基于功率流法的城市高架轨道振动能量传递特性研究

2022-10-10姜秀杰李秋彤袁贤浦

铁道标准设计 2022年10期

姜秀杰,刘艳,2,李秋彤,2,刘欢,袁贤浦,2

(1.上海材料研究所,上海 200437； 2.上海消能减震工程技术研究中心,上海 200437； 3.上海第二工业大学环境与材料工程学院,上海 201209)

随着城镇化和轨道交通线路的迅速增长，城市高架轨道交通以经济、高效以及占地面积小等优点得到了快速发展，但其运行时产生的振动会产生严重的扰民问题[1-3]。在振动特性评价方面，轨道交通大多采用力、加速度、速度和位移等传统评价指标。而大量研究表明，振动是以能量的形式传递的，传统的评价指标具有一定局限性[4]。

功率流结合了力和速度两种变量，可以从能量的角度对系统振动的传递特性进行评价，在机械、船舶、航天器等领域隔振性能方面均得到了广泛应用[5-7]。功率流概念最初是由GOYDER和WHITE[8]在1980年提出的，目标是减少振源和邻近结构之间能量的传递。随着功率流理论的发展和完善，上官文斌等[9]计算分析了在路面不平度激励下，经悬架衬套和减振器上端支撑传递到车身车架的功率流，从而识别出能量的最大传递路径，并分析了衬套特性对功率传递的影响；CHOI等[10]基于等效功率流递进法确定了夹层结构浮筏隔振系统的功率流，研究表明，仅通过增大阻尼的方式，并不能避免高频范围内夹层浮筏对称模态的共振峰；吴梓峰[11]基于振动功率流理论，开发出控制结构体内振动功率流流向的装置和方法，并应用到船舶结构振动控制中。功率流在轨道交通领域也得到了相关应用。HUSSIN等[12]通过建立地下隧道内置板模型，以平均功率流为评价指标评价了减振措施的有效性；汪力等[13]基于功率流理论，采用谐响应分析方法，研究了扣件系统垂向刚度的匹配，给出了较优的刚度匹配配置；刘辉鹏[14]通过建立钢轨-浮置板-基础功率流传递模型，研究轨道结构参数对功率流传递的影响特性。

综上可知，尽管功率流在轨道交通行业得到了相关应用，但研究成果较少，且存在一些不足。例如，模型过于简化且大多未经过试验验证，或仅进行频域内的谐响应分析，未考虑实际车辆作用下的振动特性。而城市轨道交通中采用的高架轨道由多层隔振系统组成，振动从上往下的传递是一种能量分配、储存和耗散的过程。因此，以城市高架轨道交通中常见的减振垫式浮置板道床为研究目标，基于单层隔振系统和多层隔振系统功率流理论，分析能量的传递和耗散；通过建立车-轨-桥系统垂向有限元模型，结合功率流计算方法，分频段研究了功率流在轨道结构中的分布和传递规律。研究结果可为高架轨道结构振动控制和减振设计提供工程指导。

1 功率流理论基础

1.1 单层隔振系统

图1 单自由度隔振系统

(2)

式(2)左侧的第一项和第三项可通过对系统动能和势能的求导获得

(3)

(4)

由上可知，输入系统的瞬时功率等于阻尼元件的瞬时耗散功率加上动能和势能的瞬时变化率之和。

实际中不规则外力的作用效果可用多个规则的简谐力叠加来代替，因此，研究简谐力作用下的响应具有重要意义[16]。用f(t)表示结构中某点所受的激励，对应的速度响应为v(t)，如式(5)、式(6)所示。

(5)

(6)

式中，F和V分别为力和速度的复数幅值，包含相位信息；*为复数的共轭。

将式(5)、式(6)代入式(2)可得输入系统瞬时功率的另一种表达方式，如式(7)所示。

(7)

(8)

式中，右侧第一项是常数，表示输入系统的平均功率，第二项表示随时间变化的瞬时功率，频率为外界激励频率的2倍。

将式(5)和式(6)左右两侧相乘可得

(9)

式中，F为向量，因此，式(9)的第一项可写为

(10)

式中，Pav为输入系统的平均功率；φ为外界激励载荷f(t)和速度v(t)之间的夹角。

图2表示输入系统的瞬时功率，图中阴影部分的瞬时功率为负值，表示能量在激励源和系统之间相互交换，这部分能量被存储系统的振动能量，即动能和势能。又因系统中包含阻尼元件，所以输入系统的一部分能量被阻尼元件所消耗，导致返回激励源的能量小于输入系统的能量。因此，瞬时功率均值大于0，如图2中红色虚线所示。

图2 瞬时功率随时间的变化规律

1.2 多层隔振系统

对于多层隔振系统，其运动学方程如式(11)所示[17-18]

(11)

式中，[M]， [C]和[K]分别代表质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；{f(t)}为外界激励向量。

当外界有N个激励同时作用于系统时，输入系统的瞬时功率可用式(12)表示。

(12)

式中，{v}T为速度向量的转置。

对于多自由度隔振系统的稳态响应，能量计算公式如下

(13)

(14)

(15)

由上节知，输入系统的瞬时功率等于阻尼耗散功率与动能和势能瞬时变化率之和，因此，综合公式(13)～式(15)，可得

(16)

式中，D、T和U分别为阻尼元件的瞬时耗散功率、动能和势能[12]。

参照单自由度隔振系统，稳态响应的速度和位移复数表示如下

(17)

(18)

将上式代入公式(12)，可得输入多层隔振系统的瞬时功率

(19)

式中，等式右侧第一项Pav为输入系统的平均功率；第二项为随时间变化的瞬时功率，频率为外界激励频率的2倍。

2 有限元模型及功率流计算

2.1 模型建立

常见的城市高架结构包含轨下-板下-桥下多层弹性体，自上而下各层弹性子系统之间在几十到几百赫兹的范围内存在相互作用，如图3所示。因此，采用有限元分析将更加方便、高效。建立有限元模型如图4所示，模型中车辆系统由车体、转向架、轮对以及一系、二系悬挂组成，轨道系统由钢轨、轨道板、桥梁以及扣件、轨道板支承和桥梁支座组成。其中，一系悬挂、二系悬挂、扣件、轨道板支承、桥梁支座采用弹簧/阻尼器单元，钢轨、浮置板、桥梁采用实体单元，车体、转向架、轮对采用刚体单元。在车体中心施加质量和转动惯量，同时假设车辆匀速前进。车体考虑点头、摇头、浮沉、侧滚、横移5个方向的自由度，转向架和轮对考虑点头、浮沉和侧滚3个方向的自由度。钢轨为60 kg/m轨，仅考虑其垂向振动。轨道板单个长6.0 m，宽2.7 m，一垮桥上装配5块轨道板。考虑动力边界效应，桥梁为3跨的简支箱梁模型。模型总长104 m，钢轨两端施加全约束。车辆系统和轨道结构基本参数分别如表1、表2所示。

图3 城市高架轨道力学模型

图4 城市高架轨道有限元模型

表1 车辆系统基本参数

表2 轨道结构基本参数

模型中的轮轨接触定义为面-面接触，车轮为主面，钢轨轨头为从面。轮轨间的接触属性包含法向作用和切向作用。法向采用赫兹非线性接触模型定义，切向作用采用软件中的“软”接触表格定义，切向作用力为

F=μP(t)

(20)

式中，μ取0.25。

考虑车体质量及车辆经过钢轨时几何不平顺的共同作用，选择美国六级高低不平顺谱作为模型的激励，时域样本如图5所示；行车速度取60 km/h。

图5 高低不平顺谱

2.2 模型验证

测试地点为国内某城市轨道交通高架桥线路区间，测试断面为直线区段。桥梁形式为30 m双线简支箱梁，梁高1.8 m，道床为垫式浮置板结构，布置了桥梁底板Z1、桥梁腹板Z2、桥梁翼板Z3三个垂向加速度振动测点，如图6所示。

图6 测点示意

对试验和仿真获得的加速度响应进行时频转换，得到加速度在频域内的大小和分布，为直观展示，引入振动加速度级的概念，并采用1/3倍频程的展示方法。

(21)

式中，振动加速度级La的单位为dB；a为实测加速度；a0为基准加速度，取值1×10-6m·s-2。

实测与仿真的振动加速度级如图7所示。由图7可知，桥梁各测点振动加速度级在63 Hz及500 Hz附近存在峰值，且仿真结果与测试结果具有较好的一致性，从而验证了有限元模型的准确性。

图7 各测点振动加速度级

2.3 功率流计算

功率流计算过程如下，首先，采用有限元模型在时域内求解隔振元件节点的载荷和速度；然后，通过傅里叶变换转化到频域内；最终求得高架轨道结构各层功率的分布特性及各层之间的功率流传递规律[5]。

由第一节单层隔振系统和多层隔振系统的功率流计算式(2)和式(12)可知，输入系统的瞬时功率可表示为

Pi=Fi×Vi

(22)

式中，Pi为输入节点的瞬时功率；Fi为输入节点的瞬时载荷；Vi为节点的瞬时速度响应。

对于结构振动分析而言，平均功率具有实际意义，因为一段时间内的平均功率更能反映外部激励注入结构的能量强度[13]。因此，将一段时间内输入至系统的功率进行积分后，再对时间求平均，得到输入系统的振动功率流，即

(23)

式中，F(t)为作用于结构某点处的时域外力；V(t)为该点因F(t)而产生的速度响应。

如果激励和响应均用复数表示，根据单层隔振系统计算式(6)以及多层隔振系统计算式(19)，可知输入系统的平均振动功率如下式所示[14]

(24)

式中，Re为取复数的实部；上标*为复数的共轭；F和V分别为频域内复数形式的力和速度。

有限元模型中弹簧阻尼单元节点的振动功率流计算示意如图8所示，提取弹簧阻尼单元的弹簧力Fi，然后取相反数，得到作用于此节点的外力。结合此节点的速度响应Vi，根据式(24)求得输入系统的平均振动功率流。再对所有节点求和，得到输入轨道结构各层的总功率流，最终根据式(25)求出相对功率流。

(25)

式中，Pr(k)为相对功率流，dB；Ps(k)为总功率流；P0为参考功率流，计算高架轨道桥上的功率流时，P0取1×10-8N·m/s。

图8 节点功率流计算

3 结果分析

采用上述已验证模型，对钢轨、轨道板和桥梁组成的高架轨道结构进行模态分析，确定其模态振型和频率。因在无砟轨道结构中，钢轨垂向振动响应主要受列车固定轴距的影响，而轨下结构即轨道板和桥梁的垂向振动响应主要受扣件间距影响[19]。因此，以功率流为评价指标，仅考虑由周期性引起的轨道结构振动，通过计算给出输入轨道结构各子系统功率流的大小与分布，进而分析功率流在轨道结构中的传递规律。

3.1 模态分析

高架轨道桥梁结构参数如表2所示。由于钢轨和轨道板之间的连接刚性较大，将钢轨、扣件、轨道板和轨道板支承作为一个整体，分析高架轨道结构和桥梁的前五阶振型，固有频率和对应振型见表3。由表3可知，在低频范围内，轨道结构和桥梁的振型主要表现垂向或横向弯曲振动，其中，钢轨、轨道板和桥梁三者同时出现的一阶垂向弯曲振动的模态振型如图9所示。

表3 轨道和桥梁前五阶固有频率和振型

图9 钢轨、轨道板和桥梁垂向弯曲振动(16.2 Hz)

3.2 功率流分布特性

图10为功率流在轨道结构中的垂向传递示意。选择模型中间一块轨道板长度范围内的轨道结构进行振动功率流计算。图11为列车和轨道周期性作用下，输入各子系统的振动功率流，曲线间间距表示功率流在传递过程中的损耗。由图10、图11可知，在1～1 000 Hz频率范围内，最高的振动功率流主要发生在10 Hz频率范围以内的低频段，为轨道结构的周期性激励频率。输入至钢轨的振动功率流主要有两个峰值，对应的频率分别为16 Hz和200 Hz，钢轨的振动能量主要集中在中高频范围内。传递至轨道板和桥梁的第一阶振动功率流峰值也出现在16 Hz处，同时在1～1 000 Hz频率范围内有多个峰值，轨道板和桥梁的振动能量主要集中在中低频范围内。16 Hz处的振动功率流峰值是因为钢轨、轨道板和桥梁在此频率处同时出现了一阶振型模态(图9)。传递至轨道板的振动功率流与输入钢轨的有类似分布情况。而传递至桥梁的振动功率流在较低频段和较高频段内都较低，在10～63 Hz频段内取得较大值。由此可知，能量在经过扣件系统后，高频能量被衰减，低频能量继续往下传递；经过轨道板支承后，低频能量都得到了更有效衰减。

图10 能量在轨道结构中的传递示意

图11 输入各子系统的振动功率流

3.3 功率流传递规律

图12为轨道结构不同子系统间的功率流传递率。由图12可知，轨道板至桥梁的功率流传递率在全频段均小于1，说明能量经过轨道板支承后在全频段均得到了衰减。而钢轨至轨道板的功率流传递率除10～100 Hz频率范围内，其余频段内均小于1，出现功率流传递率大于1的原因是轨道板结构在这些频率处出现了共振现象。在63～500 Hz频率范围内，钢轨至轨道板的功率流传递率逐渐减小，说明扣件系统在较高频频段内可发挥更好的能量储存和耗散效果。在低频段范围内，轨道板至桥梁的功率流传递率最小，说明轨道板支承在低频范围内可发挥更优越的能量储存和耗散效果。

图12 不同子系统间功率流传递率

采用平均振动能量级对轨道结构不同频率段内的总振动能量进行评价[20]。计算公式如下

(26)

式中，Pa为结构的平均振动能量级；K为频率点的数量。

图13表示平均振动能量级在轨道结构子系统间的传递情况。由图13(a)可知，从钢轨至轨道板和轨道板至桥梁均发生了明显衰减，且衰减量基本一致，主要是各子系统隔振元件发挥了其储能和耗能作用。由图13(b)可知，在低频1～100 Hz频率范围内，功率流呈现先增大后减小的走势，主要是一方面扣件系统低频隔振效果较差，另一方面如前文所述，轨道板在低频段发生了共振，导致能量在传递过程中反而出现了增加的现象。由图13(c)可知，在100～1 000 Hz的中高频频率范围内，能量在传递过程中呈现衰减趋势，主要是扣件和轨道板支承在中高频频率范围内都发挥了较优越的能量储存和耗能效果。