由高考试题谈高考复习

陈 金 贺维娜

（黑龙江省大庆市第十三中学 黑龙江大庆 163113）

《普通高中数学课程标准（2017年版）》中，提出了学生数学学习的“四能”，即：发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力；六大数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。纵观2020年的各地高考数学试题，体现了高考数学命题由学科知识导向到学科素养导向的思想，更加注重对学生数学学科素养的考查[1]。

数学知识来源于现实世界，其蓬勃发展的强大生命力就在于，数学知识可以高效地解决科学和实践中的问题。恩格斯说：“任何一门科学的真正完善在于数学工具的广泛应用。”用数学方法解决实际问题，是学生数学能力的综合体现，是学生数学素养的具体表征。其过程的本质就是学生通过数学抽象和直观想象，建立数学模型，再由逻辑推理，结合数学运算与数据分析，得到数学结果，最后对原问题作出解释和说明。在近年的各地高考数学试题中，创设了各种不同背景、不同情境的题目，这些试题往往对应了一定的数学知识模型，笔者将其归纳为以下几种[2]。

一、概率统计模型

概率统计知识与日常生活联系紧密，既需要采用一定的数学知识与方法，同时又考查了学生的数学阅读能力，从具体事件中抽象概括出数学问题，采用合理地概率统计模型，正确分析和解决问题。试题内容依附一定的生产生活或科学试验的背景，丰富多彩，表现形式丰富多彩，相比较于其他题目，其特点是计算能力要求相对不高，阅读理解能力要强。在命题方式上，选择题和填空题利用回归直线方程模型的较多；在解答题当中，独立性检验、超几何分布、二项独立重复试验模型是重点，这些基本模型，往往通过不同的情境呈现，如（2015年新课标Ⅰ）：投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）

A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312

该题将独立事件概率的计算，融入了体育比赛的情境，是概率统计模型中常见的比赛闯关类的题目。解答此类问题，学生除了要熟练掌握独立事件的概率、对立事件的概率，还需要有一定的实际生活经验，对一些常见的球类比赛、棋类比赛、面试规则有一定的了解，可以迅速理解题意，对解答此类问题大有裨益。

在2020年全国2卷、全国3卷、北京卷的题目中，则分别结合沙漠地区治理、空气质量和活动方案的选择等问题，创设了科学问题和实际生活问题的不同情境。概率统计内容与实际生活联系紧密，随着科学技术的发展与进步，其应用日益广泛，是数学建模命题的良好素材。试题趣味性浓、生活性强，尤其是解答题目，其题干部分文字叙述的内容较多，需要学生在面对试题时，保持良好的抽象概括能力与严谨的逻辑推理能力。另外，学生要具备一定的数学阅读能力以及信息提取的能力，在复习过程中，要注意数学阅读能力的培养，从实际问题中能够抽象出数学问题，准确识别与运用合理的数学模型，用数学的眼光来看待、分析和解决问题。

二、函数模型

函数知识是高中数学的主线，基本函数的性质是考试中的重点，根据题目所给出的背景信息，需要学生选择或者抽象概括出合适的基本函数模型，并能够从解答模型的过程当中，得到实际问题的合理解释，是数学实际应用的典型例子，情境丰富、应用广泛。如2020年全国3卷中的医学数学模型即是此类题目的典型代表。

Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：其中K为最大确诊病例数.当I（*t）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情则t*约为（）（ln19≈3）

A.60 B.63 C.66 D.69

该题将函数模型的简单应用寓于疫情防控的重大事件情境中，考查了指数型函数模型的应用，既展示出数学应用的广泛性，又体现了疫情防控中众志成城的伟大精神，在试题中渗透了德育教育，体现了五育并举的育人方针。函数知识与数学各板块内容联系紧密，其方法、思维是解决数学问题的有力工具，在解决运动变化、最值等类型的问题时，有着广泛的应用，是高考复习的重中之重。

三、几何类模型

几何学的内容源远流长，从古代中国的勾股定理，到古希腊的阿基米德三角形；从简简单单的平面图形，到规模宏大的建筑；各式各样、丰富新颖的几何图形，散发着无穷的魅力，诠释着数学与美的结合。这些迷人的图形，动人的故事，是人类文明发展的光辉足迹，与人类的生产生活密切相关，也折射出人类智慧的光芒，深得命题人的喜爱。

如2020年全国1卷第3题：

埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）

本题明显可以构造正四棱锥模型，如图设CD=a,PE=b

得到关于a,b的方程，解方程即可。

试题以立体几何中的棱锥为背景，以长度、面积的计算为考查目标，看似简单的计算，却蕴含了学生对于空间几何体形象的把握，需要准确地做出四棱锥直观图，理清题目中涉及的概念，准确计算，快速求解，给人以“看似寻常最奇崛，成如容易却艰辛”之感。

在2021年的全国一卷（理科）填空题的压轴题目中，以剪纸艺术为背景，从平面几何的基础知识出发，用看似简单的折纸过程，演绎了有限与无穷的完美结合。考查学生平面图形的面积计算能力，虽然是长方形的对折，但其解答过程中，需要学生有良好的空间想象能力、严密的逻辑推理能力、准确的求解运算能力，是对学生数学综合能力的考查。

从古希腊到古代中国，从土地丈量到圆周率的计算，几何知识源远流长，其内容包罗万象，其结论异彩纷呈。此类模型，与人们生产实践活动密切相关，命题过程中，经常会融入古代数学文化知识，在历年的高考试题中，具有较高的出镜率。如2020年山东卷和全国2卷中的日晷及天坛，不仅考查了学生基本的几何知识，空间想象能力，还把立体几何与数列模型相联系，综合性较强。因此，在立体几何复习过程中要充分注意，除简单空间几何体的结构特征以及点线面的位置关系等基本内容外，在解决具体问题的过程时，还常常使用立体问题平面化的方法，对于最值以及存在性问题，又会与函数、向量等知识相结合。

四、科学文化类模型

科学文化类的试题，是最近几年的热点题型，试题内容可以涵盖古今中外、科学技术各个方面的内容，联系社会生活当中的重大事件、科学发展的热门话题等，进行命题。试题内容灵活，常常综合三角、数列等多方面数学知识，体现了数学知识与其他学科的密切联系，需要学生具有良好的数学素养，在理解题意的基础上，迅速、准确地使用所学数学知识进行解答。如2017年课标1卷中的信息学数学模型即是此类题目的典型代表。

（2017课标1，理12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（）

A.440 B.330 C.220 D.110

2020年北京卷中的全球首个国际圆周率日（πDay）的设计，更是传统与现代的结合，凸显了数学知识的强大生命力，古为今用，古今结合，丰富了学生的知识，开拓了学生的视野，陶冶了学生的情操，引人入胜。

以科学文化为背景的试题，既展现了古代人类的智慧，也凸显了数学与人类发展的密切关系。有的展现了古代数学的经典成就，尤其是我国古代数学著作，让人们感受到传统文化的强大感染力和生命力；又常常结合现代生活中的热点问题，糅合了当代社会的新闻时事，具有鲜明的时代感，具有很高的研究价值。

弗赖登塔尔说过，与其说学习数学，不如说学习数学化。用数学知识解决问题，其首要步骤就是建立数学模型，将实际问题数学化。高考复习中对学生数学建模能力的培养和提升，在内容与形式的角度，可以关注以下几个方面：

1.关注前沿科学发展、社会时事变化，以及影响社会发展的大事件。问题情境设计的一个基本原则，就是尽量贴近学生的学习经历、生活经历[1]。利用有影响力的事件作为背景，构建情境，能够有效激发学生利用数学的眼光来看待世界，培养学生利用数学的思维来理解世界。如现代科技发展的前沿人工智能中，数学知识的广泛应用，生物科技中统计学知识的应用，都是非常好的素材。

2.关注历史名题，经典孕育流行。许多历史名题，无论古今中外，往往成为后来数学知识发展的发源地，具有开创性、思想性、趣味性，既体现了数学发展与人类文明发展的密切联系，也体现了数学的实用价值。我国古代数学，产生了光辉灿烂的成果。如《九章算术》《海岛算经》中，涉及了许多生产实际中的数学知识，或建筑、或盈亏、或田亩……做起来趣味无穷，既能激发学生的求知欲望，又能陶冶学生热爱祖国悠久文化的情操，一举多得。再如阿基米德三角形，吸引了一代又一代数学爱好者，为之付出大量的心血与汗水，探索其中的奥妙。关注这些经典题目，往往能充分调动学生的学习兴趣，使之感受到数学文化的丰富多彩。

3.关注教材习题和历年高考真题的使用。教材习题具有引领、示范的作用，是高考命题和学生练习的灯塔，具有非常好的引领作用；历年的高考真题形式新颖，紧扣时代发展，命题严谨，适合培养学生良好的数学应用意识。教材中的例题、习题是“源”，高考真题是“流”，二者均为数学文化的重要载体，同时也是数学文化的组成部分，课后习题具有深入浅出的特点，具有极为深刻的内涵，非常适合进行深入的挖掘；高考真题具有鲜明的时代特色，是课程标准引领作用的现实体现，命题形式新颖，同时兼具文化性、时代性、应用性等特点，是命题者精心打造的艺术品，值得在复习过程中进行反复的琢磨、细心的体会。

从数学学习心理学角度，在数学学习方法上，高考复习可以从以下几个方面进行训练：

1.注重数学及其他学科核心素养，学会迁移运用。类比迁移是构建模型、解决问题的有效手段，在数学建模的过程中，不仅需要学生具有全面的数学知识，同时也需要学生具有较高的、综合的科学素养，数学模型是沟通数学知识与现实生活的桥梁，良好的数学阅读能力、较强的信息提取能力以及基本生活经验，对于帮助学生迅速、准确理解题意，正确运用数学方法解决实际问题，大有裨益。

2.注重归纳与演绎。归纳法是合情推理的重要形式，对于类似新定义的问题等，通过举例子、先猜后证等方法，可以帮助学生快速读懂题目，理解题意。因此，在高考复习过程中，要充分注重培养学生的归纳推理能力，注重利用归纳法进行合情推理，并利用演绎推理进行证明，是快速解决数学问题的有效手段。

3.注重积累，行稳方能致远，厚积才能薄发。许多新题未必是难题，常常可以从过往的题目中找到影子，耐心分析、善于联想，常常可以快速解题、出奇制胜。高考复习，要充分重视教材的作用，认真阅读教材，理解教材，发挥教材的引领和示范作用。教材的引言部分，就是该板块知识的起源或者应用的典型代表，情境丰富、趣味性强、深入浅出，本身就是命题的良好素材；教材的习题部分，往往是例题或主干知识的延伸，具有明显的应用价值和推广价值；课后阅读部分，则包含了数学家探索知识的过程，是数学史的再现。在复习的过程中，要利用教材，关注知识的产生过程，注重积累探索新知识的方法，在潜移默化的过程中，培养学生良好的数学素养，方能在面对新的考题时，挥洒自如。

4.鼓励学生自主创编试题。自主创编，既可以培养学生的数学素养，又可以开阔学生的视野，能够充分调动学生学习的积极性，思维的严谨性。让学生亲身体验“做数学”的过程，经历对问题的发现和解决的过程，才能对所学习的知识有更加深刻的理解和体会。因此，在复习的过程中，要留给学生一定的时间，让学生经历探究的过程、推理的过程，逐步提高思考能力、创新能力，学以致用，才能达到融会贯通。

数学建模的过程，是沟通自然与数学，具体与抽象的桥梁，有助于学生更好地理解数学，培养学生的应用数学的意识，用数学的眼光看待生活，用数学的思维理解生活，用数学的智慧创造生活！