基于矩阵运算的直升机旋翼/机体耦合动力学模型

吴 靖，刘湘一，宋山松

（海军航空大学，山东烟台 264001）

直升机的旋翼/机体耦合动态响应仿真对于其动稳定性分析，特别是非线性动稳定性分析，以及故障响应分析等动力学问题来说具有重要意义，旋翼/机体耦合动力学建模是其进行动态响应仿真的基础。国外最经典的旋翼/机体耦合动力学模型是由Coleman 等提出的，他们针对铰接式旋翼直升机，在旋转坐标系中建立各桨叶的运动方程，在固定坐标系中建立机体的运动方程，在研究旋翼/机体耦合动稳定性时，将2种运动统一在同一个坐标系中，通过多桨叶坐标变换，把桨叶在旋转坐标系中的运动自由度转换到固定坐标系中。尔后，大部分学者都是在此基础上对直升机旋翼/机体耦合动稳定性进行研究的。张晓谷等根据简化的旋翼桨叶模型，采用复数坐标系及互激励方法，由简到繁，从机理上对直升机地面共振进行了研究，探究了产生动不稳定性的主要原因及影响动稳定性的主要因素，建立了适合工程应用的直升机旋翼/机体耦合动力学模型。

计算桨叶任一剖面的速度及加速度是直升机旋翼/机体耦合动力学建模过程中的重点问题，传统的矢量方法虽应用较为广泛，但由于直升机旋翼/机体耦合动力学问题中涉及的变量（包括桨叶的摆振角、挥舞角和机体的滚转角、俯仰角以及对应的角速度和角加速度等）较多，主要变量达6+6 个（为旋翼桨叶数），在采用矢量方法推导桨叶任一剖面的速度及加速度，并用于直升机旋翼/机体耦合动态响应仿真时较为复杂。因此，在进行推导的过程中须进行简化，如进行小角度线性假设等，这样建立的模型一般适用于小扰动线性分析。另外，基于动力学模型进行直升机旋翼故障诊断等分析时，对动力学模型的计算精度要求较高，保留运动非线性有利于仿真得出更准确的故障样本。

基于矩阵运算，在保留运动非线性的情况下推导桨叶任一剖面的速度及加速度，并建立对应的直升机旋翼/机体耦合动力学模型，用于对直升机动态响应进行仿真分析。

1 坐标系及坐标变换

直升机桨叶和机体为刚性模型，采用带外伸量的当量铰。旋翼机体物理模型坐标系，如图1所示。

图1 物理模型及坐标系Fig.1 Physical model and coordinate system

图1中：为机体固定坐标系，其中，为机体滚转轴，为机体俯仰轴；为旋翼坐标系，原点即为运动前的桨毂中心；为桨毂不旋转坐标系，坐标原点固定于桨毂中心；为桨毂旋转坐标系，随旋翼转动；为桨叶未变形坐标系；为桨叶运动坐标系，轴和桨叶变距轴重合。

第片桨叶挥舞角β上挥为正，摆振角ζ后摆为正，则从变换到为：

从变换到只是平移，变换矩阵为单位阵。

2 桨叶任一点的速度及加速度

挥舞/摆振铰外伸量为，点在中的矢径为：

点在中的矢径为：

桨毂中心距机体重心纵向距离为，桨毂中心距机体运动轴距离为，点在中的矢径为：

令=，=，则：

点在中的速度和加速度为：

点在中的速度和加速度为：

在计算桨叶任一点速度及加速度时，假定桨叶是刚性的，因此，建立的动力学模型适用于铰接式旋翼直升机以及变形主要发生在桨叶根部的无铰式或无轴承式旋翼直升机。

3 旋翼/机体耦合动力学模型

3.1 旋翼运动方程

桨叶作用于挥舞/摆振铰的力矩包括惯性力矩、弹簧力矩、结构阻尼力矩及气动力矩等，因此，第片桨叶的挥舞运动及摆振运动方程为：

3.2 机体运动方程

式（16）（17）中：I、c和k分别是机体在滚转方向上的惯性矩、阻尼和刚度；I、c和k分别是机体在俯仰方向上的惯性矩、阻尼和刚度。

3.3 动力入流方程

作用在旋翼上的气动力是非定常的，对于低频振动的直升机来说，用动力入流模型能较好地描述非定常气动力的作用。

用扩展的Pitt-Peters 动力入流模型来描述非定常气动力，其动力入流方程为：

式（18）中：为空气的质量矩阵；为入流的增益矩阵；、和分别为旋翼总的气动升力、对桨毂中心的气动滚转力矩和气动俯仰力矩；、和分别为平均诱导速度、气动滚转力矩和俯仰力矩引起的诱导速度，均为无量纲量。

将所有桨叶的挥舞和摆振运动方程、机体的俯仰和滚转运动方程以及旋翼动力入流方程联立，组成直升机旋翼/机体耦合动力学模型。

4 旋翼/机体耦合动态响应仿真

4.1 主要参数

所用模型为美国NASA采用的无铰旋翼模型，桨叶剖面翼型为NACA23012，旋翼、机体模型的主要参数取自文献[18]，如表1 所示。旋翼设定转速为1 000 r/min，桨叶初始安装角为6°，来流角为0°。

表1 旋翼及机体模型参数Tab.1 Model parameters of rotor and fuselage

4.2 小角度线性简化的影响

以机体运动为例，观察小角度线性简化的影响。令 β=ζ=0 ，即 桨 叶 无 挥 舞 和 摆 振 运 动，Ф=Asinωt，Ф=Asinωt，A、ω和A、ω分别为滚转和俯仰运动的幅值和频率，线性简化时，sinФ=Ф，cosФ=1，sinФ=Ф，cosФ=1。不同机体运动频率下，小角度线性简化前后桨尖方向最大速度的差值比=(′-)随机体运动幅值的变化，如图2所示。

图2 小角度线性简化的影响Fig.2 Effect of small angle linear simplification

由图2可以看出，随着机体运动幅值的增加，小角度线性简化对结果的影响越来越大。对于滚转频率为3.96 Hz的情况，滚转幅值15°时，差值已超过5%；对于俯仰频率为1.59 Hz 的情况，俯仰幅值15°时，差值已超过6%。另外，随着运动频率的减小，小角度线性简化的影响逐渐增强，分析可知，机体运动速度影响桨毂中心的速度，从而影响桨叶的速度，而机体运动速度取决于幅值和频率，随着频率的减小，幅值对速度的影响将被强化。

4.3 不同桨距的仿真结果

总距为0 ～5°时，直升机第1片桨叶挥舞和摆振的响应,如图3、4 所示。由图3、4 可知，采用所建直升机动力学模型进行响应求解，15 s 后结果基本能收敛稳定，说明模型能很好地计算不同总距情况下的响应，随着总距的增加，在气动力的作用下，桨叶的挥舞角和摆振角随之增加。

图3 不同总距下的挥舞角Fig.3 Flapping angles at different collective pitches

图4 不同总距下的摆振角Fig.4 Lag angles at different collective pitches

5 结论

通过计算机体不同运动情况下进行小角度简化前后桨叶的速度，发现随着机体运动幅值的增加，小角度简化带来的误差越来越大，且运动频率的减小会进一步增大误差。对不同桨距的情况进行仿真，结果表明，所建模型可以快速求解直升机的响应，采用该模型可对不同旋翼转速、不同阻尼情况、不同频率情况下的直升机旋翼/机体耦合动态响应进行仿真，从而实现旋翼/机体耦合动稳定性时域分析。通过设置桨叶初始安装角、改变桨叶不同位置的质量来实现旋翼不平衡故障的模拟，为旋翼动平衡故障诊断研究提供仿真数据样本。