运用数学高考试题综合难度模型评价课例*

广东省深圳市福田区红岭中学(518000) 兰海鹏

高中教育目的之一就是为大学输送人才、为国家筛选人才,评价人才的重要手段之一就是高考试题.为了使教学评价更有价值,高中数学日常教学的过程性评价必须要结合高考的总结性评价.

以安徽省近3年高考数学试卷中的涉及到三角函数两角和或差的运算公式的题目作为研究对象,通过运用武小鹏(2018)基于AHP 理论的数学高考试题综合难度模型[1]评价课例“两角差的余弦公式”[2],其他省份的课例需要将研究对象调整为对应高考试卷再进行评价.

1 问题编码

武小鹏的数学高考试题综合难度模型将影响高考试题难度的因素进行系统化分析后, 总结出: 背景因素、是否含参、运算水平、推理能力、知识含量、思维方向、认知水平共7个难度核心因素,每个核心因素根据水平的难易程度可进行不同的赋值,并采用不同的编码进行标识,以防混淆.

安徽省近3年高考数学试题中涉及到三角函数两角和或差的运算公式的题目分别是2019年全国I 卷(理科数学)第17 题、2019年全国I 卷(文科数学)第15 题、2020年全国I卷(理科数学)第9 题、2020年全国I 卷(文科数学)第18 题、2021年全国乙卷(文科数学)第4 题.下面对高考试题和课例例题进行编码,示例如下.

2 研究过程

为了数据的直观和图表的精简, 先将5 道高考题按照年份和序号分别重新命名为1917、1915、2009、2018、2104,将4 道例题命名为0001(例1) 、0011(变式1) 、0002(例2) 、0022(变式2), 用、分别表示高考试题和课例例题的难度系数,用N1、N2 分别表示高考试题和课例例题的难度加权平均数.经过编码后找出9 个问题的7 个核心因素的权重填入表3,并代入公式(1)计算出因素难度系数.

表1 高考试题编码

表2 课例例题编码

表3 数据对比

其中di表示第i 因素的难度系数, nij表示第i 因素、第j 水平的题数, dij是相对应的权重, n 是题总数,ki=(0.40,1.20,0.83,2.50,0.40,0.83,0.83).

将难度系数代入公式(2)计算出高考题目和课例例题的加权平均数: D1=6.63476,D2=4.3118.

为了清晰地分析数据,下面制作出高考试题和课例例题的雷达图.

3 研究结果

从难度加权平均数的角度来看,课例例题<高考试题,这说明王伟老师设计的课题例题难度低于高考要求.猜测原因可能来自两个方面: 一方面针对于初学者的授课,王伟老师可能认为应该适度地降低难度;另一方面也可能对高考难度把握不够,略微依赖经验.

从难度对比雷达图可以看出7 个难度核心因素中,高考试题和课例例题在背景因素、是否含参、运算水平这3 方面完全一致,在认知水平、思维方向这2 个方面有些许差异,在知识含量、推理能力这2 方面差异较大.

导致认识水平产生差异的原因是课例例题的题型比较单一,没有涉及到综合性三角函数问题,等后续教学将三角函数大多数知识点讲授完毕后可以进行相关的训练,从而使差异缩小.导致思维方向产生差异的原因是课例例题中只有变式1 涉及到逆向思维,后续要加强逆向思维的培养.导致知识含量产生明显差异的原因是课例例题的知识点不超过2 个,但是高考试题的知识点普遍超过3 个,可以在课堂小结之后增加一个多知识点习题,供学生课下自行探索.导致推理能力产生明显差异的原因是课例例题都只是涉及到复杂数值的运算,而高考试题不仅有复杂数值的运算还蕴含大量简单符号运算,日常教学的例题还需要提高学生思考的广度和深度,需要涉及到公式的变形、代数式的运算.

高考试题是命题专家集体智慧的结晶,高考试题不仅考察学生数学知识的掌握情况,还考察着学生的数学核心素养.日常教学如何实现“以主题为引领,促进学科核心素养的落实”,需要我们认真思考、积极探索.本文通过运用综合难度模型,分析教学例题和高考试题的难度,可以帮助教师深层次反思教学中的不足,调整教学难度,使教学更具有指导性和方向性,符合新课改提倡的“以立德树人作为根本任务,发展素质教育”.