深度学习视域下的初中数学问题设计策略研究

●王占娟，何江

问题是数学的心脏。 初中数学深度学习的教学设计重点就在于通过精心设计问题情境和学习任务，引发学生对数学本质、数学内在规律、联系以及对数学现象背后蕴含的思想方法的深度思考，并能够将所学知识迁移到新的情境中加以应用，实现情感、态度、价值观的升华，最终促进学生数学核心素养的发展。在进行数学问题设计时，我们可遵循以下原则，并采取相应的策略。

一、目标性——问题设计层次化

美国心理学家盖泽尔斯把数学问题大致分为了三类：显现型问题、发现型问题、创造型问题，其中，显现型问题是指问题的条件、答案、求解思路均是现成的，学生只需要照章办事，按序求解就能得到与标准答案相同的结果，无须想象与创造；发现型问题是指问题虽有已知答案，但问题不是教师或教科书给定，而是由学生提出或发现的；创造性问题是人们从未提出过的，属于原创性问题。

因此，在进行问题设计时，我们可以借助显现型问题实现浅层知识的掌握与技能习得。同时，应更加重视设计发现型问题和创造型问题，以促进学生的深层次思考和高阶思维能力的发展。

案例1 平行线中的几何研究

（一）问题提出

已知AB∥CD，探究图形1 中∠APC 和∠PAB、∠PCD 的关系，请用不同的方法证明你的结论。

图1

（二）问题拓展

你能通过改变点的位置，构造出新的平行构图吗？

图2

（三）问题推广

1.已知AA1∥BA3，请你猜想∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；

2.如果增加拐点个数，将问题改为AA1∥BAn,请你猜想∠A1，∠A2…∠An,∠B1，∠B2…∠Bn的关系，并证明你的猜想；

图3

（四）综合创新

通过今天的探究学习，对你有何启发？你能利用前面的一种或几种基本图形类比构造更有趣的图形进行研究吗？

【设计说明】

“问题提出”属性显现性问题，问题及求解方法都是相对固定的，思维难度较低，但在解决策略上比较多元，有一定的开放度，有利于培养学生思维的灵活性。

“问题拓展”和“问题推广”属于发现型问题，需要学生自己发现并提出问题，问题具有一定的挑战性和开放性，同时，“问题推广”中的两个问题之间也体现了思维渐进的层次性， 引导学生进行由特殊到一般的深度思考。

“综合创新”属于创造型问题，问题开放度更大，需要学生自己创造新图形，并尝试解决。同时将问题设计从课堂延伸到课后，实现了时空的延展。

二、人本性——问题设计差异化

数学问题设计应坚持以生为本，即问题设计首先应基于学情，结合学生的实际学情，找准学生认知能力的起点、生长点和疑惑点，进行针对性设计。 同时，在问题设计时应尊重差异，针对不同学习能力的学生，注意问题的层次性，可以通过拆分设问把一个复杂问题拆解为若干个小问题，通过搭建脚手架，帮助学生拾阶而上，以问题逐步驱动探究进程。

同时，在问题设计时，可通过调整问题的步长，来调整问题的开放度。比如，对于认知能力相对较强的学生，可以步长设置大一些，使问题更加开放，有更宽广思考的空间，这样的思考有利于提升学生的思维能力。而对于认知能力相对较弱的学生，可以适当缩小步距， 搭建更多的脚手架， 帮助学生拾阶而上，有利于学生信心的建立，以及对问题的深刻理解。在设计问题时，还应尽量避免使用步距过小的封闭性问题，如“是不是”“会不会”“对不对”等，这样的问题缺乏思维价值，不能引发学生的深度思考。而应使问题具有思维的递进性，使学生在问题探究和问题解决中，思考由浅层走向深入，从现象走向本质。通过调整问题的开放程度、问题的脚手架等差异化设计，使不同学生通过不同层次的问题研究，都能学有所获。

案例2 图形的旋转综合探究

探究一：线段的旋转——旋转中心在线段外

（1）旋转中心在线段外，线段BC 绕旋转中心O逆时针旋转30°，对应线段BC、EF 夹角为多少度？

（2）旋转中心在线段外，线段BC 绕旋转中心O逆时针旋转100°，对应线段BC、EF 夹角为多少度？

图4

探究二：三角形的旋转

ΔABC 绕旋转中心逆时针方向转α 到ΔDEF 位置，对应线段AC、DF 所在直线夹角为多少度？

图5

推广：四边形旋转前后对应线段所在直线夹角是否也具有同样的结论？n 边形呢？任意由线段构成的图形呢？

【设计说明】此例主要解决图象旋转前后对应线段所在直线的夹角有何规律，如果直接提出这样一个问题，对于普通学生来说思维难度很大。 因此，可考虑将此问题进行拆分，从特殊情况入手研究，为学生搭建脚手架，让学生能从具体数据入手进行探究，再实现从特殊到一般的推广。 而对于思维能力较强的学生，也可适当减少脚手架，直接利用探究一中问题（3）和探究二，设计成两个综合性问题，加大思维难度，提高思维要求，对问题进行分层设计，体现差异化要求。

三、过程性——数学知识问题化

数学问题的设计，要重视知识的形成过程。问题设计的终极目标应指向核心素养的发展，然而数学核心素养的发展离不开经验、能力与方法，而这些是不可能直接交给学生的，它们需要学生在经历数学知识的形成过程中习得。因此，我们需要改变传统数学教学中过于突出知识传授， 把学生作为知识的被动接受者的理念，将数学知识问题化，即把数学知识转化为一系列具有逻辑结构、思维递进的数学问题，通过问题设计引导学生像数学家一样思考，经历数学知识的“再创造”过程，使学生在问题的引导下自主发现问题、提出问题、分析问题，并创造性地解决问题。 学生通过这种“过程与方法”的体验，成为积极的信息加工者、新知的发现者和创造者， 最终在数学问题解决中完成学习理解、应用实践和迁移创新，从而提升和发展学生的数学关键能力和必备品格。

案例3 一次函数与不等式综合

基础探究

问题1 函数y=2x-5 的图象如图，观察图象回答下列问题：

（1）x 取何值时，2x-5＝0；

（2）x 取哪些值时，2x-5＞0；

（3）x 取哪些值时，2x-5＜0；

（4）x 取哪些值时，2x-5＞1；

（5）x 取哪些值时，1＜2x-5＜3；

图6

思考：

通过以上研究，你认为如何利用函数图象求解方程和不等式？函数、方程、不等式具有怎样的联系？在图像中如何体现？

进阶探究

问题2 如图， 如果在直角坐标系中增加直线l2：y2＝mx， 你能利用函数图象解决以下问题吗?如果不能，需要增加什么条件？

图7

（1）2x-5＜mx（追问：你能对问题进行等价变形吗？ ）

（2）-5＜2x-5＜mx

（3）mx＜2x-5＜mx+2

（4）你能提出关于不等式的新问题吗?

【设计说明】本课例中通过两组变式设问及反思设问，将函数、方程、不等式的关系融入图形之中，使学生在观察、分析、探究方程及不等式的集解的问题解决过程中，体会函数、方程、不等式三者的相互联系及本质，体会数形结合思想的应用价值。

四、真实性——数学问题情境化

数学问题情境化，就是把数学问题融入日常生产生活实际背景中，利用具体化、形象化、生动化的问题情境和任务驱动，引发学生的思考，实现新知学习和问题解决。 真实问题更具综合性、开放性，学生不仅要从实际问题中抽象出数学本质，同时要思考各部分之间的关联，促进学生整体性、系统性思考，实现深度学习。

案例4 方程思想在生活中的应用

核心问题： 如何设计游学的交通及住宿出行方案？

问题1 宜宾线师生在和旅行社沟通过程中得知，宜宾线的全体师生如果单独租用40 座的客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用50 座的客车可以少租2 辆，并且一辆车上还有10 个空余座位．你能根据以上信息，得到什么新的信息？ 你是如何得到的？

问题2 已知3 辆40 座客车和1 辆50 座客车共需租金4100 元，2 辆40 座客车和3 辆50 座客车共需租金5300 元．你又能得到什么信息？ 你是如何得到的？

问题3 如果学校希望每辆车没有空位， 作为旅行社，你能为学校提供几种方案？

问题4 如果作为学校负责人， 你会选择哪一种方案？ 为什么？

问题5 由于人数众多， 旅行社为学校联系了三家酒店,经过商谈，学校以46000 元的价格签订合同，住宿人数为440 人，住宿标准为豪华标间（2 人间）。

如果酒店价格及旅行社的利润分别如下表，你作为旅行社负责人，将如何安排住宿方案？

图8

【设计说明】本节课是一节大单元复习课，设计一个游学的生活情境，将方程、函数及不等式的相关知识融为一体，并且将此部分的典型问题全部融在一组具有情境逻辑关联的问题之中，通过层层递进式设问，使学生一直沉浸在一个具有挑战性的真实问题解决之中。

五、整体性——数学问题结构化

在进行问题设计时，可将孤立、分散的小问题整合成具有逻辑关联和综合性、开放性的核心问题，使学生围绕一个具有挑战性的问题解答，深度参与思考和交流，在活动与体验中感悟数学的本质与联系，实现迁移与应用，这正是深度学习的主要特征。

教学中要用具有思维导向结构和一定逻辑联系的结构化问题去推进教学，让问题环环相扣，逐层递减，使每个阶段都有问题需要解决，并能通过问题解决启发学生发现提出新问题。

我们可以采取图9 的流程来设计结构化问题。

图9 初中数学问题设计流程

即根据课标要求及教学内容确定本节课的核心问题，然后结合教学重难点，从核心问题中分解出几个子问题，最后在每个子问题之下设计问题链，对每一个子问题进行深度研究。

例如，在设计概念课的问题链时，可以遵循这样的设计思路：是什么——为什么——怎么做——为什么这么做——还可以怎么做——如何做得更简单——他们之间有何联系——还可以做怎样的变化——对问题解决有何价值——对以后的学习有何启发。

这些问题有一些是预设的问题，有些问题则要结合课堂生成进行追问，追问体现了一个老师的基本功底。 这样的问题结构体现了从现象—策略—本质—关系—迁移的思维递进，通过这样的设问，自然能加深学生对数学本质的深刻理解、关系的深刻认识和思维的逐级进阶。而这样的问题，必然具备四大特征：启发性、深刻性、层次性和关联性。

案例5 探索日历中的规律

探究一——热身运动

（1）这是一张2019年10月的日历，用一个2×2的套色方框随机框出4 个数，观察这四个数之间存在哪些关系。

（2）移动方框的位置，这些关系是否仍成立？

（3）你能用代数式表示这些规律吗？

（学生独立思考，分享发现，教师引导）

表1

探究二——基础探究

如果将方框改为3×3 的套色方框，框出9 个数：

（1）原来的规律是否仍成立？

（2）你还有何新发现？

（3）请用代数式表示这些规律，并说明理由。

（学生独立思考，再小组交流，上台分享，教师引导）

深度思考：

1.在用字母表示时，设哪一个字母为a 更科学？为什么？

2.如果已知9 个数的和，如何确定这9 个数的位置？

3.这9 个数的和有何特征？ 需满足什么条件？

4.日历中最基本的规律是什么？

5.基于此规律，可以如何拓展研究？

【设计说明】 本课例中设计了两个探究活动，将数学问题结构化， 在深度思考环节中， 用一组问题链，将日历中的规律问题进行深度整合，并按照思维进阶的方式进行设计，使学生能够通过问题引领，透过现象看本质。

在日常教育教学过程中，要关注如何进行有高度、有层次、有逻辑的问题设计，真正实现学生对数学本质、关系的深度思考，促进思维水平的进阶和认知结构的优化，真正实现数学深度学习，促进学生数学核心素养的发展。