反演变换的概念及其几个性质

罗文科

反演变换是几何变换的一种，在几何变换中具有一定的地位。了解反演变换的知识也是学习几何知识时所应该做的。作为学习数学的学生应该多了解数学的知识，特别是数学的一些基础知识。再则可多了解一种方法，这样更有利于扩大解题思路，找到更多的解题方法。

一、 反演变换的概念

（一）反演变换的概念

平面上，设已知一个以O点为圆心，R为半径的圆O。平面上任一异于点O的点A，在OA或OA的延长线上取一点A1（如圖1 ），使得

OA·OA1=R2 ① 或OA1=R2/OA ②

我们称点A1是点A关于圆O的反演点，圆O称为反演圆或基圆，点O 称为反演中心或反演极，R称为反演半径或反演幂。

由②式可见，如果点A在反演圆O内，即OAR。所以反演点A1位于圆O外。

反之若点A位于圆O外，则点A1位于圆O内。而当点A位于圆O上时，因为OA=R，所以OA1=R，即点A1也在圆O上且与点A重合，是反演的二重点，也叫不变点。

显然，如果点A1是点A关于圆O的反演点，则点A也是点A1关于圆O的反演点。也就是，A、A1关于圆O互为反演点，有时也简称为互逆点。

在反演变换下，如果图形F变为图形F1，则F1称为图形F关于圆O的反形。而由上面可知F也是F1关于圆O的反形。

这说明，反演变换具有互逆性。

（二）无穷远点

由反演变换的定义，我们可以看到反演中心O没有反演对应点，即没有反演点，因此反演变换不是一一变换，为了后面反演变换性质的讲述和作图中的讨论，我们在下面引入“无穷远点”。

首先考虑两条直线，一条固定，另一条绕它的一个点（不是两条直线的交点）旋转，当它们趋近平行线的位置时，交点越移越远，当两直线成为真正平行时，交点消失。因此产生了熟悉的说法“平行线相交于无穷远点”。

为了更一般的说明我们进行如下定义：

两条或更多条直线相交于一点或共点，意思是以下两种情况的任一种：或者有一个交点，所有直线都通过它；或者这些直线都平行。两条或多条平行直线可以说成有一公共的无穷远点，或者说在无穷远处相交。

上述定义中两条或多条直线有一个公共的无穷远点就是这些直线平行的另一种说法。

二、反演变换的有关性质

为了统一圆和直线，把直线看作半径为无穷大，圆心在它的垂线上的无穷远点的圆。这样直线和圆统称为广义圆。

（一）直线和圆的反形

（1）反演变换，把通过反演中心O的任何一条直线变成自己。即通过反演中心的任何直线都是该反演变换的不变图形。

这是显然的，设直线a与圆交于点M、N，对于射线OM来说，OM上的点A变成射线MA1上的点A1，即MO变成射线MA1。同理，对于射线ON也一样。O点就对应于无穷运点。

（2）反演变换，把不通过反演中心O的任何一条直线变成一个通过反演中心的圆，而且这个圆在点O处的切线平行于该直线。

（3）反演变换，把通过反演中心O的任何一个圆变成一条不通过反演中心的直线而且该圆在点O处的切线平行于这条直线。

（4） 反演变换，把不通过反演中心O的任何一个圆变成一个圆。

（二）反演变换的保角性

为了介绍反演变换的保角性，我们先来了解一下有关角的概念。

设一条直线和一条直线相交，约定较小的那个角为它们的夹角；设一直线和一个圆相交，规定它们的夹角是指这条直线和圆在交点处的切线的夹角（如图7）；若两个圆相交，规定他们的夹角是指在交点处的切线的夹角（如图8）。两直线平行时，或者一直线和一个圆相切时，或者两圆相切时，它们的夹角为零。

如果一直线和一圆的夹角为直角，则称直线和圆直交或正交，当且仅当直线通过一圆的圆心时，直线才和圆直交；如果两圆的夹角为直角，则称这两个圆直交或正交；直线和直线垂直时也说这两条直线直交或正交[1]。

（5） 任何两条直线在他们的交点A处的夹角，等于他们的反形在相应点A1处的夹角，但方向相反。

（6） 一条直线和一个圆在交点A的夹角，等于它们的反形在相应点A1处的夹角，但方向相反。

（7） 相交两个圆在交点A处的夹角，等于它们的反形在相应点A1处的夹角，但方向相反。

由上面的性质可以得出下面的两个重要结论。

结论1：反演变换把两个相切，但切点不是反演中心的（广义）圆，变为两相切的（广义）圆。

对于两个相切于反演中心的（广义）圆，它们的夹角为零，经反演变换后，由（1）、（3）可知，它们都变成直线，又由保角性可知，这两条直线的夹角为零，因而是两条平行直线。

结论2：反演变换把两直交的（广义）圆变成直交的（广义）圆。