基于高斯周期的几乎最优跳频序列构造

周 峡, 李 燕

(南京工程学院 经济与管理学院, 江苏 南京 211167)

随着现代通信的飞速发展,安全有效的通信技术已成为各行业关注的重点问题.跳频通信由于具有抗干扰性强、频谱利用率高、易于实现码分多址等优点,在军事无线电通信、卫星通信、光纤通信、水下通信、微波、雷达等多个领域中发挥着重要作用.所谓跳频通信,是指在通信中载波频率受伪随机码序列的控制而不断跳变,从而实现频谱扩展的一种通信系统.其中的伪随机码序列即跳频序列,它对跳频通信系统的性能起着决定性作用.随着信息技术的发展,以及对跳频通信的破译技术不断提高,需要寻找新的理想或者比较理想的跳频序列来提高跳频通信系统的性能.具有理想性能的跳频序列应满足良好的汉明自相关和互相关性、随机性、均匀性、长周期性等特性.此外,跳频序列的参数并不是相互独立的,它们会受到一些理论界的限制,如Lempel-Greenberger界[1]、Peng-Fan界[2]等,因此设计达到(或逼近)这些理论界的最优(或几乎最优)跳频序列(族)是跳频系统研究的重要课题之一.在本文中,讨论的所有(几乎)最优跳频序列均是指关于Lempel-Greenberger界(几乎)最优的.

近年来,一些学者借助组合和代数工具陆续给出了许多最优跳频序列,详见文献[1,3-24].但是,对于给定的序列周期和频率集大小,最优跳频序列并不总是存在的.比如,参数为(5,2,2)与(6,2,3)的最优跳频序列一定不存在[7](参数说明详见1.1节).因此,在最优参数不存在的情形下,几乎最优跳频序列“等同是”最优的.然而,通信学者们也只能给出一些零散的最优参数,如何确定一般最优参数的存在性始终是未解难题.在此研究背景下,构造出更多具有新参数的几乎最优跳频序列也是有意义的.截止目前,关于几乎最优跳频序列的构造,可参考文献[5-8,10,13,16,21,25].具体而言,2008年,Han等[25]首次提出了几乎最优跳频序列的概念,并通过修改已有的m-进制互素序列得到了一类几乎最优跳频序列.随后,他们又借助有限域上的分圆及离散对数函数给出了另一类几乎最优跳频序列[5].2009年,Chung等[6]利用周期为p的M-进制序列与交织技术给出了一类具有新参数的几乎最优跳频序列,这里p是一个奇素数.然后,Chung等[7]分别通过拼接有限域上的分圆陪集与剩余类环上的k-重分圆[8]生成了两类几乎最优跳频序列.2012年,Zeng等[10]提出了一种新的序列交织方法,并得到了五类具有新参数的几乎最优跳频序列.2014年,Ren等[13]借助中国剩余定理、有限域上的分圆及离散对数函数给出了几乎最优跳频序列的一类构造.2017年,黄波等[16]基于有限域上的分圆也给出了一类具有新参数的几乎最优跳频序列.最近,Xu等[21]借助中国剩余定理与Zeng-Cai-Tang-Yang广义分圆生成了一些几乎最优跳频序列.综上所得的几乎最优跳频序列,其参数比较详见表1.借助有限域上的分圆和迹函数,本文构造了一类具有新参数的几乎最优跳频序列,此外,以这类跳频序列为基序列,更多几乎最优跳频序列可通过文献[14]中的交织技术递归得到.

1 基本概念

1.1 (几乎)最优跳频序列对于正整数l,令F={f0,f1,…,fl-1}为一个大小为l的频率集,X={x0,x1,…,xn-1}(xi∈F,0≤i

对于跳频序列X={x0,x1,…,xn-1},其周期汉明自相关函数定义为：

H

(1)

其中,如果x=y时,h[x,y]=1,否则为0.(1)式中,下标的加法运算t+τ均为模n加法.

对于跳频序列X,定义最大周期汉明自相关值H(X)为：

本文使用记号(n,l,λ)表示大小为l的频率集上的周期为n的跳频序列X,且满足H(X)=λ.

早在1974年,Lempel和Greenberger给出了H(X)的一个理论下界.

引理 1(Lempel-Greenberger界[1]) 设X是大小为l的频率集上的周期为n的跳频序列,则

(2)

其中,「a⎤表示大于或等于a的最小整数,〈n〉l为n模l的剩余类中的最小非负整数.

Lempel-Greenberger界的简化形式如下.

引理 2[19]设X是大小为l的频率集上的周期为n的任意跳频序列,则

(3)

其中,⎣a」表示小于或等于a的最大整数.

如果H(X)使得(2)或(3)式等号成立,那么称跳频序列X关于Lempel-Greenberger界最优;如果H(X)比(2)或(3)式右边恰好大1,那么称跳频序列X关于Lempel-Greenberger界几乎最优.

Trrq(x)=x+xq+xq2+…+xqm-1,x∈GF(r).

C(N,r)i={αNt+i:0≤t

加法特征具有如下正交性：

(4)

η(N,r)

一般情况下,高斯周期的准确值是很难决定的.本文主要用到自共轭情形下的高斯周期.

η(N,r)

(5)

2) 在其余情况时,有

η(N,r)

2 主要结果

下面将利用有限域上的分圆和迹函数,构造一类具有新参数的几乎最优跳频序列.

xt=(Trq2q(αk(q-1)t))

(7)

其中gcd(d,q-1)=1.

要证明定理1,需准备以下的3个引理：

xt1=x

证明由(7)式可知

xt=(αk(q-1)t+(αk(q-1)t)q)d=

(αk(q-1)t+αkq(q-1)t)d=

(αk(q-1)t+α-k(q-1)t)d,

再由gcd(d,q-1)=1可知φ(x)=xd(x∈GF(q))

是GF(q)上的一个置换.因此,

xt1=xt2⟺(αk(q-1)t1+α-k(q-1)t1)d=

(αk(q-1)t2+α-k(q-1)t2)d⟺

αk(q-1)t1+α-k(q-1)t1=αk(q-1)t2+α-k(q-1)t2⟺

αk(q-1)t1-αk(q-1)t2=α-k(q-1)t2-α-k(q-1)t1⟺

αk(q-1)(t1+t2)=1⟺

α

证明

(αk(q-1)τ-1)

因此,结论得证.

η

η

借助引理4～6,下面给出定理1的具体证明.

定理1的证明首先,由引理4可知序列X的频率集大小为

HX(τ)=

(8)

(9)

(11)

(10)式是由引理5推出;(11)式是由引理6得到.因此,H(X)=2.另外,

借助定理1与文献[14]中定理3,利用交织技术,可得到更多具有新参数的几乎最优跳频序列：

注以下将给出本节构造与已知相关构造的跳频序列参数比较,如表1所示,其中这些序列关于Lempel-Greenberger界都是几乎最优的.

表1 几类几乎最优跳频序列的比较

3 实例分析

下面给出实例分别来验证定理1与定理2中结论.

X={32,14,10,46,23,43,6,21,63,67,25,9,69,

53,45,103,0,24,82,74,58,118,102,60,64,106,

121,84,104,81,117,113,95,113,117,81,104,84,

121,106,64,60,102,118,58,74,82,24,0,103,45,

53,69,9,25,67,63,21,6,43,23,46,10,14},

利用Magma软件计算可得,序列X的周期汉明自相关函数

H

因此,序列X具有参数(64,33,2),且关于Lempel-Greenberger界几乎最优,这与定理1中结论是一致的.

X={2,5,4,15,14,17,14,15,4,5},

yt=(〈t0g(t1)〉n,xt1),

(12)

则由(12)式定义的跳频序列

Y=

{(0,2),(2,5),(1,4),(0,15),(2,14),(2,17),

(0,14),(1,15),(2,4),(0,5),(1,2),(1,5),

(0,4),(2,15),(1,14),(0,17),(1,14),(2,15),

(0,4),(1,5),(2,2),(0,5),(2,4),(1,15),

(0,14),(1,17),(2,14),(0,15),(1,4),(2,5)},

利用Magma软件计算可得,序列Y的周期汉明自相关函数

{H

0,2,0,2,0,2,0,0,0,2,0,2,0,2,0,2,0}.

因此,序列Y具有参数(30,18,2),且关于Lempel-Greenberger界几乎最优,这与定理2中结论是一致的.

4 结束语

本文利用有限域上的分圆和迹函数构造了一类具有新参数的跳频序列,并通过理论和实例证明该跳频序列关于Lempel-Greenberger界几乎最优.同时,通过采用合适的映射和交织技术,一批具有新参数的几乎最优跳频序列可被递归得到,这些跳频序列在码分多址通信系统中具有广阔的应用前景.

致谢南京工程学院校级科研基金项目(QKJ201804)对本文给予了资助，谨致谢意.