含弹性极限的Burgers模型研究

刘 克

(重庆市智翔铺道技术工程有限公司，重庆 400067)

0 引 言

高温环境中的沥青混合料具有显著塑性。塑性变形积累是沥青路面车辙病害的实质[1]。目前车辙预估主要基于经验法[2-4]，变形积累的计算主要用Burgers模型的黏塑性变形项。然而，Burgers模型是黏弹性模型，对塑性变形的描述不足，其几何形态与沥青混合料高温蠕变曲线虽有相似性，单次蠕变过程拟合相关性也很好[5-7]，但反演结果却让人质疑，因为由反演参数计算的黏塑性应变速率普遍大于实测的总应变速率，更无法描述后续的蠕变-恢复过程。

浇注式沥青混合料(GA)油石比高达7.4%～13.5%，塑性因素更突出。GA高温稳定性的评价主要采用贯入度试验，因试验方法简易，目前已在广泛的工程应用中积淀了大量数据。贯入度试验是GA在60 ℃水浴环境中的静压蠕变，得到的试验结果只属于经验性指标。若能改进Burgers模型塑性因素，通过位移曲线获取正确的力学参数，不仅能够增强性能评价的科学性，便于不同试验方法之间的横向对比，也为后续加载过程及其塑性变形积累计算提供基础。

对于塑性因素的改进方式，主要是在经典蠕变模型中增加、替换新元件和参数[8-11]，构造出更加贴合蠕变曲线的非线性模型。其次，在提高塑性变形占比方面，一些模型考虑了材料的瞬时塑性变形[12-14]。此外，在模型中引入屈服极限可以进一步将塑性变形分离出来[15-17]，予以单独描述。然而，塑性因素的改进对于不同材料有不同的具体形式，目前岩石材料的研究较多，沥青混合料的资料相对较少。笔者拟首先用Burgers模型及其含瞬时塑性应变改进模型研究GA的贯入蠕变-恢复过程，然后将弹性极限参数引入构建新模型，将其用于多次蠕变—恢复过程的描述。

1 加载曲线反演Burgers参数的问题

GA试件A(采用安徽天长产玄武岩集料，湖北黄冈产石灰岩矿粉，自产聚合物沥青，矿料质量配比为6～11 mm∶3～6 mm∶0～3 mm∶矿粉=30∶14∶30∶26，油石比7.4%)的贯入度试验结果与其卸载变形恢复数据如图1，贯入度试验方法如文献[18]。卸载方法是在加载达到60 min时立即取下砝码，并继续记录图1中各时刻贯入深度。卸载变形恢复需用记录值扣除加载机构的变形恢复。

Burgers模型如式(1)：

(1)

式中：ε(t)是以时间t为自变量的应变函数，ε1是弹性瞬时应变，ε2是黏塑性应变，ε3是黏弹性应变；σ0为恒载应力；E1、E2为弹性模量；μ1、μ2为黏度。

贯入度试验砝码52.5 kg，加载接触面直径25.2 mm，即加载应力σ0=1.032 MPa。试件为边长70.7 mm的立方体，四周及底面由钢制试模约束。由贯入深度除以试件边长可得实测应变ε。

Burgers模型试算不同力学参数的蠕变曲线，拟合曲线与实测曲线各点曼哈顿距离均值δ最小时的参数即为反演结果。加载起始贯入深度主要受E1影响，所以首先试算弹性模量E1。此外，μ1值主要影响加载后期斜率，μ2值影响初始斜率，E2影响斜率的变化率，考虑这些规律可以减少反演试算量。

1～60 min的9个加载拟合与实测曲线如图1。反演结果E1=63 MPa、E2=108 MPa、μ1=626 000 MPa·s、μ2=29 610 MPa·s、δ=0.010 3 mm。

图1 试件A蠕变恢复的实测曲线与拟合曲线

0 min贯入深度的拟合值为1.16 mm(瞬时弹性变形)，将反演参数代入式(1)，等号右侧第3项可计算出黏滞弹性变形为0.68 mm，则总弹性变形为1.83 mm。用总变形2.25 mm(60 min贯入深度)减去总弹性变形得到残余变形为0.42 mm。蠕变历时60 min，则黏塑性变形平均速率即达到了0.693 82 mm/min，而30～60 min的总变形速率均值仅有0.666 67 mm/min，计算的黏塑性变形大于了实测的总变形，这显然是矛盾的。

GA试件B(采用云南丽江产玄武岩集料、石灰岩矿粉，自产聚合物沥青，矿料配比为6～11 mm∶3～6 mm∶0～3 mm：矿粉=28∶11∶34∶27，油石比7.4%)的实测与拟合数据如表1，试件B相对于试件A的贯入度更大，材料更软。反演参数E1=18 MPa、E2=42 MPa、μ1=309 200 MPa·s、μ2=9 895 MPa·s、δ=3.70 mm。

表1 Burgers模型对试件B加载过程的拟合结果

试件B的0 min瞬时弹性变形拟合值为4.05 mm，黏弹性变形为1.74 mm，黏塑性变形为0.85 mm，黏塑性变形平均速率为1.415 56 mm/min， 30～60 min总变形速率均值仅为1.066 67 mm/min。笔者对多组贯入度数据分析后发现，黏塑性变形速率大于总变形速率的问题普遍存在。

用加载曲线反演参数计算卸载曲线存在更明显问题：无论是瞬时恢复还是黏滞恢复的数值都非常小，实测残余变形无论如何都远大于计算残余变形，整个卸载恢复过程的实测值都远大于拟合值(图1)。因此对于沥青混合料的高温蠕变，Burgers模型是失效的，由其反演的力学参数是错误的。

2 含瞬时塑性应变改进模型的问题

将瞬时塑性应变ε4引入Burgers模型，弥补实测残余变形和计算残余变形的差值，引入后改进模型如式(2)：

(2)

式中：ε4是与时间t无关的瞬时塑性应变。对后续蠕变过程如式(3)：

(3)

式中：S1，…，Sn为第1次至第n次加载的瞬时变形模量。后续加载的瞬时变形模量等于弹性模量E1的原因是首次加载造成的材料硬化。

卸载过程如式(4)：

(4)

可见，由Burgers模型反演的E1的数值实际上是S1。E1的真实值只能由卸载恢复阶段的实测数据反演。不必确定ε4具体形式，直接用实测加、卸载曲线拟合式(2)的5个参数：先用式(4)拟合GA试件A的61～90 min卸载过程的7个实测数据，μ1与卸载变形恢复无关，得到E1=436 MPa、E2=980 MPa、μ2=1 600 000 MPa·s。然后将这3个参数代入式(1)，用加载曲线反演得到ε4=0.019 802、μ1=426 100 MPa·s。拟合曲线见图1，可见此时δ值依然较大。

反复调整各个模型参数，从拟合曲线形态变化特点易知：调整ε4只能使曲线整体上下移动；调整μ1只能改变曲线斜率，无法改变斜率的变化速率。两个参数无论取何值都不能使之与实测加载曲线相符。导致上述问题的原因是：用卸载曲线拟合的黏弹性参数E2、μ2值较大，造成拟合加载曲线斜率的变化速率较小，似一条直线。

因此，补充瞬时塑性变形的改进模型解决了加、卸载过程残余变形的巨大差异问题，拟合效果有所改进，δ值从1.0(0.01 mm)、139.6(0.01 mm)减少为10.7(0.01 mm)、1.6(0.01 mm)。但是仍未解决加、卸载过程的变形速率变化率的差异问题，这个问题很可能源于Burgers模型的黏弹性项。

3 含弹性极限σe的新模型

贯入度试验荷载σ0=1.032 MPa，对于60 ℃的沥青混合料有：

σ0>σe

(5)

式中：σe为弹性极限。

此时，增加的不可恢复变形不止改进模型中的瞬时塑性变形，也应包括Burgers模型中被计入黏弹性变形的黏塑性成分，在此构建式(6)：

(6)

式(6)与式(1)是恒等式，区别在于式(6)引入了弹性极限σe。式(6)等号右侧的第1、3项分别是瞬时弹性应变和黏弹性应变，与Burgers模型的差异是用σe替代σ0；第5项是黏塑性变形，与Burgers模型相同；第2项是瞬时塑性应变，第4项是σ0>σe时新增的黏塑性成分，这两项的分母(变形模量)分别为E1、E2，即塑性阶段的应力-应变的关系与弹性阶段相同。将式(6)第1、2项相加，第3、4项相加即可消除σe，再次得到Burgers模型。

卸载过程只有弹性恢复，因而去掉式(6)等号右侧的第2、4、5项得：

(7)

第2次及后续加载过程的应变—时间函数仍为式(6)。因首次加载造成的材料硬化，必有：

σe=σ0

(8)

代入式(6)得：

(9)

式(9)是用σe取代σ0的Burger模型，可描述第2次和后续加载过程。

拟合时，首先由式(6)拟合加载过程，由于σe为可消除的参数，无论σe取何值对试算结果都无影响，因此只能得到E1、E2、μ1、μ2。再由式(7)拟合卸载过程得到σe。最后结合第2次加卸载曲线对参数进行微调，选择δ最小值为最终结果。GA试件A的拟合结果如图2，E1=63 MPa、E2=101 MPa、μ1=770 000 MPa·s、μ2=30 110 MPa·s、σe=0.074 MPa。卸载过程的δ略偏高可能与机构弹性恢复变化有关。可见，式(6)可统一描述反复加卸载过程的黏弹塑性变形。

图2 含弹性极限新模型对试件A两次蠕变-恢复的拟合曲线

4 新模型物理机制的探讨

Burgers模型各参数具有明确的物理含义[19]，ε1、ε2及ε3反映了蠕变过程中材料内部组成的如下变化机制：

1)加载形成的瞬时弹性变形ε1，是材料细观成分(沥青与矿料)的弹性变形，模量为E1；

2)发生弹性变形的细观成分位置不改变，但方向旋转变化，细观成分相互之间发生界面错动；旋转、错动是可恢复的，其数量绝对值由E2决定，变化速率由μ2决定，宏观上形成黏滞弹性应变ε2；

3)细观成分的弹性变形、错动、旋转为相对位移创造条件，相对位移克服的黏滞阻力由μ1决定，相对位移宏观上形成黏塑性应变ε3，且等于卸载残余应变。

引入弹性极限后，当荷载小于弹性极限时，新模型与Burgers模型恒等。当荷载超过弹性极限后，不但瞬时变形(细观成分变形)中包了含塑性ε4(如图3)，如矿料破碎，黏滞变形中的塑性占比也增加，即黏滞塑性不止来源于细观成分的相对位移(ε2)，细观成分还形成了不可恢复的错动、旋转。

图3 含弹性极限新模型应变分解

由式(6)看出，瞬时塑性应变占瞬时应变的比例，与细观成分错动、旋转塑性应变占细观成分错动、旋转总应变的比例是相同的，并且都由(σ0-σe)和E1决定。塑性阶段与弹性阶段的应力—应变关系是相同的。

5 新模型的验证和应用

5.1 新模型应用于SMA

采用SBS改性沥青SMA-13(矿料岩性同GA试件B，关键筛孔4.75 mm、0.075 mm通过率分别为40.6%、11.4%，油石比5.9%，外掺颗粒木质素纤维0.3%)的马歇尔试件(高度63.1 mm、空隙率7.0%)，在26 ℃条件下进行3次加卸载循环的贯入度及变形恢复试验，每次加载均需扣除对应的机构变形。试验结果如图4。

拟合第1次加卸载过程实测结果，反演得到E1=252 MPa、E2=204 MPa、μ1=2 460 000 MPa·s、μ2=27 100 MPa·s、σe=0.082 MPa。相对60 ℃的GA，26 ℃的SMA-13的E1、E2分别提高了4倍和2倍，μ1提高3倍多，μ2大体相当。根据新模型的物理机制，当油石比减少、温度下降后，矿料占比的增加和沥青的增稠，使得细观成分的整体模量提高，可恢复的瞬时弹性旋转、错动减少但速度几乎不变，不可恢复的塑性相对滑移难度增加。弹性极限σe只是略有增加，这可能与试验过程中马歇尔试件无侧限有关。

用第1次加卸载变形实测值的反演参数，对后续加卸载过程进行模拟计算，变形曲线如图4。除第2次加载过程的偏差δ=1.19(0.01 mm)，其余过程δ均小于0.5(0.01 mm)，模拟效果较好。

图4 SMA-13的3次加、卸载变形曲线

5.2 新模型应用于组合结构

GA+SMA是钢桥面铺装的主要结构形式，为取得铺装整体的黏弹性参数并验证新模型的适用性，用马歇尔试模成型了总厚7.3 cm的组合结构试件如图5。

图5 组合试件的成型与试验

组合试件的成型方法为：先成型4.2 cm厚的GA底层，并在流态GA表面嵌入5～10 mm碎石；GA成型后静置1 d，在其表面击实150次成型3.1 cm厚的SMA-13。连同试模一起进行60 ℃的重复贯入-恢复试验，再进行拟合与模拟，结果如图6。

图6 组合试件三次加、卸载变形曲线

用首次加、卸载过程反演有E1=105 MPa、E2=364 MPa、μ1=1 900 000 MPa·s、μ2=40 000 MPa·s、σe=0.12 MPa，分别较60 ℃的GA提高了1.7、3.6、2.5、1.3、1.6倍。模拟计算后续加、卸载过程，δ均小于0.6(0.01 mm)。

6 结 论

1)用蠕变曲线Burgers模型反演参数计算的黏塑性变形速率大于实测总变形速率，计算的残余变形远小于实测的残余变形，更不能描述恢复过程，因此其反演参数是错误的，Burgers模型不能描述沥青混合料的高温蠕变。

2)含瞬时塑性变形改进模型克服了蠕变与恢复过程残余变形的巨大差异，拟合效果较Burgers模型改进。但是，蠕变与恢复过程的变形速率变化率的差异较大，更不能描述后续的蠕变-恢复过程。

3)含σe新模型是在含瞬时塑性变形改进模型基础上，增加一个黏塑性项，该项的实质是细观成分的错动和旋转，而非细观成分的相对位移。新增黏塑性变形在细观成分错动和旋转变形中的占比与瞬时塑性变形在瞬时变形中的占比相同。

4)新模型通过σe将初次加载的塑性变形分离出来，并在材料硬化基础上，能以该参数加载继续计算后续的蠕变。

5)σe的引入拓展了Burger模型使用范围，但限于试验条件，笔者只进行了2种温度、1种应力水平、3种材料的静态贯入试验验证。此外，在试验方法上，如何克服静态贯入试验的机构变形、提高位移测量精度等方面还有待优化；在理论方面，应进一步构建三维应力模型考虑侧限约束、加载路径影响，以便统一不同方式的蠕变结果。