高中数学“概率与统计”新增教学内容的设计与思考

◎ 颜佳玥

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》将高中数学课程内容分为“预备知识”“函数”“几何与代数”“概率与统计”“数学建模活动与数学探究活动”五个主题。其中“概率与统计”这个主题的内容在横向上与其他模块的联系相对较少，学生有时比较难以理解这部分的学习内容，就如沪教版高中数学教材必修第三册第12章“概率初步”中也提到“尽管所涉及的内容实际上相当初等，但是和学习以往的内容不同，不仅要换一种思路，而且要换一套语言。”鉴于此，教师在进行“概率与统计”主题相关内容的教学时，不能简单地照搬其他内容教与学的模式和方法，而应当仔细分析、深入思考，寻找一种更加有效、更为适切的教学方式。

一、“概率与统计”主题中新增学习内容分析

“概率与统计”主题对于学生来说其实并不陌生，在小学阶段学生就接触了不确定事件发生可能性的大小、枚举随机试验的可能结果以及绘制条形统计图等的实践，初步感知了概率与统计的朴素表达。在初中阶段学生进一步学习了随机现象的概率、统计图表及简单的数据特征刻画。此阶段的学生已经能够利用枚举法计算概率，说明学生对于随机现象有了一定的了解。但是，这种理解和应用往往停留和局限于从具体的生活实例所建立的数学情境上，缺乏对随机思想的充分认识。到了高中阶段，在高二的必修课程中，学生在集合的框架基础下，用集合的语言重建了样本空间、随机事件和概率的概念和定义。学生学习了不同抽样方式、统计图表和用样本估计总体。在此基础上，本次新教材对于“概率与统计”的学习内容，进行了新增与延续。

（一）新增内容

作为高二必修课程相关内容的续篇，本次新教材“概率与统计”主题中新增的学习内容主要有：条件概率、全概率公式、二项分布、超几何分布、茎叶图、成对数据的相关分析、2×2列联表等。这部分新增的学习内容主要集中于高中数学选择性必修第二册中，是必修课程第12章“概率初步”和第13章“统计”学习内容的后续和加深，与旧教材相比变化较大且难度有所上升。

（二）学习价值

新增内容深入研究了概率论中的重要概念如“条件概率”以及由其引出的重要公式，通过随机变量及其分布介绍了重要而基本的概率模型，并引入了重要的推断性统计方法，将“概率与统计”主题提升到了更高的学科高度，在分析随机事件的角度上帮助学生形成更加客观、理性和系统的认识。因此学习这些新增的内容对于学生而言，不仅可以丰富他们已经掌握的数学知识体系、图式和数学语言，为他们打开新思路，对他们进一步学习更高级别的数学知识或者其他相关学科带来助力；而且能够帮助学生体会在接触、学习一块新内容的时候如何去联系自己已有的常识，并在体验和理解中准确地挖掘出蕴含在其繁复的概念、运算之中的核心思想方法和数学本质，从而提高学生分析处理数据、进行抽象概括以及运用数学方法合理分析问题的能力。

此外，尽管“概率与统计”这个主题在高中数学的学习内容中相对“函数”“几何与代数”而言所占的篇幅并不算大，但它有别于学生长期学习的确定性逻辑思维，对于学生理解“不确定性”中的规律与科学、建立统计直觉、学会预测结果和因果分析的基本方法具有非常重要的教育教学价值和作用。

（三）学习难点

该主题部分新增学习内容与高等数学“概率论与数理统计”中数理统计部分的“抽样分布”“假设检验”“方差分析”等知识密切相关，因此高中阶段的学生在学习这部分内容时，对于相关的完整理论体系和其中一些概念的具体来龙去脉就会出现无法充分理解的现象，因而学生在学习过程中会感到思维上的跳跃和迷茫。但如果将大学中的相关理论完整周密地向高中学生全部进行展示和介绍无疑既不太现实，也没有必要，数学分析过程的严谨性、科学性往往受到量力而行的限制。那么对于此类内涵深远的教学内容，如何使高中学生从其本身基础出发，去自主建构这样一些知识和方法，对于教师来说也是一个挑战，促使教师去思考，去寻找一种更加有效、更为适切的教学方式，从而融合数学过程的教育形态和学术形态，提高较为抽象的数学内容教学的实效性。

二、对主题中部分新增学习内容的教学设计思考

（一）设计总体思路

“概率”的教学着眼于引导学生通过古典概型，建立有限样本空间，理解随机事件等概念的知识内涵，作为“统计”的理论基础。而“统计”则偏向于操作性的层面，不仅需要教师的指导和讲解，更需要学生参与数据分析的全过程。

1.有的放矢，直击抽象概念及运算中的数学核心思想方法

从教材内容来看，新课标和新教材在引入“卡方统计量”时淡化了对卡方分布的具体定义，只是对其进行了具体应用。而高等数学的数理统计课程中清楚地交代了“卡方分布”是以标准正态变量为基石而构造的三个著名统计量之一，即设（X1，X2，…，Xn）为来自总体X～N（0，1）的一个样本，则称为卡方统计量，且服从自由度为n的卡方分布。高等数学的数理统计课程在介绍“假设检验”一章时对“显著性检验”中的各种概念如“参数假设”“非参数假设”“拒绝域”“显著性水平”“两类错误”等进行了深入的分析，并且给出了对于各类假设检验的系统性操作方法，而新教材并未详细深入地阐述这些内容，只是要求学生能够判断出具体实例中相关变量间的独立性关系。因此，在教学过程中，教师可以通过在情境中的理解和应用来强化大观念、大概念，重视思想方法的渗透。在淡化过多抽象内容的阐释与运算的同时，将“假设检验”中最为关键的思想内核清晰地展示给学生，帮助和促使学生对于其中数学本质的感悟和理解。

2.体验参与，联结已有数学知识经验，自主构建新的知识体系

尽管部分内容的学习对于学生来说具有一定的困难，但毫无疑问针对这些内容的探究过程和成果对于学生而言都是很有价值的。因此，在学习形式和探究策略上，要注重调动学生已有的数学经验使其参与到学习的全过程，在不断自主体验中推进学习进程，建构一个体验式的课堂。

（二）以“2×2列联表独立性检验” 为例的教学设计

下文以该主题中第8章“成对数据的统计分析”中的第3节 “2×2列联表独立性检验”内容为例进行阐述。这一单元承接必修课程的“统计”一章，在研究来自单一变量数据的统计特征，如集中趋势、离散程度、分布等的基础之上，进一步学习来自两个变量的成对数据的相关分析、回归分析和χ2检验等推断性统计方法。在单元教学过程中，教师应引导学生自主绘制已经学习过的散点图、各种统计图表等，通过观察来大致了解数据的整体形态及偏离情况和猜测两组数据之间的变化规律；引导学生用联系的观点看待现实世界中的事物和现象，构建适当的统计模型，通过逻辑推理等理性分析得出相关性、线性关系、独立性等在统计上正确的结论。

其中“2×2列联表独立性检验”这节内容主要解决“如何利用取自两类变量的样本来判断它们是否相互独立”的问题，这也是学生学习这一内容的难点。围绕这一问题，本节课主要通过学生先行的自主数据处理和分析，得出初步推断及再思考，到使用统计量科学地检验独立性这一学习路径，在情境问题的导向下，开展体验式学习。

1.通过数据处理，学生自主分析，得出初步推断

以“吸烟习惯与慢性气管炎患病间关系”的具体案例引入，教师以文字叙述形式给出“339名50岁以上公民的吸烟习惯与慢性气管炎患病的具体数据”，启发学生自己用简洁的方式来呈现数据，以便发现规律。学生在日常生活实践中对于列出一个横向和纵向不同项目的四格表，来清楚地呈现事实的方法应当是不陌生的，因此对于以“是否吸烟”和“是否患慢性气管炎”两种标准进行分类，并体现了变量间交织的关系的数据，能很快自主列出这样一个能体现两个分类变量的频数表，即2×2列联表（见表1）。

表1 2×2列联表

根据罗列的这张表格，学生发现2×2列联表虽能实现清晰地呈现事实，但是较难直接解释这些事实，需要进一步对数据进行计算得出相关推断。学生之前已有相应的统计学习经验，会想到去计算各类个体在总体中的百分比，研究各类个体在总体中的分布，因此得到了分布表（见表2）或者条形统计图（见图1）。

表2 分布表

图1 条形统计图

接着，学生通过直观地比较数据的差异，能够得出“吸烟者患慢性气管炎的可能性更大”这个推断。学生们对于这样一个解释事实数据、探索两个变量之间是否相关的过程也是比较熟悉的。可以说，学生有自己的一些非正规的数学知识、生活中积累的常识性知识和已经具有的但未经训练和不那么严格的数学体验［1］，而这样的一个学习过程充分利用和发挥了学生各自的“数学现实”。在教学设计过程中，尽量使学生充分地体验情境，通过启发和互动，让探究过程由学生自己的经验和积累以及逐步深入研究的自发原动力来推进，而不是教师的直接讲解和提问。

2.教师质疑追问，直击核心问题，探索研究策略

由于学生受到自身知识框架和现有认识水平的限制，可能会以“计算数据发现吸烟者较不吸烟者中有更高比例的人患慢性气管炎，且两者比例相差较大”，就直接给出“慢性气管炎患病与吸烟有关系”的结论。此时教师质疑追问，引导学生思考这一结论的得出是否有些主观武断？能否以更客观的数学标准来衡量两个变量之间的相关性。然后，直击本节最为关键的核心问题，即“这一推断是否具有统计意义，有多大把握认为慢性气管炎患病与吸烟有关”。

接着教师引导学生回忆之前学习过的反证法的证明思路，进行类比，向学生阐述“要检验两个随机变量是否有关系，统计上一般先假设它们没有关系（原假设），再进行统计检验”的原则。如果“原假设”成立，那么如何进行计算和处理，可以在数据层面上表征出“慢性气管炎患病与吸烟没有关系”这一假设？此时学生容易想到：可以通过去计算完全按人数等比例分配时得到的预期结果（见表3），来体现这两个随机变量之间没有任何相关或者因果关系的假设。

表3 预期结果

3.从定性到定量，理解科学判断独立性的方法

学生不难发现真实统计数据（即观察值）和原假设成立条件下计算得到的数据（即预期值）间存在差异，深入探究，引导学生理解这个偏差的存在即说明这两个随机变量之间还是存在一些相关性。

在下一步的定量研究之前，给予学生空间先谈一谈定性的理解：观察值和预期值之间的差异越大，说明原假设越不合理，即两个随机变量间的相关性越大。如此，引入“卡方统计量”来描述观察值与预期值之间的总体偏差也就水到渠成了。

最后，通过查“卡方分布概率表”中P（χ2≥6.635）≈0.01，得出原假设（小概率事件）不太可能发生，因此可以拒绝原假设，得出“慢性气管炎患病与吸烟有关系”的结论。

整堂课，在教学设计的过程中，笔者努力构建一个体验式的课堂，让教师的讲解 “淡出”，只在核心问题的提出环节以及研究的策略方向上给出一定的引导和讲解，意图以情境中的问题诱导学生逐步地去深入探究，从而自发地推进课堂的节奏。

三、教学反思

（一）渗透数学思想，理解数学本质

本节课通过一个具体的生活化素材，以学生所能够理解和接受的方式向学生渗透了“假设检验”的核心思想。课始，学生自主利用已有的统计基础知识和实践经验，在不断推进的任务中逐步理解“检验总体中两个分类变量间是否独立”的方法。课中，在独立性检验的学习过程中，学生能运用已经学习过的反证法，通过类比明白零假设中“假设两者无关”的原理，自行感悟“概率反证法”这一假设检验的核心思想，即用“小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生”这一原理去找“矛盾”，从而决定是否拒绝原假设，接受备选假设。或许，这一概率反证法的思想本质对于学生而言，他们不一定能抽象完整地去进行表达，但是在生活实践和逻辑思考的过程中，学生其实已经不知不觉地去使用了。学生不只是模仿和接受教师的策略和思维模式，他们会用自己经验中已有的数学知识去过滤和解释新信息，以致同化它［2］。学生的理解只能由学生自己去进行，发现教师所呈现的信息和他们已有的数学知识之间的联系，而且要通过对新知识进行分析、检验和批判这一过程才能真正做到理解。

（二）合理分析决策，体会统计思维

概率起源于对生活中存在的随机现象的研究，为人们从不确定性的角度去认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法。统计的研究对象是数据，核心是数学分析。在本节课的学习中，学生通过对于结论可靠性的进一步讨论，体会到取自总体的样本具有随机性，因而可能导致判断的结果不适用于整体。由频率稳定于概率的原理，当样本总数越大时，出错的可能性越低。这一思考过程有助于学生感悟在实际生活中进行科学决策的必要性和可能性，体会统计思维与确定性思维之间的差异。

（三）激发学习兴趣，培养学科志趣

本节课以“从定性到定量”的路径引入了卡方统计量，但尚未深究卡方统计量的合理性，在教学中发现高中学生对学习这样的新知识有着积极向上的态度，始终充满好奇，且具有一定的思辨能力。因此，不妨给予学生更多的探究空间，对于卡方统计量公式的构造进行研究，发现其与独立性假设中期望频数之间的联系，从而激发学生对于在大学继续学习高等数学知识的兴趣和期待，培养学科志趣，并帮助学生形成学习方法过渡和知识迁移的习惯。

弗赖登塔尔这样说过：“没有一种数学思想如当初刚被发现时那样发表出来。一旦问题解决了，思考的程序便颠倒过来，把火热的思考变成冰冷的美丽。”有时，教材上陈述的数学过程是一种严密的学术形态。作为数学教师，我们要善于构建合适的学习模式，使之呈现出学生容易接受的教育形态，从而使冰冷的美丽升华为火热的思考［3］。