八年级几何教学助力发展学生的逻辑推理能力——以“最短路径问题”一课的教学设计为例

广东省广州市铁一中学(510000) 项 娜

1 前言

通过查阅文献、发放调查问卷、与学生访谈等方式,了解到了八年级学生几何逻辑推理困难的主要原因有:

①学生缺乏对几何知识灵活迁移的能力;

②学生难从较复杂的情境中找到已学的基本图形或者不会添加辅助线构造熟悉的基本图形;

③学生缺乏同类型几何专题变式练习;

④学生对于几何学习缺乏兴趣和动机;

⑤老师课堂上留的自主探讨时间过少,不注重思考过程的探讨.

本文以最短路径问题教学设计为例,根据八年级学生几何推理困难成因, 探讨发展学生逻辑推理能力的有效途径.例如,鼓励学生大胆猜想,尝试画图,表达想法,回归知识本质,精心设计相关联的一系列问题,引导学生思考联想、引发“思维风暴”,再慢慢进行推理,长此以往,学生的几何思维必然会得到显著提升,进而能促进学生逻辑推理能力的发展.

2 最短路径问题教学设计

2.1 教学内容

“最短路径问题”是人教版八年级上册第十三章第4 节第1 课时的内容.本节课的主要内容是解决由“将军饮马问题”引出的数学问题“两点在直线同侧求最短路径问题.这节课是轴对称知识的一个拓展应用,能进一步巩固轴对称知识.

最值问题经常出现在各省市的中考题中(2018年广州中考第23 题,2020年广州中考第24 题),问题常以二次函数、矩形、菱形、正方形,圆等图形为背景,求两条线段和的最小值、几何图形周长最小值,这是近几年中考考查的热点,也是难点.

2.2 教学目标

(1)活用轴对称解决简单最短路径问题,在变化的图形中,情境中找出或者添加辅助线转化为熟悉的最值问题;

(2)探索最短路径过程中,培养学生细致观察、比较,动手操作能力,让学生体会轴对称的“桥梁”作用;

(3)通过引导训练,进一步提升几何综合知识的迁移能力,数学推理论证能力.

2.3 教学疑难诊断分析

解决“当A,B 在直线l 的同侧时,如何在l 上找到点C,使CA+CB 最小,需要将其转化为直线l 异侧的两点连线段最小问题”,如何实现等价转化,学生会存在理解上和操作上的困难.

2.4 教学重、难点

教学重点活用轴对称将最短路径最值问题转化为“两点之间,线段最短”问题,学会从探索过程中提炼推理方法;

教学难点从复杂的图形中,问题情境中抽象出最短路径问题,活用轴对称将其转化为线段和最小问题.

突破难点的方法构建基本图形,识别问题的本质.

2.5 学情分析

八年级学生的观察、操作、猜想能力较强,但演绎推理、归纳和灵活运用几何知识的意识比较薄弱,此年龄段的学生具有一定的探究精神,能在练习中获取一些数学经验,但情境一变就无从下手,逻辑推理缺乏灵活性.

本节课从加强新知识应用的灵活度和用已学知识解决新问题的思想方法出发,举一反三,注重过程的引导,切实培养好逻辑推理能力.

2.6 教学过程设计

活动一联系生活、回顾旧知

设计意图通过问题1,2 让学生回顾“两点的所有连线中,线段最短”,“连接直线外一点与直线上各点的所有连线中,垂线段最短”等问题,这就是最短路径问题.教师通过创设简单、真实,贴近学生实际生活的问题情境,引发学生共鸣,进而唤醒线段最值知识,顺势引入本节课的教学内容,为本节课的学习奠定基础和创造条件.

问题1

问题2

活动二交流研讨,问题探究

探究一如图,牵着马从点A 出发,到一条笔直的河边l饮水,然后回到点B.牵马到河边的什么地方饮水,可使所走的路线最短?

思考1你能用自己的语言说明这个问题,并把它抽象为数学问题吗?

思考2解决数学问题: 当点C 在直线l 上的哪个位置时,AC+CB 最小? (注意: 点C 在l 上,点A 与点B 在直线l 同侧)

师生活动学生先自己分析,尝试画图,遇到困难时,教师启发性引导:

(1)设想如果点A 与点B 在直线l 异侧,应该怎样找到点C 的位置?

(2)如何将图中点B 等价移到另一侧B′处(等价就是使得CB =CB′)?

(3)你能找到这样的B′吗?

(4)对于(2)(3),学生独立思考后,尝试画图.

归纳最终学生得出结论: 利用刚学过的轴对称作出点B 关于l 的对称点B′,就会有CB = CB′,再利用(1)的方法,直接连接AB′,AB′与l 的交点即为所求点C.

设计意图学生独立思考探究一思考2,教师引导性提问: 关注思考2 所问,熟悉吗? 会让你联想到哪一块学过的知识? 你以前见过同样的题目以一种稍不同的形式出现吗[1]?然后组织学生小组讨论交流.最后教师为学生探究问题提供脚手架,将同侧较为复杂的未知问题转化为异侧熟悉的最值问题,体会轴对称的“桥梁”作用,初建基本图形.

思考3如何理解最短的合理性? (利用所求的知识论证AC+BC 最短)

师生活动先给足时间学生独立思考,再组织学生小组交流讨论,投影展示一两个小组代表的逻辑推理论证过程,请同学们点评.最后教师在黑板板书正确过程.

证明在l 上任意取一点C′(与点C 不重合),然后连接AC′,BC′,B′C′.∵BC =B′C,BC′=B′C′,∴AC+BC =AC+CB′=AB′,AC′+BC′=AC′+B′C′.在ΔAB′C′中, AB′< AC′+ B′C′, ∴AC + BC < AC′+ BC′.即AC+BC 最短.

追问1为什么在直线l 上任意取了一点C′(与点C 不重合),证明了AC +BC < AC′+BC′,就论证了最短? 这里C′的作用是什么? 这样的C′点有多少个?

师生活动小组讨论,给足时间组员思考,老师给一点提示,最后请小组代表回答.

设计意图让学生进一步体会画法的合确性,论证的严密性,提高逻辑推理能力.

追问2只能作点B 关于直线l 的对称点B′吗? 如果做点A 关于直线l 的对称点A′,然后连接A′B,你发现了什么?

师生活动给足学生时间画图,鼓励学生大胆猜想并论证.

设计意图让学生进一步理解将同侧两点转为异侧两点才是解决问题的关键.

变式一(探究一进行变式)

如图,一只观光船从大桥AB 的P 处前往岛上的Q 处接游客,然后将游客送往河岸BC 上,最后再回到P 处,请画出观光船的最短路径,并推理论证最短.

师生活动小组成员讨论,教师引导性提问: 与探究一进行比对,变式一关键变在哪? 引导学生从条件和问题出发考虑,探究一已知两定点,一动点,求的是两条动线段和最小值;变式一呢? 学生审题,尝试画图,不难发现变式一也是已知两定点,一动点,不同的是变式一求的是三条线段和的最小值.教师继续点拨,几何思维,要学会在变中找出不变量,学生不难发现三条线段中,线段PQ 长不变,变式一问题就转化为“定点P,Q 在直线BC 同侧,如何在BC 找到一动点D,使得DP +DQ 最小”,与探究一类同,关键能够发现动点D 所在的直线BC 充当对称轴(河),再留足时间学生独立完成画图;最后和学生一起论证最短.

设计意图从较复杂的情境中让学生进一步把握最短路径问题适用的条件,学会从中找到已学的基本图形或者通过添加辅助线构造熟悉的基本图形.

变式二(变式一进行变式)

如图,一个人骑马从A 出发,他先使马到草地边l1吃草,再到河边l2饮水,最后返回A,他怎样走才能使总路程最短?

师生活动教师引导学生尝试画出示意图,发现求三条线段和的最小值,教师启发学生联想,能想到一道与它有关的题目吗? 学生不难发现变式一也是找三条线段和的最小值,教师继续引导,能利用它的结果吗? 能利用它的方法吗?与变式一相比,变式二变在哪? 引导学生从条件、问题剖析,变式二已知的是一定点分布在两定直线之间,即“两线一点”求三条动线段最小值问题.由求两条动线段和的最小值问题上升到求三条动线段和的最小值问题,顺势点拨学生想到利用本节课探究一过程中的方法,借助于轴对称将其中的两条线段转化在直线的另一侧,再利用两点之间线段最短,找出三条线段的最短路径.方法由作一次轴对称变为作两次轴对称,把几条线段的和最小最终转化为一条线段最短问题.再留足时间学生独立完成画图;最后和学生一起论证最短.

设计意图帮助学生灵活地从复杂的情境中找出基本图形,迁移知识,迁移方法,提高学生分析题目的能力,提升推理层次.

变式三(变式二进行变式)

牧马人从A 地出发,先到草地边某一处吃草,再到河边饮水,然后回到B 处,请画出最短路径.

师生活动小组成员讨论,教师引导性提问: 与变式二相比较,变式三主要变在哪? 学生已学会从条件和问题出发进行思考,变式二已知的是一定点分布在两定直线之间,即“两线一点”求三条动线段和最小值问题.变式三呢? 学生审题,尝试画图,学生可以发现变式三已知的是两定点分布在两定直线之间, 即“两线两点”仍然是求三条动线段和最小值问题.,通过前面基本图形的强化,方法的渗透,“轴对称”的转化作用的感悟,逻辑推理的引导,很多学生能想到与变式二类同作两次轴对称,分别从A,B 两点作草地和河的对称点A′,B′,连接A′,B′与草地和河的交点,即为最短路径的点;再留足时间学生独立完成画图;最后请学生推理论证最短.

设计意图拓展学生的思路,强化推理,培养学生观察,发现,比较,类比能力.

活动三知识再探、思维拓展

问题3(类同2018年广州中考第23 题).

如图1,在锐角ΔABC 中,AC >AB,∠BAC 的平分线交BC 于点D,M、N 分别是AD 和AB 上的动点,请画出BM +MN 的最短路径.

图1

师生活动先让学生试着画出符合题意的草图(如图2),问题3 是已知一定点B,两动点M,N,求两条动线段和的最小值问题.经过前面变式题的推理过程启发,不少学生能发现与探究一类同,探究一已知两定点,一动点,求的是两条动线段和最小值;教师引导学生迁移方法,动态几何中,可以尝试化动为静,如果能将动点N 预设固定不动,问题3 就转化为“点B,N 在直线AD 同侧,如何在AD 找到一点M,使得MB+MN 最小”,启发学生发现探究一与问题3 的本质是一样的,过程方法可以顺利迁移转化,成功引导学生将未知问题转化为了已知问题求解,大胆放手学生自行画图,通过画图发现: 作对称点连线段仍不行,学生自发讨论发现还需利用垂线段最短才能得到线段和最小值.通过探索一的启发,学生已明白作点B 或点N 关于线AD 的对称点都是可以的,所以老师巡堂发现孩子们有两种画法如图3、图4,老师展示让学生讨论两种作法,比较哪种做法更好,好在哪.

图2

图3

图4

设计意图问题3 涉及的条件情境较复杂,学生独立解决存在困难.教师鼓励学生大胆画出草图2,在分析条件,解决问题时联想已学知识(探索一至变式三),挖掘问题本质,拓展基本图形,培养逻辑推理能力.

活动四师生互动、反思归纳

问题4品一品

解决最短路径问题的关键是什么? 用了什么相关知识?学到了什么方法呢? 渗透了什么思想?

归纳总结

①解决方法: 轴对称转化,同侧转异侧,目的将几条线段的和转化为一条线段(或垂线段)的长度;

②数学思想方法: 演绎、归纳、数形结合、转化等.

设计意图启发学生学会反思,学会举一反三,尝试提炼通性通法,发展逻辑推理能力.

活动五引申巩固、课后作业

问题5(必做)(略)

问题6(选做)(略)

3 几何教学反思

3.1 重视几何定理的探索过程,回归知识本质

章建跃博士认为“从数学知识发生发展过程的合理性,学生思维过程的合理性上加强思考,这是落实数学核心素养(数学抽象、逻辑推理、数学建模、数字运算、直观想象、数据分析)的关键点”.几何教学更要关注定理探索的过程而不仅仅只是结果,要让学生充分经历探究的过程.探索活动中,教师做“积极的旁观者”,鼓励学生大胆猜想,组织学生探讨,叙述表达,教师耐心聆听学生的想法,适当启发,积极反馈,学生会在交流中产生思维的碰撞,在教师的追问下,暴露思考的过程,从而加深对定理的理解,进而能灵活应用.重视过程的教学,能让学生理解知识发生发展的过程,洞悉本质,培养学生思维的深刻性.

3.2 巧用教材,整合教学内容

遵循几何知识的发生发展过程、把握知识间的内在关联、根据学生已有的知识水平、可以达到的“最近发展区”将教材内容进行整合,构建一个前后一致,逻辑连贯的数学认知结构,使得学生在接受新的内容时能够联想到已习得的相关知识,灵活迁移,如此学生知识体系的构建更具备逻辑性、整体性,进而能够提升学生的系统思维水平.本课例笔者通过一个探索活动、三道变式题和一道拓展题展开教学,整个设计关注几何知识之间的关联,凸显几何新知识的生成过程,有助于发展学生的逻辑推理能力[2].

3.3 问题引发冲突,驱动教学,激发学生学习动机

本课例中,笔者在几何思维“最近发展区”精心设计问题串,引发思维风暴,如“只能作点B 关于直线l 的对称点B′吗? 如果作点A 关于直线l 的对称点A′,然后连接A′B,你发现了什么? ”“为什么在直线l 上任意取一点C′(与点C 不重合),证明了AC +BC < AC′+BC′,就论证了最短? 这里C′的作用是什么? 这样的C′点有多少个? ”等“引发学生旧知的冲突,从而激发学生的学习动力,探究动机,给足学生时间空间,让学生先在独立思考的基础上再小组合作交流,自主自行解决“思维障碍”.整节课几乎没有学生置身度外,笔者适时点拨,启发学生思考,学生们解决这些问题觉得很自然,没有被动感,增强了学生学习数学的自信心.以问题为导向,驱动学生利用所学勇于尝试解决一些新的问题,在不断的问题解决中能够促进数学思维自然生长”[3].

3.4 巧妙变式,促进方法迁移

基于知识的发生发展过程、学生已有的知识水平及可以达到的“最近发展区”对例题或习题进行巧妙的变式,有助于学生了解知识间的内在关联并学会分析问题,让学生在变式比较中看透问题本质,从而构建基本图形,进而促进方法迁移.本课例给足时间学生探索一之后给出三道变式题,一道拓展题,层层深入,逐步通达,不仅加深了学生对问题的理解,更增强了学生思维的灵活性.

章建跃博士提倡“数学课堂的终极目标是培养学生的数学核心素养,而数学核心素养的灵魂在于培养学生的逻辑思维,提高推理能力”.八年级几何教学中,重视几何定理的探索过程,善用数学整体观整合教材,以问题为导向,注重变式教学,助于发展学生的逻辑推理能力.