基于Beverton-Holt出生函数的阶段结构传染病模型的稳定性和分支

胡新利, 郑田田, 杨亚莉

(1. 西安工程大学理学院，西安 710048; 2. 空军工程大学基础部，西安 710051)

0 引言

传染病一直被认为是威胁人类生存与健康，阻碍社会及经济发展的最主要危害之一。不仅一些古老传染病病原体不断发生变异变迁，新的病原体也层出不穷。据世界卫生组织报道，2017 年，肺炎估计造成808 694 名五岁以下儿童死亡，占五岁以下儿童死亡人数的15%，肺炎是全世界儿童因感染导致死亡的主要原因[1]。2019 年12 月份出现的新型冠状病毒，更是短期内在全球范围内传播。根据世卫组织最新实时统计数据，截至欧洲中部夏令时间2020 年7 月5 日12 时59 分(北京时间7 月5 日18 时59 分)，全球累计新冠肺炎确诊病例11 125 245 例，累计死亡病例528 204 例[2]。因为疫情而造成的人们生活不便和经济损失更是无法计量，借助数学模型分析和研究传染病的传播机理，预测和评估传染病的发展趋势，一直是科技工作者一个研究热点。

自然界中一些生物群体会区分明显的生长阶段，如幼年和成年阶段。幼年阶段没有生育能力，成年阶段具有生育能力。幼年阶段可能更易得某种疾病，如手足口病、水痘和肺炎等，成年阶段更易患白喉、淋病和梅毒等疾病。因而，研究具有阶段结构的疾病传播模型有着重要的实际意义，具有阶段结构的传染病模型已有一些研究结果[3–10]。文献[3–4]讨论了疾病仅在幼年个体间传播的情形，文献[5–10]讨论疾病仅在成年个体间传播的情形。上述文献多以常数或指数形式表达出生率，文献[7–8]讨论了具有饱和性的Beverton-Holt 出生函数和一般出生率函数，但是都没有考虑患病个体也具有一定生育率的情况。文献[10]研究了指数形式的出生率且患病个体具有一定出生率的传染病模型。文献[11]考虑了染病者具有自我恢复的阶段结构传染病模型。同时，后向分支的出现使得传染病的控制出现了新的问题，也就是即使疾病的基本再生数小于1，系统也可能存在稳定的地方病平衡点[10–13]，讨论后向分支出现的条件变得尤为重要。

在现有的具有阶段结构的模型中，考虑成年个体的生长具有密度制约的文献并不太多。本文在文献[7,10]的基础上，建立幼年以Beverton-Holt 函数形式出生、成年个体的生长受到密度制约、疾病仅在成年个体间传播的传染病模型，且患病成年个体具有一定的生育能力，分析了模型平衡点的稳定性和模型出现后向分支的条件，并讨论患病个体生育对疾病控制带来的影响。

1 模型建立

把群体分成幼年种群(x(t))和成年种群(y(t))两个阶段，幼年种群不感染疾病，成年种群感染疾病。出生率服从Berverton-Holt 函数，b(b> 0)为生育率系数，σ(σ ≥0)是疾病对出生率的影响系数，m(m ≥0)为决定出生率的饱和水平的常数，di(di> 0,i=1,2,3)表示幼年、健康成年和患病成年群体的自然死亡率，µ(µ> 0)是幼年个体的成熟率系数，δ(δ> 0)和η(η> 0)分别表示健康成年和患病成年群体的密度制约系数，k(k>0)表示传染率系数。我们的模型以ODE 模型给出

在本文中，如果令m= 0，则模型退化为文献[10]中的模型。如果σ= 0，则模型退化为文献[7]中的模型，所以本文是对前人研究成果的推广和扩展。

显然，给定初值(x(0),y(0),z(0))∈，其中={(x,y,z)|x ≥0,y ≥0,z ≥0}。模型(1)在有唯一全局解，且解会一直在。为了后面讨论方便，我们定义两个阈值参数

显然R01>R02。

下面讨论系统平衡点的存在性和稳定性。

2 平衡点的存在性和稳定性

定理1对于模型(1)，系统总存在绝灭平衡点E0(0,0,0)。当R01>1 时，模型(1)有系统存活无病平衡点E1(x1,y1,0)，其中

证明 模型(1)的平衡点由下面方程组的解给出

方程(4)总有解y=0，由此可以得到绝灭平衡点E0。当R01>1 时，方程(4)有唯一正解，且

可以得到系统存活无病平衡点E1。

记

定理2对于模型(1)，下面结论成立：

对f1(z)和f2(z)求导，可得

显然f1(z)在第一象限是凸增曲线，且当z →+∞时，收敛于(1+σ)。f2(z)在第一象限凹增曲线，且当z →+∞时，趋于+∞。

(i) 当f1(0)>f2(0)，即就是

时，f1(z)和f2(z)在第一象限有唯一交点，也就是方程(6)有唯一正解z∗，模型(1)有唯一正平衡点E∗(x∗,y∗,z∗)。

定理3对模型(1)，具有以下结论：

证明 在平衡点E0的特征方程为

显然，λ=−d3是一个特征根，另外两个特征根由一元二次方程

决定，由韦达定理知，当R01＜ 1 时，一元二次方程两个根都是负的；当R01> 1 时，一元二次方程两个根一正一负。所以，当R01＜1 时，模型的系统绝灭平衡点E0在上是局部渐近稳定的；当R01>1 时，E0是不稳定的。

在平衡点E1的特征方程为

显然，λ=ky1−d3是一个特征根，另外两个特征根由一元二次方程

决定，且有

当

时，方程(7)大于零。由Routh-Hurwitz 判据知，当

且ky1d3时，系统存活无病平衡点E1在{(x,y,z)|(x,y,z)∈且(x,y,z)̸=(0,0,0)}上是局部渐近稳定的。

定理4对模型(1)，以下结论成立：

(i) 当R01＜ 1 且σµb＜ (µ+d1)d3时，模型的绝灭平衡点E0在上是全局渐近稳定的；

(ii) 当

时，模型的存活无病平衡点E1(x1,y1,0)在{(x,y,z)|(x,y,z)∈且(x,y,z)̸=(0,0,0)}上是全局渐近稳定的。

证明 (i) 定义Lyapunov 函数V1=µx+(µ+d1)(y+z)，则V1沿模型(1)的解的导数为

当R01＜1 且σµb＜(µ+d1)d3时，有dV1/dt ≤0。

dV1/dt= 0，当且仅当y=z= 0 时，显然模型(1)在{(x,y,z)∈|dV1/dt=0}上的最大不变集是单点集E0。这样，由LaSalle’s 不变集原理[14]知，平衡点E0在上是全局渐近稳定。

(ii) 下面讨论系统存活无病平衡点E1的全局渐近稳定性。

定义Lyapunov 函数

则V2沿模型(1)解的导数为

用等式

把dV2/dt重新写为

则当

时，有dV2/dt ≤0，dV2/dt=0，当且仅当(x,y,z)=(x1,y1,0)。由Lyapunov 渐近稳定原理[14]，存活无病平衡点E1在{(x,y,z)|(x,y,z)∈且(x,y,z)̸= (0,0,0)}上是全局渐近稳定的。

3 数值模拟

关于正平衡点的存在性，我们做了数值模拟如图1。取参数b变化来模拟各种情况，在图1 的(a)∼(d)中分别取b=40,b=34.1,b=29.835 和b=32。其他参数如下

图1 的(a)∼(d)分别对应定理2 的(i)∼(iv)正平衡点存在的四种情况。在图1(a)中，正平衡点z∗= 3.582 4，在图1(b)中，正平衡点= 2.440 0，在图1(c)中，正平衡点=0.888 0，在图1(d)中，两个正平衡点分别是z(1)=0.194 4,z(2)=1.914 8。

图1 正平衡点的存在性

下面，我们应用软件MatCont 做数值模拟来看平衡点的后向分支和前向分支，我们以阈值参数R02作为分支参数。b随着R02变化，R02∈[0.8,1.9]，其他参数取值同图1。从图2(a)可以看出，取参数σ=2.5，此时

模型出现后向分支，可以看出R02= 1 为分支点BP，R02= 0.875 0 是临界点LP。从图2(b)可以看出，取参数σ=0.03，此时

图2 正平衡点分支

模型出现前向分支。

我们猜测R02> 1 时，唯一正平衡点是全局渐近稳定的，做了一些数值模拟也显示正平衡点是全局渐近稳定的。取参数同图1(a)，此时R02= 1.173 0> 1，正平衡点是全局稳定性，见图3(a)。而当我们取参数同图1(d)，R02= 0.938 4＜ 1，系统有两个正平衡点。此时，数值模拟显示一个正平衡点是局部稳定的，一个无病平衡点是局部稳定的，见图3(b)。

图3 平衡点的稳定性

4 结论

本文建立了一个染病期也具有Bervent-Holt 生育率的阶段结构传染病模型，通过对模型的理论分析，得到了平衡点的存在性和稳定性，并且得到了系统绝灭的阈值参数R01和基本再生数R02。在本文中，我们研究了平衡点分支，得到了前向分支和后向分支发生的条件。

可以看出后向分支是由于染病期具有生育率的而引起的，当

时，R02= 1 不再是疾病持续与否的阈值，R02＜ 1 时，疾病也会局部范围内流行。Beverton-Holt 出生函数也对后向分支的出现有一定的作用，出生率的饱和水平常数m变小更可能出现后向分支。后向分支的出现是不利于疾病控制的，可以通过人为干预、媒体宣传等手段使得患病群体在病愈之前不生育，从而降低σ到阈值以下，以达到控制疾病的目的。

关于R02>1 时，唯一正平衡点的全局稳定性，我们尝试了构造类型

的V函数，没有成功。构造V函数本身就是一个难点，也许可以构造其他类型的V函数，或者采用其他证明正平衡点全局稳定性的方法，我们把这个问题留作以后再解决。