k-Noetherian半环的Ore扩张

卓远帆, 谷勤勤

(安徽工业大学 数理科学与工程学院, 安徽 马鞍山 243032)

Noetherian环是指在左理想和右理想上满足升链条件的一种环.1893年,Hilbert[1]在研究不变量理论时首先发现了多项式环的任意理想都是有限生成的.随后,Noether[2]在1921年从中归纳出升链条件.之后,越来越多的研究者开始关注这种环,如文献[3-5]所示.一些Noetherian环的例子和性质也被相继给出.在这些性质之中,最重要的一个结论就是：Noetherian环R的Ore扩张R[x;γ,d]也是Noetherian的,其中映射γ为R的自同构(见文献[3]的定理2.6).

作为环的一种推广,半环首先出现在1894年Dedekind[6]的代数数论原著中.1934年,Vandiver[7]率先给出了半环的定义,并对其进行系统研究.近年来,半环理论迅速发展,在线性代数、模糊数学等方面都有着一定的应用[8-10].同时,各种Noetherian性质也被运用到半环上.1972年,Stone[11]得到了关于半环(i.e.加法可消半环)Hilbert基定理的一种形式：令H为一个有单位元的半环,则H[x]为k-Noetherian的当且仅当D(H)为Noetherian的.这里D(H)表示H的微分环.1973年,Olson等[12]证明了k-Noetherian半环的任意诣零子半环都是幂零的.在Stone研究的基础上,Mukherjee等[13]在1996年说明了具有单位元这个条件可以省略.2015年,Lescot[14]证明了k-Noetherian半环只有有限个极小素理想.2019年,Abuhlail等[15]证明了关于k-Noetherian半环Bass-Papp定理的一种形式.

本文首先得到半环上Hilbert基定理的一种新形式.它区别于Stone[11]和Mukherjee等[13]所提出的,并且更加接近于环上Hilbert基定理的形式.之后,通过推广文献[3]的定理2.6到左k-Noetherian半环上,证明左k-Noetherian半环的Ore扩张R[x;γ,d]也是左k-Noetherian的,其中映射γ为R的自同构.特别地,当Ore扩张中d为零映射时,R[x;γ]为斜多项式半环S(R).令γ为R的自同构,N(R)表示R中所有幂零元的集合,可以得到如果R是2-素的Noetherian半环,则γ(N(R))=N(R)；如果R是对称的k-Noetherian半环,则

S(N(R))=N(S(R)).

1 预备知识

定义 1.1[16]半环是带有2个二元运算的代数系统(R,+,·,0,1)且满足下列条件：

1) (R,+,0)是交换幺半群；

2) (R,·,1)是幺半群；

3) 对于任意的a,b,c∈R,有a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca；

4) 对于任意的r∈R,有0·r=r·0=0；

5) 0≠1.

特别地,如果对于任意的r,r′∈R,都有r·r′=r′·r,则称半环R是交换的.

定义 1.2[16]半环中的左(右)理想I是半环R中的一个非空子集且满足下列条件：

1) 如果a,b∈I,则a+b∈I；

2) 如果a∈I并且r∈R,则ra∈I(ar∈I).

定义 1.3[16]半环中的理想I是指半环R中既是左理想又是右理想的非空子集.

对于任意a,b∈R,如果a∈I和a+b∈I可以推出b∈I,则称理想I是可减的,用k-理想来表示.如果半环R的所有理想都是k-理想,则称半环R为k-半环.

例 1.1每个环都是k-半环.

例 1.2令R={0,1,u}为一个加法幂等半环且满足条件1+u=u+1=u.发现{0,u}是R的一个理想,但它不是可减的.所以,R不是k-半环.

定义 1.4[16]半环R中的理想I是素理想当且仅当对于任意的HK⊆I,这里存在H⊆I或者K⊆I,其中H和K是R的理想.

半环R中所有素理想组成的集合称为R的谱,用Spec(R)来表示.用MinSpec(R)表示半环R中所有极小素理想的集合.

定义 1.5[17]半环R中的理想I是完全素理想,如果对于任意的a,b∈R,由ab∈I可以推出a∈I或者b∈I.

下面介绍Noetherian半环的定义和一个关于它的重要性质.

定义 1.6[16]一个半环是左(右)Noetherian的当且仅当它所有的左(右)理想满足升链条件.如果一个半环既是左Noetherian的,又是右Noetherian的,则称它是Noetherian的.

这里的升链条件是指在半环R中,对于一个关于左(右)理想的无限升链

I1⊆I2⊆…⊆In⊆…,

这里存在一个正整数N,使得对于所有n≥N,In=In+1.

命题 1.1[16]在半环R中,下列条件互相等价：

1)R是左Noetherian的；

2)R中包含任意个左理想的非空集合都有一个极大元；

3)R的每一个左理想都是有限生成的.

证明步骤见文献[16]的命题6.16,其中1)⟹2)也可以用Zorn引理证明.右Noetherian半环的等价条件是类似的.

定义 1.7[15]一个半环如果在左(右)k-理想上满足升链条件,则称为左(右)k-Noetherian半环.如果一个半环既是左k-Noetherian的,又是右k-Noetherian的,则称它是k-Noetherian的.

命题 1.2[14]半环R是k-Noetherian的当且仅当R的每一个k-理想都是有限生成的.

考虑单边的情况,类似于命题1.1的证明方法,可以得到：半环R是左(右)k-Noetherian的当且仅当R的每一个左(右)k-理想都是有限生成的.

例 1.3半域是Noetheriank-半环(i.e.半域是指所有非零元具有乘法逆的交换半环).的确,半域的理想只有(0)及其本身,这两个理想都是可减的,并且满足升链条件.

例 1.4[15]Z+是Noetherian半环.但是,由于Z+不是k-半环,所以它不是Noetheriank-半环.这里Z+表示所有正整数的集合.

例 1.5[15]R+[x]是k-Noetherian半环,但不是Noetherian半环.这里R+表示所有正实数的集合.

2 半环上的Hilbert基定理

本节将提出半环上Hilbert基定理的一种新形式,并从中得到一些推论.

首先,回顾多项式半环的概念.假设R是一个半环,x表示一个未定元,x可与R中任意元素交换,则可用R[x]表示半环上的多项式

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,

其中ai∈R.称,an为多项式的首项系数,n为多项式的次数.

下面介绍环上的Hilbert基定理(见文献[4]的定理2.11)，如果环R是Noetherian的,则多项式环R[x]也是Noetherian的.由于半环中可能不存在加法逆,所以这个结果不可直接推广到半环上.一个明显的反例就是：半环R+是Noetherian的,但多项式半环R+[x]不是Noetherian的(见例1.5).因此,通过引入k-理想的概念,有如下定理,其与环上的Hilbert基定理类似.

定理 2.1如果半环R是左k-Noetherian的,则多项式半环R[x]也是左k-Noetherian的.

证明假设U是R[x]的一个左k-理想,显然其包含0.由命题1.2的单边情况可知,要证明R[x]是左k-Noetherian的,只需要证明U是有限生成的.注意到U中的元素都是多项式.用A来表示U中所有多项式首项系数组成的集合.推断A是R的左k-理想.

假设a1,a2∈A,则U中存在两个多项式a1xm+…和a2xn+…,这里的+…表示加上低次数项.令p=m+n,对第一个多项式乘xn,对第二个多项式乘xm.因此,可以得到两个多项式a1xp+…和a2xp+…,注意这两个多项式也在U中.由于

(a1xp+…)+(a2xp+…)∈U,

所以a1+a2∈A.再令r∈R,因为

r(a1xp+…)∈U,

所以ra1∈A.因此,A是R的左理想.又由于U是可减的,所以A也是可减的.所以,A是R的左k-理想.

因为R是左k-Noetherian的,所以A是有限生成的.因此,A=(a1,a2,…,ah).所以U中存在一群以ai为首项系数的多项式fi,其中fi=fi(x),1≤i≤h.对这些fi乘以适当的x的某次幂,可以使他们的次数相同,次数记作M.所以,fi=aixM+…,1≤i≤h.

下面考虑U中次数不超过M-1的多项式.选取这些多项式中所有M-1次项的系数作为集合B.不难发现,B为R的左k-理想且B=(b1,b2,…,bk).所以,可以在U中选取首项次数为M-1的多项式gi,其中

gi=gi(x)=bixM-1+…, 1≤i≤k.

运用同样的方法,可以考虑U中次数不超过M-2的多项式.选取这些多项式中所有M-2次项的系数作为集合C.不难发现,C为R的左k-理想且C=(c1,c2,…,cl).所以,可以在U中选取首项次数为M-2的多项式hi,其中

hi=hi(x)=cixM-2+…, 1≤i≤l.

类似地,可以获得U中有限个多项式

f1,f2,…,fh,g1,g2,…,gk,h1,h2,…,hl,….

将说明是这些多项式生成了U.

假设任意的φ(x)=axN+…∈U,则a∈A.所以

a=ω1a1+ω2a2+…+ωhah,ωi∈R.

如果N≥M,则

φ(x)=ω1xN-Mf1+ω2xN-Mf2+…+

ωhxN-Mfh+d(x),

这里的d(x)表示次数小于N的多项式.由于U是可减左理想且fi∈U,所以由fi+(-fi)=0∈U可以推出-fi∈U.所以,实际上这里的

d(x)=φ(x)-ω1xN-Mf1-

ω2xN-Mf2-…-ωhxN-Mfh.

如果d(x)的次数大于等于M,则需要继续分解d(x).假设d(x)的次数为T,首项系数为t.显然,d(x)∈U.因此,t∈A且

t=η1a1+η2a2+…+ηhah,

其中ηi∈R.因此,

d(x)=η1xT-Mf1+η2xT-Mf2+…+

ηhxT-Mfh+e(x),

其中e(x)表示次数小于T的多项式,

e(x)=d(x)-η1xT-Mf1-

η2xT-Mf2-…-ηhxT-Mfh.

如果e(x)的次数仍大于等于M,则可运用该方法继续分解.所以,最终可以得到这样一个多项式

φ(x)=W1(x)f1+W2(x)f2+…+Wh(x)fh+ψ(x),

其中ψ(x)∈U且ψ(x)的次数小于等于M-1.下面,将展示

ψ(x)=μ1g1(x)+μ2g2(x)+…+μkgk(x)+

ν1h1(x)+ν2h2(x)+…+νlhl(x)+…,

其中

μ1,μ2,…,μk,ν1,ν2,…,νl,…∈R.

首先,选取系数μ1,μ2,…,μk,使得

ψ(x)=μ1g1(x)+μ2g2(x)+…+μkgk(x)+k(x),

这里ψ(x)和μ1g1(x)+μ2g2(x)+…+μkgk(x)关于xM-1项有相同的系数,并且k(x)的次数为M-2.由于gi∈U且gi+(-gi)=0∈U,所以-gi∈U.所以,实际上这里

k(x)=ψ(x)-μ1g1(x)-μ2g2(x)-…-μkgk(x).

由于k(x)∈U,所以可以继续选取系数ν1,ν2,…,νl,使得

k(x)=ν1h1(x)+ν2h2(x)+…+νlhl(x)+l(x),

这里k(x)与ν1h1(x)+ν2h2(x)+…+νlhl(x)关于xM-2项有相同的系数,并且l(x)的次数为M-3.重复这样的步骤,不难发现ψ(x)是有限生成的.因此,U是有限生成的.所以,R[x]也是左k-Noetherian的.

注 2.1推广定理2.1到双边的情形,很容易得出：如果半环R是k-Noetherian的,则多项式半环R[x]也是k-Noetherian的.特别地,当半环R为环时,k-Noetherian半环即为Noetherian环,定理2.1的双边情形即为环上的Hilbert基定理.

推论 2.1如果半环R是左k-Noetherian的,则多项式半环R[x1,x2,…,xn]也是左k-Noetherian的.

证明令

R0=R,Ri=R[x1,x2,…,xi], 1≤i≤n.

所以,有Ri+1=Ri[xi+1].由定理2.1可知,当Ri为左k-Noetherian时,Ri+1也是左k-Noetherian的.所以当R0是左k-Noetherian时,Ri都是左k-Noetherian的.特别地,Rn=R[x1,x2,…,xn]也是左k-Noetherian的.

推论 2.2如果半环R是左k-Noetherian的,则幂级数半环R[[x1,x2,…,xn]]也是左k-Noetherian的.

证明该证明方法类似于定理2.1.首先可以得到R[[x]]是左k-Noetherian的,其次利用数学归纳法,可以证明幂级数半环R[[x1,x2,…,xn]]也是左k-Noetherian的.

推论 2.3如果K是半域,则多项式半环K[x1,x2,…,xn]是k-Noetherian的.

证明显然,半域是k-Noetherian半环.所以,其多项式半环也是k-Noetherian半环.

令R为一个半环,γ：R→R为R到其本身的一个态射.γ-导子d是R→R上的一个函数,它对任意的r,r′∈R满足

d(r+r′)=d(r)+d(r′),
d(rr′)=γ(r)d(r′)+d(r)r′.

特别地,γ(1)=1,d(1)=0.可以在R[x]上定义一个新的乘法运算,即对于任意的r∈R,

xr=γ(r)x+d(r),

并且其乘法关于加法符合分配律.这样一个半环用R[x;γ,d]表示,称其为由γ和d构成的R的Ore扩张.下面给出一个k-Noetherian半环Ore扩张的例子.

例 3.1令F为一个半域,R=F[x]为一个交换的多项式半环,γ是R的一个自同态,其在F上恒等.因此,对于任意的多项式f∈R,γ-导子d始终可以被定义为d(x)=f.

特别地,如果取d为零映射,由R[x;γ,d]可以获得R[x;γ],称其为R上的斜多项式半环,用S(R)表示.在半环上推广文献[3]的定理1.14,有如下命题.

命题 3.1如果半环R是左k-Noetherian的,则斜多项式半环S(R)也是左k-Noetherian的,其中γ是R的一个自同构.

证明此命题实际是定理2.1的一种推广,可以遵循定理2.1的证明步骤.但是一些证明细节需要注意,其区别于定理2.1.

第一,对任意的多项式乘以x的某次幂,需要自右乘;第二,对于右k-Noetherian半环R,证明A是R的右k-理想的过程是有区别的.

假设a1,a2∈A,则U中存在两个多项式a1xm+…和a2xn+…,这里的+…表示加上低次数项.令p=m+n,对第一个多项式右乘xn,对第二个多项式右乘xm.因此,可以得到两个多项式a1xp+…和a2xp+…,注意这两个多项式也在U中.由于

(a1xp+…)+(a2xp+…)∈U,

所以a1+a2∈A.再令r∈R,因为

(a1xp+…)r=a1γp(r)xp+…∈U,

所以a1γp(r)∈A.由于想要获得a1r∈A,所以可以用γ-p(r)代替r.由于γ是R的一个自同构,所以有

(a1xp+…)γ-p(r)=a1rxp+…∈U.

因此,a1r∈A,A是R的右理想.又由于U是可减的,A也是可减的,所以A是R的右k-理想.

推论 3.1如果半环R是左k-Noetherian的,则Ore扩张R[x;γ,d]也是左k-Noetherian的,其中γ是R的一个自同构.

证明该证明方法类似于命题3.1.唯一的不同就是xnr=γn(x)xn+…+dn(r).

推论 3.2如果半环R是左k-Noetherian,则

R[x1;γ1,d1][x2;γ2,d2]…[xn;γn,dn]

R[x1;γ1,d1][x2;γ2,d2]…[xi-1;γi-1,di-1]

的一个自同构.

证明由数学归纳法可得.

分别用N0(R)、P(R)和N(R)表示半环R所有幂零理想的和、素根(i.e.所有素理想的交)和所有幂零元素的集合.由文献[17]的命题3.16可知,在任意半环R中,P(R)⊆N(R).如果

P(R)=N(R),

则称R是2-素的.2-素半环的例子见文献[17]的例3.12.

对于半环R,如果对任意的a,b,c∈R,abc=0可以推出acb=0,则称R为对称半环.如果对任意的a,b∈R,ab=0可以推出aRb=0,则称R为半交换半环.由文献[18]可知,对称半环是半交换半环.

类似于诣零半交换环的定义(见文献[19]的定义2.1),给出诣零半交换半环的定义.

定义 3.1称半环R为诣零半交换半环,如果对任意的a,b∈N(R),ab=0可以推出aRb=0.

显然,半交换半环是诣零半交换半环.但是,诣零半交换半环不是半交换半环,反例见文献[19]的例2.2.

引理 3.1在诣零半交换半环R中,N(R)是一个理想.

证明假设任意的a∈N(R),且a2m=0.由于R是诣零半交换的,则对任意的r∈R,有

amram=0.

显然,am-1,aram∈N(R).因此,通过诣零半交换性,有am-1raram=0.又因为

am-1(ra)2,am-1∈N(R),

所以通过诣零半交换性,有

am-1(ra)2ram-1=0.

又因为am-1(ra)3,am-2∈N(R),所以通过诣零半交换性,有

am-1(ra)3ram-2=0.

重复这样的步骤,有am-1(ra)m+1=0.等式两边左乘rm-1,有(ra)2m=0.因此,ra∈N(R).类似地,有ar∈N(R).

假设任意的a,b∈N(R),且am=0,bn=0.令k=m+n+1,则有

(a+b)k=∑ai1bj1ai2bj2…aisbjs.

其中,

0≤i1,i2,…,is,j1,j2,…,js≤k,

并且

i1+i2+…+is+j1+j2+…+js=k.

如果i1+i2+…+is≥m,则有

ai1ai2…ais=ai1+i2+…+is=0.

又因为对于任意的0≤p≤s,aip∈N(R),所以由于诣零半交换性,有ai1bj1ai2bj2…aisbjs=0.如果

i1+i2+…+is

则有j1+j2+…+js≥n.因此,bj1+j2+…+js=0.类似地有

ai1bj1ai2bj2…aisbjs=0.

所以,(a+b)k=0.因此,N(R)为诣零半交换半环的一个理想.

命题 3.2诣零半交换半环R是2-素的.

证明只需要证明N(R)⊆P(R).假设任意的a∈N(R).由引理3.1可知,N(R)是R的一个理想,从而RaR⊆N(R).由于R是诣零半交换半环,RaR是R的一个幂零理想.所以

RaR∈N0(R)⊆P(R).

因此,每一个幂零元都包含在任意素理想中.

所以对于上述几种非交换半环,存在如下关系

对称⟹半交换⟹诣零半交换⟹2-素.

介绍下面的引理.

引理 3.2[12]如果半环R在左k-理想和右k-理想上满足升链条件,则R的任意诣零子半环是幂零的.

命题 3.3如果R是一个2-素的Noetherian半环,则γ(N(R))=N(R),其中γ是R的一个自同构.

证明用N表示N(R).显然,N和γ(N)都是R的理想.由于R是Noetherian的,所以γ(N)⊆N.因此,由引理3.2可知,γ(N)是R的幂零理想.令n∈N,则由γ是R的自同构可知,这里存在一个a∈R使得n=γ(a).所以

I=γ-1(N)={a∈R|γ(a)=n∈N}

是R的一个理想.显然,I是幂零的.所以,I⊆γ(N),这意味着N⊆γ(N).所以,γ(N)=N.

引理 3.3如果R是一个对称的k-Noetherian半环,则任意极小素理想是完全素理想,且为k-理想.

证明令u∈R,用r(u)表示u的右零化子.假设任意的Pi∈MinSpec(R),由文献[14]的定理4.1可知,在k-Noetherian半环中,存在u∈R{0},使得任意的Pi=r(u),且为k-理想.下面证明Pi是完全素的.

假设任意的ab∈Pi,则有uab=0.因为R是对称半环,所以有uba=0.所以ba∈r(u)=Pi.所以由文献[16]的推论7.5可知,Pi是完全素的.

对于任意的Pi∈MinSpec(R),可以得到

γt(Pi)∈MinSpec(R),

其中t为任意整数且t≥1.由于MinSpec(R)在k-Noetherian半环中有限(文献[14]命题6.7),所以

MinSpec(R)={P1,P2,…,Pn}.

显然,这里存在某个正整数mi使得

γmi(Pi)=Pi,

其中1≤i≤n.所以,令u=m1m2…mn,则对于任意的Pi∈MinSpec(R),有γu(Pi)=Pi.因此,推广文献[5]的命题2到半环上,有如下命题.

命题 3.4如果R是一个对称的k-Noetherian半环,则S(N(R))=N(S(R)),其中γ是R的一个自同构.

证明显然,有S(N(R))⊆N(S(R)).将证明N(S(R))⊆S(N(R)).令

所以,存在k>0使得fk=0.因此,由(amxm)k=0可知

am·γm(am)·γ2m(am)…γ(k-1)m(am)·xkm=0.

因此,对于任意的Pi∈MinSpec(R),

am·γm(am)·γ2m(am)…γ(k-1)m(am)=0∈Pi.

这里存在两种情况：1)u≥m；2)m≥u.

如果u≥m,有

am·γu(am)·γ2u(am)…γ(k-1)u(am)∈Pi.

所以由引理3.3可知,存在某一正整数j(1≤j≤k),使得γ(k-j)u(am)∈Pi.所以,对于任意的

Pi∈MinSpec(R),

有am∈γ-(k-j)u(Pi)=Pi.因此,

am∈P(R)=N(R).

所以,

amxm∈S(N(R))⊆N(S(R)).

因为Pi是R的k-理想且

am+(-am)=0∈Pi,

所以,由am∈Pi可以推出-am∈Pi,即-am∈R.又因为amxm∈N(S(R)),所以

-amxm∈N(S(R)).

因此,

再重复上述步骤,可以得到

ai∈P(R)=N(R),

其中0≤i≤m-1.因此,f∈S(N(R)),这意味着

N(S(R))⊆S(N(R)).

第二种情况证明过程与第一种类似.