磁流变阻尼器受控平面L形框架结构的多维减震

2022-09-30张香成杨洋徐宏辉赵军王东炜

科学技术与工程 2022年23期

张香成，杨洋，徐宏辉，赵军* ，王东炜

(1.郑州大学力学与安全工程学院，郑州 450001； 2.郑州大学土木工程学院，郑州 450001)

磁流变阻尼器(magnetorheological damper, MRD)是一种可调节阻尼的减震控制装置，具有功耗小、响应迅速、阻尼力大且连续可调等优点，在土木工程减震防灾方面展现出良好的应用前景[1-3]。

由于不规则结构的质心和刚心不重合，建筑结构特别是平面L形框架结构[4-5]极易受到地震破坏，在结构中设置MRD是减小结构多维地震响应和扭转震动的一种有效途径[6]。1998年，Dyke等[7]首次对设置MRD的3层模型结构进行振动台试验研究，结果表明，MRD能有效减小结构的地震峰值响应和均方根响应。Cruze等[8]分析了设置MRD的单层钢筋混凝土框架在地震激励下的响应，试验表明该MRD可以减小中震和强震作用下的结构响应。王昌盛等[9]以醋酸厂钢结构厂房为研究对象，对同时使用黏滞阻尼器和MRD的结构进行了振动台试验。试验结果表明，同时设置黏滞阻尼器和MRD对框架结构的位移响应和扭转振动有显著的控制作用。周陈程等[10]对各层均设置MRD的5层框架结构进行了分析，结果表明，随着层数增加，MRD对结构位移响应峰值的控制效果逐渐减小。李歆等[11]对设置MRD的3层框架结构进行了实时混合模拟试验，试验证实了MRD对框架结构的位移和加速度响应具有较好的控制效果。对MRD受控结构进行试验能真实反映结构的减震效果，结果准确、可靠性高，但试验研究周期相对较长、费用高、试验工况可能不充分。数值仿真方面，由于MRD复杂的流变特性，现有的通用有限元软件很难模拟MRD及其力学模型，因此国内外学者多采用MATLAB软件中的Simulink工具箱或自编程序的方法对设置MRD的建筑结构进行建模和仿真分析，但大多将MRD受控结构简化为平面模型[12-13]，无法描述其多维减震特性和扭转控制效果。

为此，基于前期建立的MRD受控框架结构空间杆系模型[14]，通过引入矩形壳单元，建立未控和MRD受控平面L形框架结构的空间计算模型，并采用MATLAB软件开发相应的仿真分析程序，在三向地震作用下进行动力时程分析。旨在：①为未控和MRD受控平面L形框架结构的多维地震响应分析提供一种数值分析方法；②研究多维地震作用下，MRD对平面L形框架结构的多维减震性能和扭转震动控制效果。

1 MRD受控框架结构的建模理论

平面L形框架结构采用的空间梁单元与文献[15]一致。

1.1 考虑剪切效应的空间壳单元矩阵

图1中的矩形壳单元每个节点处各有6个自由度：沿坐标轴方向的线位移u、v、w和绕坐标轴方向的角位移θx、θy、θz。

括号内数字为自由度编号图1 二十四自由度四节点矩形壳单元Fig.1 The 24 degrees of freedom of 4-node rectangular shell element

壳单元的刚度由两部分组成，分别是平面刚度和弯曲刚度，矩形壳单元的平面应力问题对应于u、v和θz的自由度，平板弯曲问题对应于w、θx和θy的自由度。两者结合可以得到局部坐标系中矩形壳单元的刚度矩阵ke，即

(1)

i,j=1,2,3,4

(2)

同理，可获得矩形壳单元在局部坐标系中的一致质量矩阵me。

(3)

i,j=1,2,3,4，

(4)

1.2 整体坐标系下的单元矩阵

在总矩阵组装前，需将局部坐标系下的单元刚度矩阵和单元质量矩阵分别转换成整体坐标系下的单元刚度矩阵Ke和单元质量矩阵Me,即

Ke=TTkeT

(5)

Me=TTmeT

(6)

(7)

式中：T为单元的坐标转换矩阵。

对于梁单元n=4，对于壳单元n=8。

基于整体坐标系X、Y、Z和局部坐标系x、y、z的方向余弦关系可以推导得到t，即

(8)

1.3 半主动控制算法

平面L形框架结构中设置的MRD是由本课题组自行研制的[14]，在频率0.1 Hz的正弦波激励下，该MRD在电流为0、2.4 A时对应的最小、最大阻尼力分别为10、200 kN。在地震作用下，MRD受控结构所需的最优控制力矩阵采用LQR(linear quadratic regulator)控制算法计算，由于MRD的阻尼力范围有限，因此，采用如图2所示的半主动控制算法对最优控制力进行调整。

Ui为第i个MRD的最优控制力；ui为第i个MRD两端的相对位移； Fi为第i个MRD的阻尼力；Fmin、Fmax为最小、最大阻尼力图2 半主动控制算法Fig.2 The semi-active control algorithm

1.4 其他理论

框架结构中MRD的位置矩阵、框架结构的阻尼矩阵以及设置阻尼器减震结构运动微分方程等理论见文献[14]。

2 模型编程及验证

2.1 平面L形框架结构以及MRD的位置

图3(a)所示的是平面L形框架结构的空间布置图，该结构所在地区抗震设防烈度为7度，设计基本地震加速度为0.1g，设计地震分组为第一组，Ⅲ类场地。结构中X向梁的截面尺寸为300 mm×700 mm，Y向梁的截面尺寸为250 mm×650 mm，Y向前三排柱的截面尺寸为700 mm×700 mm，后两排柱的截面尺寸为600 mm×600 mm，楼板厚度为120 mm。混凝土强度等级为C40，弹性模量为3.25×104N/mm2，泊松比为0.2，钢筋混凝土密度为2.50×103kg/m3，假定结构前两阶振型阻尼比为0.05，假定最底层柱为固结。MRD布置的具体位置如图3(b)所示。

图3 平面L形框架结构的空间布置图Fig.3 Spatial layout drawing of plane L-shaped frame structure

2.2 地震波选取

根据《建筑抗震设计规范》[19]第5.1.2条第3款，选取了7条地震波作为动力时程输入[20]：Taft、Kobe、El-Centro、Loma Prieta、Northridge、Duzce Turkey、Hector Mine，各时程反应谱及七条地震波的平均反应谱与设计反应谱影响系数曲线如图4所示，与设计反应谱相比，该结构主要周期点的7组地震波的平均谱的误差为2.78%(设计反应谱：0.391 4，七条地震波的平均反应谱：0.402 6)，满足规范要求。

图4 地震波反应谱及平均谱与设计谱对比Fig.4 Comparison of seismic wave response spectrum, average spectrum and design spectrum

2.3 模型编程及验证

在对MRD受控平面L形框架结构进行弹性动力时程分析时，采用Wilson-θ法求解结构的运动微分方程，并取θ=1.37。基于上述条件和方法，作者采用MATLAB软件编制了未控和MRD受控平面L形框架结构的空间杆系计算模型和弹性动力时程分析程序，经过试算确定LQR控制算法中的权矩阵系数α=100、β=3.5×10-5。

为验证MATLAB自编程序的有效性，采用ANSYS软件建立该结构的有限元模型，其中，梁、柱采用BEAM188单元、楼板采用SHELL181单元，其余的材料参数均与MATLAB自编程序相同。在ANSYS建模时，单个柱和梁均划分为4单元，单个楼板划分成4×4单元。两个模型均选用El-Centro地震波，地震加速度时程曲线的最大值调整为70 cm/s2，地震波峰值加速度之比为X∶Y=1∶0.85。在El-Centro波激励下，两个模型114号节点X向、Y向的加速度响应在整个地震持续时间内基本一致，X向、Y向的最大加速度误差仅为1.36%、0.35%，如图5所示。此外，两个模型前十阶自振频率的最大误差为1.63%，说明本文开发的平面L形框架结构MATLAB程序的计算结果准确、有效。

3 结果分析

选用2.2节中的七条地震波，地震持时均为20 s，地震波加速度时程曲线的峰值调整为220 cm/s2，三向地震波峰值加速度之比X∶Y∶Z=1∶0.85∶0.65[18]。

3.1 多维减震结果对比分析

在Loma Prieta波、Hector Mine波作用下，未控结构和MRD受控平面L形框架结构114号节点的位移时程结果如图6所示。图6表明，在Loma Prieta波和Hector Mine波作用下，相比未控结构，MRD受控结构顶层114号节点的三向位移响应均有减小。在Loma Prieta波作用下，MRD受控结构114号节点X向、Y向和Z向的最大位移分别为37.88、39.04、0.829 mm，相比于未控结构的49.94、52.64、1.082 mm分别减少了24.15%、25.83%和23.38%；在Hector Mine波作用下，MRD受控结构114号节点X向、Y向和Z向的最大位移分别为26.14、25.04、0.566 mm，相比于未控结构的33.85、31.66、0.701 mm分别减少了22.78%、20.91%和19.26%。

图5 自编程程序和ANSYS模型运算的 114节点加速度响应时程比较Fig.5 Comparison of No.114 acceleration time-history response between self-programmed model and ANSYS model

图6 未控结构和MRD受控平面L形框架结构 114号节点三向位移响应对比Fig.6 Comparison of the X, Y and Z directional displacement response of the No.114 of the plane L-shaped frame structure with and without MRD

7条地震波作用下的未控结构和MRD受控平面L形框架结构114号节点的三向最大位移对比如图7所示。图7(a)表明，在7条地震波作用下，MRD受控结构114号节点X向最大位移的减震率为15.27%～30.15%，在Duzce Turkey波作用下减震率最大，从48.78 mm减小到34.06 mm，在El-Centro波作用下减震率最小，从54.77 mm减小到46.41 mm，七条波的平均值从46.38 mm减小到35.76 mm，减小了22.92%；图7(b)表明，在7条地震波作用下，该点Y向最大位移的减震率在15.89%～32.08%，在Northridge波作用下减震率最大，从56.82 mm减小到38.59 mm，在El-Centro波作用下减震率最小，从50.01 mm减小到42.06 mm，七条波的平均值从46.41 mm减小到34.71 mm，减小了25.20%；图7(c)表明，在7条地震波作用下，该点Z向最大位移的减震率11.64%～23.65%，在Duzce Turkey波作用下减震率最大，从0.926 mm减小到0.707 mm，在El-Centro波作用下减震率最小，从1.228 mm减小到1.085 mm，七条波的平均值从1.001 mm减小到0.801 mm，减小了19.89%。

图7 七条地震波作用下未控结构和MRD受控平面L形框架结构114号节点三向最大位移对比Fig.7 Comparison of the X, Y and Z directional maximum displacement of No. 114 of the plane L-shaped frame structure with and without MRD under the action of 7 seismic waves

在Loma Prieta波、Hector Mine波作用下，未控结构和MRD受控平面L形框架结构114号节点的三向加速度时程结果如图8所示。图8表明，在Loma Prieta波、Hector Mine波作用下，相比未控结构，MRD受控结构114号节点的X向、Y向加速度响应均有减小，但Z向加速度响应变化不大。在Loma Prieta波作用下，MRD受控结构114号节点X向、Y向和Z向的最大加速度分别为3.74、3.63、0.391 m/s2，相比于未控结构的5.35、4.96、0.382 m/s2分别减少了30.08%、26.91%和-2.33%；在Hector Mine波作用下，MRD受控结构114号节点X、Y、Z向的最大加速度分别为3.57、2.63、0.172 m/s2，相比于未控结构的4.80、3.16、0.173 m/s2分别减少了25.65%、16.84%和0.67%。

7条地震波作用下的未控结构和MRD受控平面L形框架结构114号节点的三向最大加速度对比如图9所示。图9(a)表明，在七条地震波作用下，MRD受控结构114号节点X向最大加速度的减震率为3.35%～30.08%，在Loma Prieta波作用下减震率最大，从5.35 m/s2减小到3.74 m/s2，在Northridge波作用下减震率最小，从5.81 m/s2减小到5.62 m/s2，七条波的平均值从5.79 m/s2减小到4.94 m/s2，减小了14.71%；图9(b)表明，该点Y向最大加速度的减震率在9.50%和26.91%之间，在Loma Prieta波作用下减震率最大，从4.96 m/s2减小到3.63 m/s2，在Northridge波作用下减震率最小，从5.50 m/s2减小到4.98 m/s2，七条波的平均值从5.19 m/s2减小到4.31 m/s2，减小了17.01%；图9(c)表明，该点Z向最大加速度的减震率为-3.24%～5.19%，在Kobe波作用下减震率最大，从0.170 m/s2减小到0.144 m/s2，在Duzce Turkey波作用下减震率最小，从0.247 m/s2到0.255 m/s2，平均值从0.244 m/s2减小到0.234 m/s2，减小了0.37%。

图8 未控结构和MRD受控平面L形框架结构 114号节点三向加速度响应对比Fig.8 Comparison of the X, Y and Z directional acceleration response of the No.114 of the plane L-shaped frame structure with and without MRD

根据设置MRD减震结构运动微分方程[12]可知，在结构中设置MRD后，会增加一个控制力矩阵，这相当于增大了结构的刚度和阻尼，而二者都能减小地震作用下结构的位移响应，因此在结构中设置MRD后，结构的位移控制效果非常明显，如图7所示，X、Y、Z向最大位移平均值的减震率分别为22.92%、25.20%、19.89%；但是增大结构的阻尼和刚度对地震作用下结构的加速度响应产生的作用是相反的，因此加入MRD后，结构的加速度控制效果比较一般，如图9所示，X、Y、Z向最大加速度平均

图9 7条地震波作用下未控结构和MRD受控平面 L形框架结构114号节点三向最大加速度对比Fig.9 Comparison of the X, Y and Z directional maximum acceleration of No. 114 of the plane L-shaped frame structure with and without MRD under the action of 7 seismic waves

值的减震率分别为14.71%、17.01%、0.37%。由于Z向没有布置MRD，导致Z向的位移、加速度减震率相对较小。

3.2 各层最大响应结果对比分析

在七条地震波的作用下，未控结构和MRD受控平面L形框架结构各层最大位移、加速度和层间位移角的平均值对比如图10所示。可以看出，结构设置MRD以后，各层的最大位移、加速度和层间位移角的平均值均有减小。以第3层为例，图10(a)和图10(c)表明，MRD受控结构X、Y、Z向最大位移的平均值为24.93、23.43、0.707 mm，相比于未控结构的32.70、30.97、0.884 mm分别减少了23.77%、24.35%和20.07%；图10(b)和图10(c)表明，MRD受控结构X、Y、Z向最大加速度的平均值为3.47、2.87、0.205 m/s2，相比于未控结构的4.15、3.35、0.206 m/s2分别减少了16.51%、14.33%和0.66%；图10(d)表明，MRD受控结构X、Y向的最大层间位移角的平均值为1/488、1/509，相比于未控结构的1/385、1/392分别减少了21.05%、23.26%。

由图10(d)可见，未控和MRD受控平面L形框架结构的层间位移角均随着结构层数的增加先增大后减小，最大值出现在第二层，而非底层，这是因为结构底层柱假定为固结，底层柱底角位移为0，导致底层层间位移角较小，但不小于第二层层间位移角的1/2，说明该图是合理的。

图10 未控结构和MRD受控平面L形框架结构各层最大位移、加速度和层间位移角的平均值对比Fig.10 The mean comparison of the maximum displacement, acceleration and interlayer displacement angle of each floor of the plane L-shaped frame structure with and without MRD

3.3 扭转控制结果对比分析

随机选用Taft波和Kobe波对平面L形框架结构的扭转震动响应进行分析。图11为未控结构顶层节点X、Y向位移响应对比结果。从图11看出，在地震波作用时间内，未控结构96号和113号节点X向水平位移响应有较大差别，而96号和100号节点Y向位移响应基本一致。在Taft作用下，96号和113号节点X向位移最大值分别为36.95、46.36 mm，位移比值为1.255，96号和100号节点Y向位移最大值分别为54.29、48.33 mm，位移比值为1.123；在Kobe作用下，96号和113号节点X向位移最大值分别为33.89、42.58 mm，位移比值为1.257，96号和100号节点Y向位移最大值分别为45.73、48.76 mm，位移比值为0.938，说明未控结构在XOY平面内的扭转震动较为明显。

图12为MRD受控结构顶层节点X、Y向位移响应对比结果。从图12可知，MRD受控结构96号和113号节点X向水平位移以及96号和100号节点Y向水平位移响应基本一致。在Taft作用下，96号和113号节点X向最大位移分别为33.37、34.57 mm，比值为1.036，结构96、100号节点Y向最大位移分别为40.10、38.44 mm，比值为1.043；在Kobe作用下，96号和113号节点X向最大位移分别为32.98、32.25 mm，比值为0.978，96号和100号节点Y向最大位移分别为33.74、34.45 mm，比值为0.980，说明设置MRD后，平面L形框架结构的扭转震动响应得到明显的控制。

图11 未控结构顶层节点水平位移响应对比Fig.11 Horizontal displacement response comparisons of the node at top floor of the structure without MRD

Taft波和Kobe波作用下平面L形框架结构的各层水平双向最大位移比值如表1所示。从表中可以看出，在地震波的作用下，加入MRD后，平面L形框架结构各层Y向的最大位移比值更趋近于1，结构各层X向的最大位移比值明显降低，也趋近于1，说明平面L形框架结构的扭转震动响应得到了明显的控制。

从图3可以看出，平面L形框架结构的质心和刚心不重合，直接导致了平面L形框架结构在地震作用下的扭转震动响应比较明显。由于多层平面L形框架结构属于剪切型结构，在结构底部楼层、远离刚心的位置布置少量的MRD，能有效增加整体结构的抗剪刚度和抗扭刚度，这也是本文平面L形框架结构设置MRD后其多维震动和扭转震动响应得到有效控制的主要原因。

图12 MRD受控框架结构顶层节点水平位移响应对比Fig.12 Horizontal displacement response comparisons of the node at top floor of the structure with MRD

表1 地震波作用下未控结构和MRD受控结构各层最大位移比值Table 1 The maximum displacement ratios of each floor of the structure with and without MRD under waves action

3.4 MRD阻尼力-位移结果分析

图13为地震波作用下4号和8号MRD的阻尼力-位移滞回曲线。可以看出，在地震波作用下，MRD的滞回环呈椭圆形，且阻尼力幅值随位移幅值的增大而增大，说明MRD能够稳定地耗能；此外，位移和阻尼力不会在同一时刻达到最大值。当滞回环中位移幅值小于2 mm时，MRD的阻尼力为10 kN；当位移幅值大于9 mm时，滞回环中MRD的阻尼力最大可以达到200 kN。在Taft波作用下，8号MRD在部分时刻达到了最大阻尼力200 kN，而4号MRD在任意时刻未达到最大阻尼力200 kN。