小角度条件下θ≈tan θ≈sin θ的应用

邵 永 王新建

(1.安徽省砀山中学，安徽 宿州 235300；2.安徽省砀山四中，安徽 宿州 235300)

1 引言

在教材的不同章节中，有一些规律的理解和应用需要用到小角度条件下θ≈tanθ≈sinθ(以下简称关系式)的结论，笔者依据教材进行重新整合，体会小角度条件下关系式的应用，加深学生对物理知识的理解。

2 关系式应用举隅

2.1 确定摩擦力方向

例1：如图1所示，一个质量为0.10 kg的小物体放置在水平圆盘上，物体距圆盘中心距离为0.10 m，随着圆盘一起绕垂直于圆面且过圆心的竖直轴以角速度4 rad/s做匀速圆周运动。

图1

(1)求小物体所受向心力的大小。

(2)关于小物体所受的向心力，甲、乙两人有不同意见：甲认为该向心力等于圆盘对物体的摩擦力，指向圆心；乙认为小物体有向前运动的趋势，静摩擦力方向和相对运动趋势方向相反，即向后，而不是与运动方向垂直，因此向心力不可能由静摩擦力提供。你的意见如何？说明理由。

教师用书的解析：(1)向心力Fn=mω2r=0.10×42×0.10 N=0.16 N。(2)乙的观点错误，甲的观点正确。静摩擦力阻碍的是相对运动趋势而不是阻碍运动趋势，静摩擦力的方向与相对运动趋势方向相反，假设在匀速转动的过程中，圆盘突然变得光滑，小物体因为惯性将会沿切线方向飞出。从相对运动的视角来看，小物体有相对圆盘沿半径方向向外的趋势，故静摩擦力的方向指向圆心。

讨论：以上是人教版教材中的课后习题和教师用书中的解析，解析中虽然指出了应该根据相对运动趋势方向判断静摩擦力的方向，但从解析中也看不出相对运动趋势方向是沿半径向外的。如果从力和运动关系的角度由运动情况推知受力情况，可知静摩擦力确实是指向圆心的，可见甲的观点是正确的，那么如何从与相对运动趋势方向相反的角度印证静摩擦力的方向是指向圆心的呢？

图2

2.2 推导视深公式

例2：射水鱼在水中能准确射中水面上不远处的小昆虫。如图3所示，水中的鱼看到小昆虫在什么位置？是在实际位置的上方还是下方？

图3

解析：相对于空气，水是光密介质，由折射定律可知：光线从空气斜射入水中时会向法线靠拢，而鱼是逆着光线确定昆虫的位置的，因此看到的位置一定在实际位置的上方。

图4

2.3 研究单摆运动

由于简谐运动是在与相对平衡位置的位移成正比的回复力作用下的往复运动，对于单摆，只有在小角度条件下的摆动才是简谐运动，所以人教社不同版次的教材中都利用了小角度条件予以证明，然后通过实验得到单摆周期公式。如果在此基础上推导出单摆的周期公式，与教材中从实验得到的单摆周期公式相互印证，可以加深学生对单摆运动的认识。

图5

2.4 推导双缝干涉条纹间距公式

图6

2.5 火车弯道设计

由于火车的质量很大，如果火车转弯所需的向心力由铁轨与突出的轮缘间的挤压力提供，会存在安全隐患，所以弯道的路基通常铺成外高内低，如果让支持力和重力的合力正好提供向心力，弯道的半径和内外轨道的高度差就要有特殊的要求，转弯速度、转弯半径、内外轨道的高度差之间有着怎样的定量关系呢？

图7

3 结语

物理学与生产、生活、科技等方面有着紧密的联系，通过θ≈tanθ≈sinθ对教材中相关问题进行探讨，可激发学生的学习兴趣，培养学生分析问题、解决问题的能力，促进核心素养培养目标的达成。