1个孤立零点（计重数）.

定理的证明：

情况1当k=1时，结合引理4和引理5可得，若n=0，则

显然I（h）没有孤立零点，即Z（0，1）=0.

若n=1，则

若n=2，则

若n≥3，则

下面说明存在n次多项式P（x，y）和Q（x，y），使得（Ih）在至少有n个正变号零点.在系统（1）ε中取

结合式（2）和引理4可得

利用引理7可得，存在a0，a1，…，a[(n-2)/2]，b0，b1，…，b[(n-1)/2]，λ，使得在u∈（0，1）至少有n个正变号零点.综上，Z（n，1）=n.

情况2当k=2时利用式（7）和式（3）可得

同时有

利用式（6）和式（12）可得

在式（8）中令α1=x-2，利用式（6）和式（14）可得

将式（12）和式（15）代入式（9）可得

将函数T*（v）从开区间（0，1）解析延拓到复区域

定义G=GR，r⊂D，D为一单连通区域，∂G=C=CR，r为简单闭曲线，

其中：CRj={v∈D，|v|=R≫1}且v属于第j象限，j=1、2、3、4；Cr1，3={v∈D，|v-（±1）|=r≪1}，Cr2，4={v∈D，|v-（±i）|=r≪1}，L±1，3={v∈R：1+r≤|v|≤R}，L±2，4={v∈iR：1+r≤|iv|≤R}.根据文献[11]有如下引理9成立.

引理9解析函数T*（v）和（v）在复区域D⊂C上满足：

（2）当v∈L±j，j=1、2、3、4时，Im（T*（v））的零点个数不超过[n/2]+1.

由引理9的（1）可得，当r→0+时，T*（v）在的旋转数不超过10-1.

由引理9的（3）可得

μ1、μ2为常数，因此有，故T*（v）在的旋转数不超过2n+8+10-1.

综上，T*（v）在G的边界C上的旋转数不超过2n+4[n/2]+16+，则T（*v）在G上的零点个数不超过2n+4[n/2]+16.显然，v=0是T*（v）的零点，结合T*（v）在开区间（-1，1）是关于v的奇函数，可知T*（v）在v∈（0，1）的零点个数不超过n+2[n/2]+7，即Z（n，2）≤n+2[n/2]+7.

情况3当k≥3时，对式（11）关于h求导得