带质量源的广义Cahn-Hilliard方程指数吸引子的存在性

王子怡, 蒲志林

(四川师范大学 数学科学学院, 四川 成都 610066)

1 预备知识

考虑以下带有质量源的广义Cahn-Hilliard方程的渐近性问题

(1)

其中,Ω⊂Rn(n=1,2,3)是边界光滑的有界正则区域,Γ是Ω的边界,f(u)是一对数型函数F的导数,g(u)称为质量源项.

Cahn-Hilliard方程是一类重要的四阶非线性扩散方程,最初是由Cahn等[1]在研究热力学中2种物质(如合金、聚合物等)之间相互扩散现象时提出来的,后来在描述生物种群竞争与排斥现象[2]、河床迁移过程[3]、固体表面上微滴的扩散[4]等许多现象的研究中也提出了同样的数学模型.

近年来,对Cahn-Hilliard方程的研究已经非常丰富,主要是研究Cahn-Hilliard型方程解的存在唯一性、解的爆破以及全局吸引子存在性[5-8].后来,在一些重要的应用领域提出了带质量源项的Cahn-Hilliard方程(又称带质量源的广义Cahn-Hilliard方程),质量源项g(u)具体不同的形式代表不同的数学模型.例如,在描述二元合金诱导反应生成超导体的模型中,提出了Cahn-Hilliard-Oono方程(简称CHO方程),其中g(u)=αu,α>0.当质量源项是二次函数(g(u)=αu(u-1),α>0)时,该方程能被用来描述伤口愈合和肿瘤增长的模型[9].因此,研究带质量源的Cahn-Hilliard方程模型有着非常重要的现实意义,并且目前已有一些重要的结果：文献[10]研究了具有增值项且在Dirichlet边界条件下的Cahn-Hilliard方程的渐近行为,证明了方程解有耗散半群并且存在指数吸引子;文献[11]研究了Cahn-Hilliard-Oono方程在有限维吸引子方面的渐近行为.

本文研究方程(1)指数吸引子的存在性,在对方程的解做出一系列的先验估计以及能量估计的基础上,得到解的存在唯一性,从而得到解的耗散半群.最后,利用指数吸引子的存在性定理[12-13]证明解半群具有指数吸引子.

2 记号和假设

本文将在更加一般的条件下研究带质量源的Cahn-Hilliard方程,其中质量源项g满足

非线性项f满足

因为b2q-1和c2p-1都是严格正的常数,所以存在常数c0～c5满足

f′(s)≥-c0,c0≥0,∀s∈R,

(2)

g′(s)≥-c1,c1≥0,∀s∈R,

(3)

c2G(s)-c3≤g(s)s≤c4G(s)-c5,

c2,c3,c4,c5≥0, ∀s∈R,

(4)

|g(s)|≤εG(s)+cε, ∀ε≥0,∀s∈R, (5)

令

H=L2(Ω),V=H1(Ω),

定义〈φ〉是空间平均,即

对(1)式在Ω上积分,得到

(6)

令v=u-〈u〉,将(1)式改写为

(7)

则

(8)

3 先验估计

记

λ1=

从而

得到以下先验估计.

定理 3.1假设u0∈H2(Ω),如果u(t,x)是初边值问题(1)的解,则当λ1>c2时,有u(t)∈H2(Ω)并且存在T0>0(充分大)使得当t≥T0+1时,ut∈H1(Ω).

证明将(6)式乘〈u〉得

(9)

根据Hölder不等式得

c‖u‖‖g(u)‖.

因为

所以

‖g‖‖u‖≤c(‖u‖2qL2q(Ω)+1)‖u‖≤

c(‖u‖4qL2q(Ω)+1),

即

(10)

将(1)式与u做内积得

(11)

根据假设条件有

得到

(12)

根据等价范数以及插值不等式

可得

所以

即

(13)

根据Gronwall引理得

‖u(t)‖2≤Q(‖u0‖)e-ct+c′, ∀t≥0.(14)

将(1)式与A2u做内积得

||≤‖g(u)‖‖A2u‖≤

Q(‖u‖

同样地,H1(Ω)⊂L4(Ω)是连续嵌入,所以

Q(‖u‖

因此

即

(15)

(16)

令

则(16)式可以改写成

y′≤Q(y).

假设z是如下常微分方程的解

z′=Q(z),z(0)=y(0),

y(t)≤z(t), ∀t∈[0,T0],

所以

‖u(t)‖H2(Ω)≤Q(‖u0‖H2(Ω)),t≤T0.(17)

(18)

同样地

根据上面的估计以及(18)式,可以得到

Q(‖u0‖H2(Ω)), ∀t≤T0.

(19)

将(19)式在(0,T0)上积分,得

(20)

将原方程对t求导得

(21)

(22)

根据假设条件有

||≤‖g′(u)‖‖v‖‖v‖L∞(Ω)≤

Q(‖u0‖H2(Ω))‖v‖‖v‖H2(Ω).

同样地

||≤‖Af′(u)v‖‖v‖≤

Q(‖u0‖H2(Ω))‖v‖‖v‖H2(Ω),

所以

tQ(‖u0‖H2(Ω))‖v‖2+‖v‖2.

(23)

根据(17)、(20)、(23)式以及Gronwall引理可得

对(13)式在(0,t)上积分,可得

(25)

将(21)式乘v并重复上面的方法,可得

Q(‖u‖H2(Ω))‖v‖2.

(26)

根据(24)～(26)式以及Gronwall引理得

‖v‖2≤ectQ(‖u0‖H2(Ω)),

c>0,t≥T0.

(27)

当t≥T0,可以将(1)式改写为

A2u+Af(u)+g(u)=-v,

(28)

将(28)式与u做内积,有

根据(27)式可得

‖Au‖2-c6≤ectQ(‖u0‖H2(Ω))+

(29)

运用不等式

可得

(‖Au‖2+〈u〉2)-c6≤ectQ(‖u0‖H2(Ω))+

c′‖u‖2+>0,

所以

(1--c′)

即

c>0,t≥T0.

(30)

由(17)和(30)式可得

c>0,t≥0.

(31)

对(13)式在(0,1)上积分

存在T∈(0,1)满足

事实上,重复上面的估计可以得到:当

对(13)式在(t,t+1)上积分,并且根据(14)式,当c>0,t≥0时可得

因此,对于每一个t≥1,存在t1∈[t-1,1]满足

(32)

所以,当t=t1+t2,并且t2∈[0,1],根据(31)和(32)式可得

ce

ce

即

‖u(t)‖H2(Ω)≤e-ctQ(‖u0‖H2(Ω))+c′,

c>0,t≥0.

(33)

根据(26)和(33)式,再运用Gronwall引理,可得

c>0,t≥T0.

(34)

将(1)式改写成下面的形式

(35)

其中

当t≥T0时,有

将(35)式与A2u做内积得

(37)

根据(10)、(36)和(37)式可得

‖u‖H4(Ω)≤ectQ(‖u0‖H(Ω)),t≥T0.(38)

当t≥T0时,将(21)式乘Av,有

事实上

||≤Q(‖u0‖H2(Ω))‖v‖‖Av‖,

Q(‖u0‖

综上

Q(‖u0‖(39)

当t≥T0时,将(26)式在(t-1,t)上积分可得

(40)

根据(39)和(40)式运用Gronwall引理可得

4 耗散半群

定理 4.1假设u0∈H2(Ω),此时(1)式有唯一解u满足

u(t)∈H2(Ω), ∀t≥0.

证明根据Galerkin方法,利用第3节所得到的类似先验估计可以证明方程(1)解的存在性.下面将证明解的唯一性.假设u1和u2是方程(1)分别关于初值u0,1和u0,2的2个解,并且假设u=u1-u2,u0=u0,1-u0,2,此时有

将(40)式在Ω上积分,可得

(43)

所以

g(u2)-〈g(u1)-g(u2)〉=0.

因此

〈f(u1)-f(u2)〉+A-1(g(u1)-g(u2)-

〈g(u1)-g(u2)〉)=0.

(44)

将(44)式与v做内积可得

(45)

事实上

||=

Q(‖u0,1‖H2(Ω),‖u0,2‖H2(Ω))‖A-1v‖L∞(Ω)‖u‖≤

Q(‖u0,1‖H2(Ω),‖u0,2‖H2(Ω))(‖v‖2+〈u〉2),

Q(‖u0,1‖H2(Ω),‖u0,2‖H2(Ω))‖u‖‖〈u〉‖≤

Q(‖u0,1‖H2(Ω),‖u0,2‖H2(Ω))(‖v‖2+〈u〉2).

根据(2)式,有

≥-c0‖u‖2≥

-c0(‖v‖2+〈u〉2).

综上

Q(‖u0,1‖H2(Ω),‖u0,2‖H2(Ω))(‖v‖2+〈u〉2).(46)

将(44)式与〈u〉做内积可得

Q(‖u0,1‖H2(Ω),‖u0,2‖H2(Ω))‖u‖|〈u〉|≤

Q(‖u0,1‖H2(Ω),‖u0,2‖H2(Ω))(‖v‖2+〈u〉2).

再运用插值不等式

可得

Q(‖u0,1‖H2(Ω),‖u0,2‖(47)

最后,对(47)式运用Gronwall引理可得

‖u1(t)-u2(t)‖H-1(Ω)≤

‖u0,1-u0,2‖H-1(Ω),c>0,t≥0.

(48)

由此可得,在H-1空间里,解是唯一的并连续依赖于初值.

根据定理4.1,可以得到连续半群

满足

S(0)=I;

S(t+s)=S(t)∘S(s),t,s≥0.

同时,根据(33)式可以推测出半群S(t)在H2(Ω)中是耗散的,即存在一个有界集(也称其为吸收集)B1⊂H2(Ω),满足对于每个有界集B⊂H2(Ω),存在t0=t0(B)≥0满足当t≥t0时,S(t)B⊂B1.

5 指数吸引子的存在性

定理 5.1若S(t)是H2(Ω)中的耗散半群,则S(t)具有指数吸引子M⊂B1,其中有界吸收集B1的定义与前面的定义一样.

证明假设(1)式关于初值u0,1、u0,2的2个解分别是u1和u2.再次假设

u=u1-u2,u0=u0,1-u0,2,

此时有

t=

(50)

事实上

这里的常数c只依赖于B1.

‖u‖

‖u2‖

c‖u‖

这里的常数c只依赖于B1.因此

(51)

由此可得

以及

(52)

将(47)式在(0,t)上积分,再根据(48)式可得

这里的常数c和c′只依赖于B1.因此

根据(52)和(54)式,再运用Gronwall引理可得

(55)

(56)

这里的常数c只依赖于B1.因此,将(56)式在(0,1)上积分,根据(53)和(54)式可得

ce

(57)

这里的常数c和c′只依赖于B1.

将(49)式在(0,t)上积分,可以得到

(58)

这里的常数c只依赖于B1.

将(49)式与A-1做内积,再对时间求导,可得

(59)

其中

将(59)式与(t-1)θ做内积可得

(60)

事实上

(‖η‖

c(‖ζ‖

根据(27)和(41)式可得

‖ζ′(t)u‖=

‖u‖H1(Ω).

综上

(61)

根据(54)～(55)和(57)～(58)式,以及Gronwall引理可得

∀t>1.

(62)

将(49)式乘A-1可得

〈f(u1)-f(u2)〉+A-1(g(u1)-g(u2)-

〈g(u1)-g(u2)〉)=0.

(63)

可以将(63)式改写为

(64)

其中

〈f(u1)-f(u2)〉-A-1(g(u1)-g(u2)-

〈g(u1)-g(u2)〉).

(65)

事实上

|〈f(u1)-f(u2)〉|+‖g(u1)-g(u2)‖+

|〈g(u1)-g(u2)〉|)≤

(66)

这里的常数c只依赖于B1.

根据(55)、(62)、(66)式以及一致椭圆正则性可得

‖u(t1)-u(t2)‖H2(Ω)≤

c,c′≥0,t>1,

(67)

这里的常数c只依赖于B1.

接下来,研究Hölder估计.事实上,根据(48)式可以证明关于时间是Hölder连续的,可以得到

‖u(t1)-u(t2)‖H-1(Ω)=

(68)

这里的u是(1)式的解.

根据(19)和(34)式容易得到

(69)

所以

‖u(t1)-u(t2)‖H-1(Ω)≤

(70)

这里的常数c只依赖于B1,并且t1,t2∈[0,T].

由文献[12-13]得半群S(t)具有指数吸引子M⊂B1且满足:

1) M在H-1(Ω)中是紧的;

2) M是正不变的,即

S(t)M⊂M, ∀t≥0;

3) M在H-1(Ω)中具有有限的分形维数;

4) M以指数的方式快速吸引H2(Ω)中的有界子集.

最后,根据(48)、(67)和(70)式证得耗散半群S(t)具有指数吸引子.