核心素养视角下构建“隐圆”模型巧求线段最值

广东省云浮市云浮中学(527300) 黎 丽

“隐圆问题”是近年来中考热点问题,是以动点的轨迹问题及线段最值问题为载体,考查学生数学建模和逻辑推理能力,对学生的数学思维提出更高的要求.广东中考数学考卷2020年与2021年连续两年的第17 题都考查了“借助隐圆求线段最值”的动态问题,那么如何在题设条件发现隐藏的圆呢? 怎样借助圆的知识进行解题呢? 本文基于数学核心素养数学建模思想的理解,对中考数学考卷出现的新题型“隐圆”问题进行剖析,归纳概括解决这类问题的策略: 理解题意→剖析问题→建立模型→验证模型→应用模型,帮助学生建立解决隐圆问题的思维路径.

1 隐圆问题的归类

学生要解决“隐圆问题”,必要的知识储备不可少,在题目中没有给出圆的有关信息时,需要对教材中圆的定义与性质的有深刻的理解,通过对题意的深度思考,发现隐藏的圆,并能结合圆的相关知识进行解答.笔者分析近年来中考考题,可把隐圆问题分为以下类型: (1)定点定长;(2)定弦对定角;(3)直角所对的直径;(4)四点共圆.本文重点探讨定点定长、定弦定角这两种类型的“隐圆求最值问题”.

2 中考试题剖析

2.1 定点定长问题

根据圆定义,平面上到定点距离等于定长的点的集合叫圆,这是找出隐圆的其中一个依据.

例1(2020年广东)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠,等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图,∠ABC = 90°,点M,N 分别在射线BA,BC 上,MN 长度始终保持不变,MN = 4,E 为MN 的中点,点D 到BA,BC 的距离分别为4 和2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE 的最小值为____.

图1

(1)分析题意

已知ΔBMN 是直角三角形,B、D 是定点,梯子MN是动线,老鼠E 位于MN 的中点,随着MN 的位置变化而变化,E 是动点,因此DE 也是动线段.

未知梯子MN 在滑动的过程中老鼠E 的运动轨迹.

目标猫离老鼠最近时DE 的最短距离.

(2)问题剖析

问题1老鼠E 运动轨迹是是什么,是如何产生的?

问题2思考老鼠E 在何处时,DE 最短,你如何联系到已学的知识.

(3)建立模型

如图2 所示, E 是RtΔBMN 中斜边MN 的中点,连接BE, 根据直角三角形斜边上的中线的性质可得= 2, 根据圆的定义, B 是定点, 动点E 的运动轨迹是以点B 为圆心2 为半径的圆弧HN.

图2

(4)验证模型

E 在圆弧HN 上运动, 由三角形三边关系可知BD ≤BE + DE, 因此当B、E、D 三点共线时, DE 最短.连接BD 交圆弧交于点F, 当E 与F 重合时, 则DF 的长度即为所求的最小值.如图2 所示, 过点D作DH⊥AB 于点H, 则DH = 4,BH = 2, 由勾股定理可得所以

点评本题中考数学填空压轴题第17 题,是全卷难度的一个小高峰.题目的背景是一个“猫捉老鼠”的故事,用简炼的数学语言描述情景,贴近实际生活,题型新颖,是一道有区分度的好题.这道题要求学生有勾股定理、圆、最短路径等知识储备.本题的关键在于画出老鼠E 的运动轨迹是到定点B的距离等于定长2 的“隐圆”.

(5)应用模型

变式训练如图3,∠MON =90°,矩形ABCD 的顶点A,B 分别在边OM、ON 上,当点B 在边ON 上运动时,点A 随之在OM 上运动,矩形ABCD 的形状保持不变,其中AB =8,BC =2.在运动过程中点D 到点O 的最大距离为______.

图3

分析观察题目条件,在RtΔAOB 中,取AB 的中点E,连接OD,OE,DE, 可得OE == 4, 可知OE 是定长,可把问题转化为新的以E 为定点,以O 为动点之间的距离最大值, 可以建立模型, 以E 为圆心, OE 的长为半径作圆(见图4).OE、DE、OD 构成一个三角形,根据三角形任意两边之和大于第三边,,因此当O、E、D 三点共线时,OD最大(见图5).而四边形ABCD 是矩形, AD = BC = 2,∠DAB = 90°,可得DE =即点D到点O 的最大距离=OE+DE =4+

图4

图5

2.2 定弦定角

根据圆周角定理,在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弦相等,可以构造“隐圆”.

例2(2021年广东) 在ΔABC 中, ∠ABC = 90°,AB = 2,BC = 3.点D 为平面上一个动点,∠ADB = 45°,则线段CD 长度的最小值为____.

(1)分析题意

已知在RtΔABC 中, AB 是定长, ∠ADB 是定角, D是动点.

未知动点D 的运动轨迹.

目标求线段CD 的最小值.

(2)问题剖析

问题1动点D 是如何产生的? 运动轨迹是什么?

问题2动点D 在何处时,CD 最短,你能否联系到已学的知识?

(3)建立模型

如图6 所示,画线段AB =2,任意取点D,作∠ADB =45°,根据定弦定角,A、B、D 三点共圆,作ΔABD 的外接圆O,D 的运动轨迹在ΔABD 的外接圆O 的圆周上.

图6

(4)验证模型

如图7 所示,点D 在⊙O 上运动,因求CD 最小值,故圆心O 在AB 的右侧,连接OC,当O、D、C 三点共线时,CD 的值最小.连接AO、BO、DO、CD、OC,因为∠ADB = 45°,得出∠AOB = 90°, 因为OA = OB, 可得ΔOAB 是等腰直角三角形, 因为OA = OB =过O作OF ⊥BC 于F, 得得出FC =BC-BF =2,所以由三角形三边关系知OD+CD ≥OC,当点D 运动到OC 与⊙O 的交点E 时,CD 的值最小,最小值为

图7

点评本题没有给出图,要求学生自己画图,难度较大,综合性强,是典型的定弦定角隐圆问题.解题的关键是如何确定D 点的运动轨迹,这道题要结合点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等相关知识知识进行推理,通过层层推导,拨开迷雾,有种山重水复疑无路,柳岸花明又一村的感觉.

(5)应用模型

变式训练如图8 所示,正方形ABCD 的边长为4,点E、F 分别是BC,CD 上的一动点,且BE = CF,连结AE,BF,两线交于点P,连接CP,则CP 的最小值是____.

分析由题意可证明ΔABEΔBCF, 即可得到∠APB = 90°是定角, AB 是定弦, 且可推出AB 是直径.根据定弦定角建立模型,取AB 中点H 得点P 在以点H 为圆心, 以HP 为半径的半圆上运动(见图9) , 连接HP、CH, 则在ΔHPC 中, 根据三角形任意两边之和大于第三边, CH ≤HP + PC, 因此当H、P、C 在同一条直线上时, CP 取最小值, 依据HP 与CH 的长,RtΔBCH 中,求得HC =即可得出CP 的最小值=HC -HP =

3 数学思考

本文从广东中考数学近两年考卷中的“隐圆求线段最值”热点问题切入,立足数学核心素养,重视培养学生建模思想,引导学生通过观察分析问题条件和信息,引发学生深度思考,经历观察、联想、类比、抽象、概括等思维过程,透过问题表象发现数学本质,回归知识原点(定点定长→圆的定义,定弦定角→圆的性质),建构出“隐圆求线段最值”的数学模型.透过直观可视的数学模型,对模型进行逻辑推理并论证模型的正确性,再通过变式训练,强化学生模型意识,培养学生的创造性思维,归纳概括出隐圆问题解题策略,分为五个步骤: 理解题意→剖析问题→建立模型→验证模型→应用模型,完整清晰的呈现模型解题教学的全过程,帮助学生建立的解思隐圆问题的思维路径.