一类三角形范围问题的解法探究课堂实录*

广州第七中学数学科(510080) 陈武生 陆曼丽

1 学生作业的一道题

设锐角ΔABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若的取值范围.

由于这题的作答情况不理想,出现了各种问题(基本功不扎实、方法不合理等),所以想用一节课专门讲这道题.

2 问题分析

本题涉及内角范围的确定,边角转化,以及如何合理处理目标b2+c2+bc,最后是如何转化为一个角的三角函数问题.应该说切入口很宽.很考学生的基本功.

3 课堂教学实录(节选)

师: 作业中这道题,做得不是很理想,今天,我们再次征战这道题,请同学生拿出纸,重做这道题.

师: 好,经过10 分钟时间,有一部分同学做出了这题,有还不少同学没有完成.我们一起来分析一下.

(1)从问题的设置来说,解题目标b2+c2+bc 的处理,是第一个关口.直接边化角,会出现角B、C 的正弦的平方的化简问题,通常会无功而返.从结构来看,余弦定理的出场显得很合时宜.

问1: 请大家思考, 有没有别的手段进行化简? 联想所学公式, 有哪些公式涉及两角的正弦的积? (生作答:cos(B+C))

问2: cos(B+C)展式中,除了sin B sin C,还有什么? 能不能消除? )

问3: 你看你就得到了一个积化和差公式.

学生尝试后,大获喜悦,这减少不少计算量,而且公式也不用背.

问4: 如果此处改为: cos B cos C 呢?

问5: 如果改为: sin B cos C 呢?

(学生都找到了问题的答案,此处略)

师生总结: 积化和差公式,本质上是利用A+B 与A-B的展式中的对偶性,利用方程组的思想进行构造解决的.

(3)解决bc 的范围问题,只有化为角一条路吗?

学生回答: 因为用基本不等式,只能得到范围的一端,而两边之和大于第三边,又会把钝角的情况包括进来.

问1: 能不能解决它是锐角三角形这个限制问题?

生: 我只想到这样做: 如图1.我觉得当A 在BC 中垂线与圆的交点时, bc 有最大值; 当A移动到A′且A′C 垂直于BC时,bc 有最小值.

问2: 为什么一个取到最大值一个取到最小值?

生: 初中时这样做过,理由我不知道.

问3: 你这是用数形结合的办法作为切入点,很好.特别是两个特殊位置把握得很到位.只是bc 作为边长的积,没有什么明显的几何意义作为呼应,很可惜.你认为有没有可能bc 也可以有明确的几何意义的吗?

师: 很利害哦.这算是“无中生有”吧.生大笑.如何准确的表达,我们需要注意,让看我们答案的人一下子就知道我们在讲什么,你认为要讲清哪几点最重要?

生:“无中生有”最重要,当然还有面积的变化,在底BC不变的情况下,主要看高,又受锐角三角形的限制,点A 能移动的位置也被限制,这样就可以了.(师生板书略)

(4)面积改周长

问4: 如果改为求周长的范围呢?

生: 那相当于求b+c 的范围,我想用基本不等式(其它学生提醒只能求一端),再用两边之和大于第三边.

问5: 这能排除钝(直)角三角形的情况吗?

生: 不能,但我可以按刚才的图解.

问6: 为什么这时候两个特殊位置对应着两个取值范围的端点呢?

生: 这个我没想过,但我觉得是对的.(其它生笑)

师: 看来这题我们只能转化为角: 2R(sin B +sin C)来解了.这个大家都会吧? (会)有没有快捷方法化简呢? 这个问题给大家课后解决啊.我还是不死心,为什么b+c 就没有几何意义呢? 它不能象bc 那样可以和面积联系在一起.

问7: b+c 表面看来是两条折线的和,无法解决刚才的问题.你能不能给b+c 赋予一定的几何意义? 它和面积有关吗?

生: 怎么可能和面积有关?

生: 我想,b+c 与bc,它们的关系,只能靠平方来解决,但(b+c)2=b2+c2+2bc,但那平方和不知怎么想.

生: 你把它用余弦定理解就行了,对了,和原来的问题是一样了.(b+c)2=b2+c2+2bc=3+3bc,接下来就可以转化为之前的问题了.(全班学生鼓掌)

不知不觉,一节课时间到了.

师: 这节课,我们对一道作业题,进行了多方面多角度的分析与研究,做过的题,你再想想,总是还有一些问题有待解决.所以,请多多回顾一些典型的题,从不同角度,不同切入点考虑,“明知山有虎,偏向虎山行”.知此可为,知彼不可为,如庖丁解牛.则你距离成功更近了.

这题如果再作一些变化,又会怎么样呢? 请你试试.

4 课后反思

这算是一节习题课,以作业中出现的典型问题为切入点,试图解决一些学生重做题轻反思总结的不良习惯,通过问题串,层层引导,不断的在学生困惑或思维受阻时,利用设问、反问等手段引起学生的进一步思考,在这个过程中,提升学生的数学核心素养.个人认为,让数学课多点数学味道,在学生的最近发展区进行设问,既有效巩固了知识与方法,又提高了学生的学习兴趣,有利于学生形成解题后反思的习惯.